Transformada inversa de Laplace., Notas de estudo de Eletrônica

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Professor: Cleiton Patrick Ribeiro 2S/

TEORIA DE CONTROLE MODERNO – UNIDADE 1

INTRODUÇÃO E FUND. AOS SISTEMAS DE CONTROLE

TRANSFORMADA DE LAPLACE

• OGATA, K. Engenharia de controle moderno 5 ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.  APÊNDICE A e B.
• DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de controle modernos 13 ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.  CAPÍTULO 2 e APÊNDICE A.
• NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle 7 ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.  CAPÍTULO 2.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOs)

• A ordem de uma EDO é dada pelo índice da sua maior derivada. Exemplos: 𝒚 ′ + 𝟑𝒚 = 𝟎 → 𝟏ª 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐦 𝒚 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒕 = 𝟎 → 𝟐ª 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐦 𝒅 𝟒 𝒚 𝒅𝒕 𝟒 − 𝟐 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅𝒕 𝟐

• 𝟏 = 𝒆 𝟐𝒕 → 𝟒ª 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐦

Uma EDO é de ordem 𝒏, quando a n-ésima derivada

da função desconhecida 𝒚 é a derivada mais alta de

𝒚 na equação.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOs)

• LINEAR: É dita linear se 𝒇 for linear em todas as variáveis. Exemplos de EDOs lineares com coeficientes constantes: 𝟓 𝒅 𝟒 𝒚 𝒕 𝒅𝒕 𝟒

• 𝟔, 𝟐 𝒅 𝟑 𝒚 𝒕 𝒅𝒕 𝟑
• 𝟏, 𝟖 𝒅 𝟐 𝒚 𝒕 𝒅𝒕 𝟐
• 𝟎, 𝟗 𝒅𝒚 𝒕 𝒅𝒕
• 𝟐𝟔𝒚 𝒕 = 𝟖𝒕 𝟐
• 𝐜𝐨𝐬(𝒕) 𝟑 𝒅 𝟐 𝒚 𝒕 𝒅𝒕 𝟐
• 𝟕 𝒅𝒚 𝒕 𝒅𝒕
• 𝒚 𝒕 = 𝐬𝐞𝐧(𝒕)

• Exemplos de EDOs com coeficientes variáveis: 𝟑𝒕 𝒅 𝟐 𝒚 𝒕 𝒅𝒕 𝟐

• 𝐬𝐞𝐧(𝒕) 𝒅𝒚 𝒕 𝒅𝒕
• 𝒆 𝒕 𝒚 𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝒕) 𝟗𝒕 𝟑 𝒅𝒚 𝒕 𝒅𝒕
• [(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒕 ] 𝒚 𝒕 = 𝟑𝒆 𝟒𝒕

• A solução da equação homogênea é muitas vezes chamada de resposta transitória (𝒚𝒕) e a solução particular (𝒚𝒔𝒔) , de resposta permanente ou estacionário.

𝐏𝐀𝐑𝐓𝐈𝐂𝐔𝐋𝐀𝐑

𝐇𝐎𝐌𝐎𝐆Ê𝐍𝐄𝐀

𝐄𝐒𝐓𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍Á𝐑𝐈𝐀

𝐂𝐎𝐌𝐏𝐋𝐄𝐌𝐄𝐍𝐓𝐀𝐑

𝐅𝐎𝐑Ç𝐀𝐃𝐀

𝐍𝐀𝐓𝐔𝐑𝐀𝐋

𝐏𝐀𝐑𝐓𝐈𝐂𝐔𝐋𝐀𝐑

𝐓𝐑𝐀𝐍𝐒𝐈𝐓Ó𝐑𝐈𝐀

RESPOSTA COMPLETA = TRANSIENTE + REGIME ESTACIONÁRIO

𝒕

𝒔𝒔

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOs)

• NÃO-LINEAR: Geralmente de resolução analítica difícil ou mesmo impossível e não podem ser escritas de acordo com a forma geral apresentada no slide anterior. Exemplos: 𝒚 𝒅 𝟐 𝒚 𝒕 𝒅𝒕 𝟐

• 𝟕 𝒅𝒚 𝒕 𝒅𝒕
• 𝟔𝒚 𝒕 = 𝟗𝒕 𝒅𝒚 𝒕 𝒅𝒕
• 𝒚 𝟐 = 𝟒𝒕 𝒅𝒚 𝒕 𝒅𝒕
• 𝒆 𝒚 = 𝐬𝐞𝐧(𝒕)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF)

• Se 𝒇 𝒕 e 𝒅𝒇 𝒕 /𝒅𝒕 forem transformáveis por Laplace e se 𝐥𝐢𝐦 𝒕→∞ 𝒇(𝒕) existir (convergir para algum valor), então:
• O TVF relaciona o comportamento de regime estacionário (permanente 𝒕 → ∞) de 𝒇 𝒕 ao comportamento de 𝒔𝑭 𝒔 nas vizinhanças de 𝒔 = 𝟎.

