Trigonometria e Números Complexos, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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TEMA III

Trigonometria e Números Complexos

Miguel Moreira Júlia Justino Mariana Dias

Conteúdo

• 1 Trigonometria
  • 1.1 Introdução
  • 1.2 O conceito de ângulo
  • 1.3 Algumas propriedades de triângulos planos
  • 1.4 As funções Seno e Coseno de ângulos entre 0 e π
    • 1.4.1 A relação entre o Seno e o Coseno
  • 1.5 As funções Secante e Cosecante para ângulos entre 0 e π
  • 1.6 As funções Tangente e Cotangente para ângulos entre 0 e π
  • 1.7 O círculo trigonométrico
    • 1.7.1 O Seno e o Coseno no círculo trigonométrico
    • 1.7.2 A Tangente e a Secante no círculo trigonométrico
    • 1.7.3 A Cotangente e a Cosecante no círculo trigonométrico
  • 1.8 Valores de funções trigonométricas para ângulos arbitrários
    • 1.8.1 Redução de um ângulo arbitrário ao intervalo [0, 2π[
    • 1.8.2 Redução de uma função trigonométrica ao 1o quadrante
  • 1.9 Equações com funções trigonométricas
    • 1.9.1 Equação sen x = sen α
    • 1.9.2 Outras equações
  • 1.10 Algumas importantes fórmulas trigonométricas
    • 1.10.1 O seno da soma
    • 1.10.2 O coseno da soma
    • 1.10.3 A lei dos senos
    • 1.10.4 A lei do coseno
  • 1.11 Exercícios Propostos
  • 1.12 Soluções
• 2 Números Complexos
  • 2.1 Introdução
  • 2.2 Forma algébrica dos números complexos e sua representação geométrica
  • 2.3 Operações com números complexos na forma algébrica
    • representação geométrica 2.4 Forma trigonométrica dos números complexos e sua
  • 2.5 Operações com números complexos na forma trigonométrica
  • 2.6 Domínios planos e condições em variável complexa
    • 2.6.1 |z 1 − z 2 | como distância entre dois pontos
    • 2.6.2 |z − z 1 | = |z − z 2 | como mediatriz de um segmento de recta
    • 2.6.3 arg (z − z 1 ) = θ como semi-recta
  • 2.7 Exercícios Propostos
  • 2.8 Soluções

Quando através de uma rotação plana, em sentido anti-horário, de uma recta orientada em torno de um seu ponto, esta volta pela primeira vez à posição inicial o ângulo descrito é igual a 360 ◦^ (trezentos e sessenta graus), 2 π radianos ou 400 grados.

Figura 2: Ângulo α = 360 ◦^ = 2 π rad = 400 grados.

Se a rotação plana da recta anterior descrever apenas 180 ◦, π radianos ou 200 grados, a recta fica disposta na mesma direcção embora com uma orientação oposta. É habitual designar este ângulo por ângulo raso.

αα

Figura 3: Ângulo raso α = 180 ◦^ = π rad = 200 grados.

Se a rotação plana da recta em questão descrever 90 ◦, π 2 radianos ou 100 grados o ângulo descrito diz-se recto.

Figura 4: Ângulo recto α = 90 ◦^ = π 2 rad = 100 grados.

O sistema de medição de ângulos em graus é designado por sistema sexagesimal, no qual as fracções de grau são representadas por minutos (angulares) e segundos (angulares). Como se sabe, nos sistemas sexagesimais, 60 minutos (ou 600 ) correspondem a 1 ◦^ e 60 segundos (ou 6000 ) correspondem a 1 minuto.

Exemplo 1 Exprima em graus e radianos, 50 grados.

Resolução: Como se sabe, 90◦^ e π 2 radianos correspondem a 100 grados. Assim,

x 50 grados

100 grados

⇒ x = 45 ◦

e x 50 grados

π 2 radianos 100 grados

⇒ x =

π 4

radianos.

1.3 Algumas propriedades de triângulos planos

Definição 2 Um triângulo plano é uma figura geométrica com três lados (constituidos por três segmentos de recta) que definem três ângulos internos, como se observar na Figura

5. Nesta figura denotamos os ângulos referidos pelas letras α, β e γ. É habitual representar os lados de um triângulo por letras maiúsculas e os respectivos comprimentos pelas mesmas letras minusculas. Na Figura 5 representamos os lados pelas letras A, B e C.

