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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ESCOLA NORMAL SUPERIOR
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Karoline Nazaré Reis
Suzana Carril Gama
Tânia Suelen Borel Caldas
Manaus
Junho/2011
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transformada 1, Notas de estudo de Matemática Computacional
Definição de Transformada de Laplace , cálculo de transformadas, tranformada inversa e aplicações.
Tipologia: Notas de estudo
2012
1 / 22
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ESCOLA NORMAL SUPERIOR
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Karoline Nazaré Reis Suzana Carril Gama Tânia Suelen Borel Caldas
Manaus Junho/
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ESCOLA NORMAL SUPERIOR
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Karoline Nazaré Reis Suzana Carril Gama Tânia Suelen Borel Caldas
Pesquisa sobre Transformadas de Laplace elaborada junto à disciplina Física matemática do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado do Amazonas como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciado em Matemática.
Prof. Dr. Alessandro Michiles
Manaus Junho/
1. Introdução
1.1 Vida e Obra de Pierre-Simon Laplace
Pierre-Simon, marquês de Laplace, nasceu em 23 de março de 1749, filho de um pequeno trabalhador rural ou talvez de um empregado de fazenda que deve sua educação ao interesse de alguns vizinhos mais entendidos. Graças às suas habilidades e presença atrativa revelou grande talento para a matemática enquanto estudava teologia na Universidade de Caen. Ainda novo tornou-se professor assistente na escola em Beaumont, porém, tendo uma carta de recomendação de Jean Le Rond d'Alembert, foi à Paris tentar a sorte, e então, tornou-se professor da Escola Militar de Paris, em 1769. Em 1773, iniciou a tradução das pesquisas e teorias astronômicas de Isaac Newton, Edmundo Halley e outros célebres cientistas, cujas obras encontravam-se dispersas, e buscou explicar as aparentes anomalias das órbitas planetárias. Após uma breve incursão na biologia química, em que, com a colaboração de Lavoisier, demonstrou que a respiração dos seres vivos é uma forma de combustão produzida pela reação das substâncias orgânicas com o oxigênio inspirado, retomou seus estudos celestes. Nesse campo, realizou cálculos minuciosos sobre os efeitos gravitacionais recíprocos de todos os corpos do sistema solar e descobriu que as órbitas ideais propostas por Newton apresentavam desvios periódicos. Nessa época, concluiu também brilhante análise sobre eletromagnetismo. E, nesse mesmo ano, ganhou as eleições para a Academia das Ciências em 31 de Março e com esse
trabalho ele começa a ganhar notoriedade. Em Exposition du système du monde (1796; Exposição do sistema do mundo) Laplace explicou a origem do Sol e dos planetas a partir de uma nebulosa. Em Traité de mécanique céleste (1798-1827; Tratado de mecânica celeste), em cinco volumes, fez uma completa interpretação da dinâmica do sistema solar, apoiada em teses matemáticas. Seus trabalhos sobre a teoria da probabilidade tornaram-se amplamente conhecidas e respeitadas nos círculos científicos. Ministro do Interior de Napoleão Bonaparte durante seis semanas, foi nomeado marquês da França por Luís XVIII, em reconhecimento a sua importante atividade científica e política. Laplace morreu em 5 de março de 1827, em Paris.
1.2 Contexto Histórico
Pode-se caracterizar a França de Laplace no parágrafo a seguir: “No final do século XVIII, a estrutura social da França era essencialmente Aristocrática. Conservava características de origem, ou seja, da época em que a terra constituía a única forma de riqueza social e dava a seus possuidores o poder sobre aqueles que a cultivavam” (Albert Soboul, História da Revolução Francesa). Este final do século que é referido foi marcado por um período conturbado, onde desejava-se mudanças radicais na estrutura social, política e econômica do país. As classes mais baixas, formadas por camponeses, burgueses e artesãos, lutavam pelo fim da desigualdade, pelo fim dos privilégios políticos da nobreza e pelo fim dos privilégios econômicos do clero. Basicamente buscava-se a liberdade e a igualdade e cada vez mais evidenciava-se o início de uma revolução. Culturalmente, presenciava-se a influência dos iluministas que caracterizavam-se por adotar uma filosofia de valorização da razão e o abandono dos preconceitos tradicionais. Entre os pensadores da época podemos citar Locke, Bayle, Adam Smith, Rousseau, Voltaire, Diderot e Kant.
1.3 Obras e Contribuições
A vida de Laplace como cientista pode ser dividida em quatro períodos, todos eles apresentando novas descobertas e evoluções.
