Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica/Electromecˆanica
1aFrequˆencia de An´alise Matem´atica I - deslizante
Dura¸c˜ao: 1h30 23 de abril de 2013
Regras para a realiza¸c˜ao da frequˆencia:
•Os equipamentos m´oveis devem estar desligados durante a realiza¸c˜ao da prova.
•N˜ao pode utilizar calculadora.
•N˜ao pode utilizar corretor e as resp ostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta.
•Pode trocar a ordem das quest˜oes, desde que identifique a sua resposta.
•Justifique convenientemente as suas respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resposta simplificada.
•Qualquer tentativa de fraude ser´a punida com a anula¸c˜ao imediata da prova.
1. Considere a fun¸c˜ao f(x) = 1
3tan(2x−π
3) definida no seguinte dom´ınio de injetividade ] −π
12 ,5π
12 [. Determine
a fun¸c˜ao inversa de findicando o dom´ınio, o contradom´ınio e a express˜ao anal´ıtica.
2. Calcule lim
x→0+xln(√x).
3. Considere a fun¸c˜ao f(x) = sinh(2x).
(a) Aproxime o valor de f(0.3) atrav´es do polin´omio de Taylor de ordem 3 de f, em torno do ponto x0= 0.
(b) Resolva uma das al´ıneas seguintes, de acordo com o curso a que pertence:
i. Mecˆanica - Mostre utilizando um dos teoremas fundamentais do c´alculo diferencial que, num ponto
do intervalo [0,ln(2)
2], a reta tangente ao gr´afico de ftem declive 3
2 ln(2) .
ii. Electromecˆanica - Utilizando as defini¸c˜oes das fun¸c˜oes hiperb´olicas em termos de exponenciais,
mostre que se verifica a identidade f(x) = 2 sinh(x) cosh(x).
4. Calcule as primitivas.
(a) ∫2√x+ 1
2√xdx (b)∫tan(x)[sec2(x) + tan2(x)]dx
5. Mostre que ∫x2+x+ 2
x2+xdx = 2 ln
x
x+ 1
+x+C, com C∈IR :
(a) por defini¸c˜ao de primitiva;
(b) calculando a primitiva.
Formul´ario
Pn(x) = f(x0) + f′(x0)
1! (x−x0) + f′′(x0)
2! (x−x0)2+· ·· +f(n)(x0)
n!(x−x0)n
Rn(x) = f(n+1) (c)
(n+ 1)! (x−x0)n+1
Cota¸c˜ao das perguntas
1 2 3(a) 3(b) 4(a) 4(b) 5(a) 5(b)
0.75 0.75 1.0 0.75 0.75 0.75 0.5 0.75
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