Proposta de teste de avaliação em Matemática, Exercícios de Matemática

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Matemática A

O

ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 90 minutos | Data:

Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de

respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as

justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida aproximação, apresente

sempre o valor exato.

1. O código para desbloquear um telemóvel é constituído por uma sequência de quatro algarismos.

Quantos desses códigos podem ser formados por exatamente dois algarismos diferentes como, por

exemplo, 0770 ou 1121?

(A) 1440 (B) 1260 (C) 720 (D) 630

2. Na figura, está representado o quadrado  

ABCD de lado 2.

Sabe-se que:

 BD é um arco de circunferência de centro A ;

 o ponto P se desloca ao longo do arco BD e que o ponto

Q se desloca ao longo do segmento de reta  

AD , de tal

forma que  

QP é sempre paralelo a  

AB

Para cada posição do ponto P , seja

x

a amplitude, em radianos, do ângulo BAP

π

x

e seja  

A x a área do trapézio  

ABPQ.

2.1. Mostre que    

A x  2sin x sin 2 x.

2.2. Mostre que existe um valor de x compreendido entre

e

para o qual a área do

trapézio  

ABPQ é igual à área do triângulo  

ABC.

2.3. Determine o valor de x para o qual a área do trapézio

 

ABPQ é máxima.













5. Para um certo valor real a , seja f a função definida, em ℝ , por

 

3 2

f x  x  ax.

5.1. Justifique que, qualquer que seja o valor de a , a reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abcissa nula é paralela ao eixo Ox.

5.2. Sabendo que o gráfico da função f tem um ponto de inflexão de abcissa 2, o valor de a é:

(A)  6 (B) 6 (C)  3 (D) 3

6. Considere que existem três caixas, tais que:

 a caixa 1 tem bolas brancas e bolas pretas, em igual número;

 a caixa 2 tem apenas bolas brancas;

 a caixa 3 está vazia.

As bolas são indistinguíveis ao tato.

6.1. Considere a experiência que consiste em retirar, ao acaso, uma bola de cada uma das caixas 1

e 2, colocá-las na caixa 3 e retirar, em seguida e também ao acaso, uma bola da caixa 3.

Sabendo que a bola retirada da caixa 3 é branca, determine a probabilidade de as duas bolas aí

colocadas serem uma de cada cor.

6.2. Admita agora que todas as bolas são colocadas num saco. Sabe-se que:

 na extração, ao acaso, de uma bola do saco, a probabilidade de esta ser preta é

 a extração ao acaso, sucessivamente e sem reposição, de duas bolas do saco, a

probabilidade de serem ambas pretas é

Determine o número de bolas pretas que estão no saco.

7. Na figura está parte da representação gráfica da função f , de domínio



ℝ , definida por

 

2

f x  log x , bem como o retângulo  

ABCD de lados paralelos aos eixos coordenados.

Os pontos A e C pertencem ao gráfico da função f e têm, para determinado número real a

positivo, abcissas 2 a e 16 a , respetivamente.

Sabendo que, para certo valor de k , a área do retângulo  

ABCD é igual a k a , o valor de k é:

(A) 42 (B) 112 (C) 196 (D) 224











2 16

8. Para certos números reais k e m , é contínua a função f , de domínio

 

2,   , definida por:

 

 

2

2

sin

se 2 0

se 0

1 e

se 0

x

kx

x

x x

f x m x

x

x



8.1. Qual é o valor de k?

(A) 4 (B) 2 (C)

(D)

8.2. Qual é o valor de m?

(A) 4 (B) 2 (C) 0 (D)

8.3. Quanto à existência de assíntotas do gráfico de f , pode afirmar-se que:

(A) o eixo Oy é uma assíntota.

(B) o eixo Ox é uma assíntota.

(C) a reta de equação y  x é uma assíntota.

(D) o gráfico de f não tem assíntotas.

FIM

Cotações:

Item

Cotação (em pontos)

1. 2.1. 2.2. 2.3. 3. 4.1. 4.2.

4.3. 5.1. 5.2. 6.1. 6.2. 7. 8.1. 8.2. 8.3.

10 15 15 15 10 10 15

15 15 10 15 15 10 10 10 10 200

Proposta de resolução

1. Os dois algarismos a utilizar podem ser escolhidos de

10

2

C maneiras diferentes.

Escolhidos os dois algarismos, temos duas maneiras de escolher aquele que fica em cada uma das

quatro posições, ou seja, há

4

2  2  2  2  2 opções. Como se pretende que na sequência figurem

exatamente dois algarismos diferentes, temos de excluir as duas opções em que só figura um

algarismo. Temos, assim,

4

2  2 maneiras de formar um código com os dois algarismos escolhidos.

Portanto, podem ser formados

10 4

2

C  2  2  45  14  630 códigos com exatamente dois

algarismos diferentes.

Resposta: (D)

2. Seja R o ponto de

AB tal que PR  AB.

AP  AD  AB  2

2.1. Tem-se:

sin

PR PR

x

AP

pelo que PR 2sin x

cos

AR QP

x

AP

pelo que QP 2cos x

trapézio

AB QP

A PR

2 1 cos 2 2cos

2sin 2sin

x x

A x x x

 1  cos x  2sin x  2sin x  2sin x cos x  2sin x sin 2 x

A x  2sin x sin 2 x

 

Área 2

ABC

AB  BC 

A função A é contínua no deu domínio, 0 ,

, por ser definida pela composta, produto e

soma e de funções contínuas.