Laplace tinha um amplo conhecimento de todas as ciências e dominava todas as discussões na Academia. De forma razoavelmente única para um prodígio do seu nível, Laplace via os matemáticos apenas como uma ferramenta para ser utilizada na investigação de uma averiguação prática ou científica. Ele é nos dias de hoje, lembrado como um dos maiores cientistas de todos os tempos (às vezes, chamado de Newton francês ou Newton da França ) com uma fenomenal capacidade matemática natural sem igual entre os seus contemporâneos. Parece que Laplace não era modesto sobre suas habilidades e realizações e ele provavelmente não conseguia reconhecer o efeito de sua atitude sobre seus colegas. Anders Johan Lexell visitou a Académie des Sciences em Paris, no período de 1780 a 1781 e relatou que Laplace deixava claro que se considerava o melhor matemático da França. O efeito sobre os seus colegas só seria relativamente atenuado pelo fato de que Laplace muito provavelmente estaria correto.
2. A Integral de Laplace
Em meados de 1744, Leonard Euler investigava soluções na forma X .ea^ d e X Ad , para equações diferenciais, mas não analisou o problema muito a fundo. Lagrange, um admirador do trabalho de Euler, em seu trabalho de integrar funções de densidade de probabilidade, investigou integrais da forma:
X .e a^ .a d
Esses tipos de integrais chamaram a atenção de Laplace em 1782, quando ele estava seguindo as ideias de Euler, usando integrais como soluções de equações diferenciais. Porém, em 1785, Laplace deu um enorme passo à frente quando, ao invés de olhar para soluções na forma de integrais, ele passou a utilizá-las do modo em que se popularizaram. Ele usou uma integral da forma
S (^) S d
parecida com a transformada de Mellin, (^) f s s-^ .f d , que transforma toda a
equação e procura soluções para a equação transformada. Laplace então passou aplicar sua transformada de modo análogo e a perceber algumas de suas propriedades, começando a perceber seu verdadeiro potencial.
f t. e st^ dt
As transformadas integrais, de modo geral, servem para resolver problemas em que a solução em seu domínio original é muito difícil. Por exemplo, algumas equações diferenciais que dependem do tempo podem ser facilmente resolvidas em um domínio-alvo, ao fazer um mapeamento do domínio original para um domínio- alvo e depois remapeando a solução para o domínio original.
3. Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de forma vantajosa na solução de equações diferenciais lineares. A facilidade proporcionada pela Transformada de Laplace advém do fato de que operações como diferenciação ou integração são convertidas em operações algébricas simples. Definição: Seja f(t) uma função definida para todo t ≥. A Transformada de Laplace de f(t), denotada por L{f(t)} é dada por:
f t f t. e st^ dt (^) alim f t. e st^ dt
a
O intervalo de integração em f t. e-st^ dt é infinito. Uma integral deste tipo é
chamada de integral imprópria. A transformada de Laplace depende de “s”, é representada por uma letra maiúscula F = F(s), enquanto que a função original que sofreu a transformação depende de “t” é representada por uma letra minúscula f = f(t). Para representar a transformada de Laplace da função “f”, é comum usar a notação:
L[f(t)] = F(s)
Portanto, tem-se que a transformada de uma constante, pela definição, é.
Exemplo 3: f(t) t t (^) alim t. e st^ dt
a
t (^) alim s^ t e st s e st
a
t (^) alim s^ t e sa s e sa s e (^) s e
t (^) alim s e (^) s
Exemplo 4: f t t t (^) alim t. e st^ dt
a
t (^) alim^ t s e st^ s te st s e st
a
t (^) alim^ a s e sa^ sa e sa s e sa s e (^) s e (^) s e
t (^) alim (^) s e (^) s
Portanto, tem-se que a transformada de f(t) tn^ é:
f t tn^ snn
Exemplo 5: f t e t, sendo “k” uma constante e k > 0.
e t^ alim e t. e st^ dt
a
e t^ alim et(^ s)^ dt
a
e t^ alim s et(^ s)
a
e t^ alim (^) s ea^ s^ e
e t^ alim (^) s s
4. Propriedades das Transformadas de Laplace
4.1. Teorema da Linearidade
A Transformada de Laplace é um operador linear, isto é f f , para todo par de funções f(t) e g(t) que possuam transformadas de Laplace, com “ ” e “ ” sendo constantes.