𝒇 ∞ = lim

𝒕→∞

𝒇(𝒕) = lim

𝒔→𝟎

11 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOs)

• EX 1 .: Resolva a equação diferencial linear a seguir: 𝟏𝟎 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝟐𝟎𝒚 𝒕 = 𝟏𝟐𝟎 ÷ 𝟐𝟎 → 𝟏 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝒚 𝒕 = 𝟔 → 𝟏 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝟔 − 𝒚 𝒕 𝟐𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝟔 − 𝒚 𝒕 → 𝟐 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 𝟔 − 𝒚 𝒕 → 𝟐𝒕 + 𝑪 = −𝐥𝐧 𝟔 − 𝒚 𝒕 𝒆 −𝟐𝒕+𝑪 = 𝟔 − 𝒚 𝒕 → 𝒚 𝒕 = 𝟔 − 𝒆 −𝟐𝒕+𝑪 Pela regra do produto da exponenciação temos que: 𝒚 𝒕 = 𝟔 − 𝒆 −𝟐𝒕+𝑪 → 𝒚 𝒕 = 𝟔 − (𝒆 −𝟐𝒕 ∙ 𝒆 𝑪 ) Como 𝒆 𝑪 é um valor absoluto ou constante, o designaremos como 𝑲, logo: 𝒚 𝒕 = 𝟔 − 𝑲𝒆 −𝟐𝒕 𝟏𝟎 𝒅𝒚 𝒅𝒕 + 𝟐𝟎𝒚(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOs)

• EX 1 .: O valor de 𝑲 pode ser calculado quando as condições iniciais são nulas, ou seja, em 𝒕 = 𝟎 , 𝒚 𝒕 = 𝟎. Fazendo 𝒚(𝟎) = 𝟎 temos: 𝟔 − 𝑲𝒆 −𝟐∙𝟎 = 𝟎 → 𝑲 = 𝟔 Substituindo o valor de 𝑲 teremos a equação geral no domínio do tempo: : 𝒚 𝒕 = 𝟔 − 𝟔𝒆 −𝟐𝒕 → 𝒚 𝒕 = 𝟔(𝟏 − 𝒆 −𝟐𝒕 )

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOs)

• EX 2 .: Para o circuito a seguir, determine a expressão temporal de 𝒗𝑪 a paritr de 𝒕 = 𝟎 quando a chave 𝒔 tem sua posição alterada de 𝒂 → 𝒃. 𝑽𝑺 𝑺

16 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOs)

• No instante 𝒕𝟎 (𝒕 = 𝟎𝐬) o capacitor inicia sua descarga. Ao aplicarmos a LKC ao nó superior (𝒂) teremos que 𝒊𝑪 + 𝒊𝑹 = 𝟎.

• A constante de integração ( 𝑲 ) deve ser escolhida de modo a garantir a condição inicial, ou seja, 𝒗𝑪 𝟎 = 𝑽𝟎. Portanto:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOs)

• Substituindo o valor de 𝑲 na equação do slide anterior, temos: 𝐥𝐧 𝒗𝑪 = − 𝒕 𝑹𝑪

• 𝐥𝐧 𝑽𝟎 →= 𝐥𝐧 𝒗𝑪 − 𝐥𝐧 𝑽𝟎 = − 𝒕 𝑹𝑪

• Aplicando a propriedade da divisão logarítmica, temos: 𝐥𝐧 𝒗𝑪 𝑽𝟎 = − 𝒕 𝑹𝑪 → 𝒗𝑪 𝑽𝟎 = 𝒆 − 𝒕 𝑹𝑪 (^) →

𝒄

𝟎

− 𝒕 𝑹𝑪

𝒄

𝟎

− 𝒕 𝝉

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDOs)

• Para os circuitos RC dos exercícios 2 e 3 temos: 𝒗𝑪(𝒕) = 𝑽𝟎𝒆 − 𝒕 𝑹𝑪 (^) → REPOSTA NATURAL (𝒗 𝒕) 𝒗𝑪(𝒕) = 𝑽𝒔 𝟏 − 𝒆 − 𝒕 𝑹𝑪 (^) → REPOSTA FORÇADA (𝒗 𝒔𝒔)
• Resposta completa para o circuito RC é dada por 𝒗𝑪 𝒕 = 𝒗𝒕 + 𝒗𝒔𝒔 , logo: 𝒗𝑪 𝒕 = 𝑽𝟎𝒆 − 𝒕 𝑹𝑪 (^) + 𝑽 𝒔 𝟏^ −^ 𝒆 − 𝒕 𝑹𝑪 (^) → 𝒗 𝑪 𝒕^ =^ 𝑽𝟎𝒆 − 𝒕 𝑹𝑪 (^) + 𝑽 𝒔 +^ 𝑽𝒔𝒆 − 𝒕 𝑹𝑪

𝑪

𝒔

𝟎

𝒔

− 𝒕 𝑹𝑪

𝑪

𝒔

𝒔

𝟎

− 𝒕 𝑹𝑪

SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO (SLIT)

• Seja o sistema definido pela equação a seguir, onde 𝒚 é a saída e 𝒙 é a entrada: 𝒂𝟎𝒚 𝒏

• 𝒂𝟏𝒚 𝒏−𝟏
• ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏𝒚 ′
• 𝒂𝒏𝒚 = 𝒃𝟎𝒙 𝒎
• 𝒃𝟏𝒙 𝒎−𝟏
• ⋯ + 𝒃𝒎−𝟏𝒙 ′
• 𝒃𝒎𝒙, (𝒏 > 𝒎)

• DEFINIÇÃO: Os SLITs são sistemas dinâmicos cujos coeficientes das equações diferenciais 𝒂𝒊 e 𝒃𝒊 são constantes (EDO com coeficientes constantes).
• Um sistema é dito linear se o princípio da superposição se aplicar a ele.
• Sendo 𝒙(𝒕) a entrada e 𝒚(𝒕) a saída, um o sistema é invariante no tempo, se 𝒙(𝒕 − 𝝉) gerar uma resposta 𝒚(𝒕 − 𝝉) , isto é, se a entrada é atrasada por 𝝉 segundos, então a saída também será atrasada por 𝝉 segundos.