Como , 0 ,

, a função A é contínua em ,

2sin sin 2 2 sin 1 2

A

porque 3  2

2sin sin 2 2 sin 2 1 2

A

porque 2  1

Como 2

A A

, podemos concluir, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, que existe

um valor de x compreendido entre

e

para o qual a área do trapézio

ABPQ é igual 2,

ou seja, é igual à área do triângulo

ABC.







 



2



A x 2sin x sin 2 x 2 cos x 2 x cos 2 x 2 cos x 2 cos 2 x

A x 0 2cos x 2cos 2 x 0 cos x cos 2 x 0

 cos 2 x   cos x  cos 2 x  cos  x 

 2 x    x  2 k   2 x    x  2 k   k  ℤ

 3 x    2 k   x    2 k   k  ℤ

k

x x k k

Portanto, no intervalo 0 ,

A x x

x

A

A ր

Máx. ց

A área do trapézio

ABPQ é máxima para

x

3

3

3 3

4

3

1 3

3

lim 1

1

4 e

lim lim lim lim e e

3 e

3

lim 1

n

n

n

n n

n n

n

u

n

n

n

3 3

3 3

2

e e

ln ln e 1 1 3 1

lim lim lim ln e

n

x x

x

f u f x

 

Resposta: (B)

2 cos

f x x

f

D 

2 cos 2 cos

f x f a x a

cos cos cos cos

x a x a

x a k x a k k

  x   a  8 k    x   a  8 k  k  ℤ

 x  a  8 k  x   a  8 k  k  ℤ

Como

x  0, 8 e

a  0, 8, uma solução é

a

e a outra é

 a  8  8  a

Resposta: (C)

 

3 2

f x  x  ax

 

2

f x 3 x 2 ax

 

2

f 0 3 0 2 a 0 0

     , logo a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa nula

tem declive igual a 0, ou seja, é paralela ao eixo Ox.

 

f x 6 x 2 a

Se a função f admite primeira e segunda derivada em ℝ e o seu gráfico tem um ponto de

inflexão de abcissa 2, então  

f 2 0

 

f  2  0  6  2  2 a  0  2 a   12  a   6

Resposta: (A)

6. 6.1. Sejam

1

P e

3

B os acontecimentos:

1

P : «A bola retirada da caixa 1 é preta.»

3

B : «A bola retirada da caixa 3 é branca.»

Pretende-se determinar a probabilidade de as duas bolas colocadas na caixa 3 serem uma

branca e uma preta, ou seja, pretende-se determinara probabilidade condicionada

1 3

P P ( | B ).

 

 

 

   

   

1 3 1 3 1

1 3

3 1 3 1 3

P P B P P P B P

P P B

P B P P B P P B

6.2. Se na extração ao acaso de uma bola do saco a probabilidade de esta ser preta é

, então

das bolas do saco são pretas e as restantes são brancas. Logo, se considerarmos que estão no

saco n bolas pretas, o número total de bolas aí existentes é igual a 4 n.

Na extração ao acaso, sucessivamente e sem reposição, de duas bolas do saco, a

probabilidade de serem ambas pretas é dada por :

n n

n n

Probabilidade de retirar uma segunda bola preta depois de já se ter

retirado uma primeira bola preta

Probabilidade de a primeira bola retirada ser preta

n

n

n n n n

n



ℕ

Estão 9 bolas pretas no saco.

1

2

1

2





 













1 2 1 2 1 0











7. AB  16 a  2 a  14 a

       

2 2 2

16 2 log 16 log 2 log

a

BC f a f a a a

a

3

2 2

 log 8  log 2  3

 

ABCD

A  AB  BC  a   a

k  42

Resposta: (A)

 

 

2

2

sin

se 0

1 e

se 0

x

kx

x

x x

f x

x

x



8.1. Se f

é contínua em  

2,   então é contínua em x  0. Logo, existe

 

0

lim

x

f x



 

   

 

 

0

0

2

0 0 0 0 0

sin sin sin 1

lim lim lim lim lim

x x x x x

kx kx kx

f x

x x x x x x

    

 

 

 

    

 

0 0

sin 1 sin

lim lim 1

y x

kx k y k k

k

kx y



 

y  kx

 

0

2 2 2 0

0 0 0 0 0

1 e e 1 e 1 e 1

lim lim lim 2 lim 2 lim 2 1 2

x x x y

x x x x y

f x

x x x y

    

 

 

  

 

    

y   2 x

Se exista  

0

lim

x

f x



então      

0 0

lim lim 0

x x

f x f x f

 

 

   

0 0

lim lim 2 4

x x

k

f x f x k

 

 

Resposta: (A)

   

0

0 lim 2

x

f f x





Resposta: (B)

8.3.  

2

1 e 1 e 1 0

lim lim 0

x

x x

f x

x

 

 

A reta de equação y  0 (eixo Ox ) é uma assíntota do gráfico de f quando x  .

Resposta: (B)