Demonstração: f(t) (t) (^) alim f t t. e st^ dt
a
f(t) (t) (^) alim f t. e st^ dt
a a^ lim t^.^ e^ st^ dt
a
f(t) (t) f(t) (t)
A propriedade da linearidade mostra que quando uma função é multiplicada por uma constante, a transformada de Laplace da mesma é multiplicada pela mesma constante. A propriedade da linearidade também mostra que a transformada de Laplace da soma de duas funções é a soma das transformadas de Laplace das funções.
Exemplo 1: sen t cos t sen t cos t sen t cos t (^) s^ s s
f t s f t sf f ( )
E, portanto, de forma geral tem-se:
fn^ t sn^ f t sn^ f fn^ ( )
Exemplo1: Seja “a” uma constante. Seja f(t) = t sen at. Determinar-se-á F(s).
f’(t) sen at at cos at f”(t) a cos at a t senat a cos at a f(t)
Assim, aplicando-se a transformada de Laplace da Derivada, obtém-se: s F s sf f’ a (^) s sa a F(s)
Assim: F s (^) s asa
4.4. Transformada da Integral
f u du
t s f
Demonstração:
Se (t) t^ f u du, então t f t e Logo f s - ( ) s , assim, s f^.
5. Decomposição em Frações Parciais
Qualquer função racional do tipo F(s) = f(s)/g(s) , em que f(s) e g(s) são polinômios, pode ser escrito como a soma de frações. Uma maneira mais simples de representar uma função racional do tipo F(s)=f(s)/g(s) como soma de várias frações é identificar se o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Caso o grau do numerador seja maior que o grau do denominador, será necessário dividir, obter um polinômio (resto da divisão) e uma fração de polinômios (o resto da divisão dividido pelo denominador), então, esta será função racional própria e, dessa forma, a função poderá ser representada como a soma de várias frações.
Exemplo 1: F s ss^ s s s
s s s - s - s
- s s s s s s s - s s s s s
Efetuando a divisão dos polinômios, tem-se;
s s s s s s^
s s s s s s - s - s s(s - s - ) e s e s s s s s s (s ) s s s s s s^
s s s s (s )
6. Transformada Inversa de Laplace
A Transformada inversa de Laplace pode ser definida como:
f t F(s)
A equação se reduz somente à transformada inversa de uma função F(s). Na qual se for possível obter, em uma tabela de transformadas inversas de Laplace uma função de “t” que, uma vez transformada para “s” seja igual à função à qual se deseja a transformada inversa, o resultado é imediato. Exemplo 1:
s t^ f^ t^ t
Para calcular a transformada inversa, utilizando a tabela, é necessário dividir (ou separar) F(s) de tal maneira que cada termo possua sua transformada inversa já tabelada. Uma técnica muito útil no cálculo das transformadas inversas é a Decomposição em Frações Parciais que transforma F(s) em uma soma de frações mais simples. Calcular a transformada inversa é praticamente identificar o caso e calcular em seguida alguns parâmetros constantes, para depois substituí-los nas equações.
Exemplo 2: Calcular a transformada inversa da seguinte função: s s s s s s
A
s s
s A s (s )
Fazendo s = 3 e s = 2, obtém-se, A= 2 e B = -1. Portanto,
s s s s e^
t (^) e t
7. Aplicações da Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace é usada para a solução de equações diferenciais, para o cálculo de integrais definidas, em muitos ramos da matemática abstrata (análise funcional, cálculo operacional e teoria analítica numérica), das diversas engenharias, física, entre outras. Alguns exemplos disto são vistos abaixo:
Exemplo 1: (Engenharia de trânsito) O tempo entre as chegada sucessivas de dois automóveis à uma cabina de pedágio é dado por uma variável aleatória “x” com uma distribuição exponencial da forma:
f t ,^ e^
, t ara t ara t^ ≥
na qual “t” é o tempo em minutos. Determine a probabilidade de que um par de automóveis escolhidos ao acaso chegue à cabina pelo menos em 6 minutos.
Solução: f(t) e st^ f t dt (^) alim f(t) e st
a dt
a
f(t) , e , t^ dt
f(t) , (^) alim e , tdt
a
f(t) , (^) alim^ e^
, t ,
a
f(t) , (^) alim^ e^
, a ,
e , ,
f(t) , (^) alim^ e ,
f(t) , (^) alim (^) , e f(t) (^) alim e f(t) e
Exemplo 3: Sistema Massa-mola
Encontrar x(t).
m ddt
m d dt d dt s^ f^ sf^ f^ (^ ) s mX s sm X s X s (^) ssm m^ s s (^) m
Na tabela de Transformadas;
s s b cos bt
Assim para b (^) m ,
X(s) cos (^) m t
Apêndice Transformadas de Laplace