α

β

B γ

A

C

α

β

B γ

A

C

Figura 5: Triângulo plano.

No caso em que A = B = C o triângulo diz-se equilátero; se tiver dois lados iguais e um diferente diz-se um triângulo isósceles e se tiver os lados todos diferentes o triângulo diz-se escaleno. No caso em que um dos ângulos internos do triângulo é recto

90 o^ = π 2 rad

, o triângulo diz-se rectângulo. A Figura 6 representa um triângulo rectângulo, onde o ângulo recto se encontra assinalado.

c

b

a

2

π

c

b

a

2

π

Figura 6: Triângulo rectângulo.

Notemos igualmente que o triângulo ilustrado, apresenta mais dois ângulos internos aqui denotados pelas letras gregas α e β. As letras a, b e c representam respectivamente os

Exemplo 2 Suponha que num triângulo rectângulo um dos ângulos internos tem 35 ◦. Qual o valor do outro ângulo α não-recto?

Resolução: Teremos de ter α + 35 ◦^ + 90 ◦^ = 180 ◦

donde resulta α = 90 ◦^ − 35 ◦^ = 55 ◦.

Seguidamente iremos referir mais algumas propriedades dos triângulos planos. Suponha-se que a partir dos lados A 1 , A 2 e A 3 de comprimento a 1 , a 2 e a 3 , de um dado triângulo A, construímos um novo triângulo B, cujos lados tem comprimentos b 1 = ra 1 , b 2 = ra 2 e b 3 = ra 3 , em que r representa um qualquer número real estritamente positivo.

A B

a 1

b 1 (^) = ra 1

A B

a 1

b 1 (^) = ra 1

Figura 8: Triângulos semelhantes.

Nestas circunstâncias, o triângulo B diz-se semelhante ao triângulo A e os lados

Ai e B (^) i com 1 ≤ i ≤ 3

dos triângulos A e B, dizem-se homólogos.

Definição 3 Sejam A e B dois triângulos com lados A 1 , A 2 e A 3 , B 1 , B 2 e B 3 , e comprimen- tos a 1 , a 2 e a 3 , b 1 , b 2 e b 3 , respectivamente. Se existir uma constante de proporcionalidade r > 0 tal que bi = ra (^) i

com 1 ≤ i ≤ 3 , então o triângulo B diz-se semelhante a A.

Podemos afirmar, com um pequeno abuso de linguagem que triângulos semelhantes são proporcionais entre si. A propriedade seguinte permite-nos reconhecer triângulos semelhantes recorrendo à noção de ângulo interno.

Propriedade 3 Os triângulos A e B são semelhantes se e só se os ângulos internos de A forem iguais aos ângulos internos de B.

Por outro lado, para verificar com base na observação dos ângulos internos de dois triângulos, que estes são semelhantes, basta assegurar que dois dos ângulos internos de um triângulo são iguais a dois dos ângulos internos de outro. Mais formalmente:

β β

α

α

γ

γ β β

α

α

γ

γ

Figura 9: Triângulos com idênticos ângulos internos.

α

β

β^ *

γ γ* α

β

β^ *

γ γ*

Figura 10: Ângulos internos de triângulos semelhantes são iguais.

Propriedade 4 Os triângulos A e B são semelhantes se e só dois dos ângulos internos de A forem iguais a dois dos ângulos internos de B.

Exemplo 3 Na Figura 10 podemos observar que β = β∗^ e γ = γ∗. Estas igualdades, bastam para determinar a semelhança destes triângulos.

Na Figura 10 podemos também inferir que lados homólogos definem ângulos internos idên- ticos. Mais precisamente:

Propriedade 5 Lados homólogos de triângulos semelhantes definem ângulos internos iguais.

Os triângulos planos podem ser agrupados em grupos de triângulos que são semelhantes entre si. Triângulos semelhantes partilham muitas propriedades interessantes.

Exemplo 4 Consideremos a Figura 11 em que estão representados dois triângulos seme- lhantes e os respectivos comprimentos dos seus lados.

α

α

β

γ γ

β

b

c

a

• a^ * b

c^ *

α

α

β

γ γ

β

b

c

a

• a^ * b

c^ * Figura 11: Triângulos semelhantes.

Então a∗ a

b∗ b

c∗ c

c

b

a

2

π

c

b

a

2

π

Figura 13: Triângulo rectângulo.

A função coseno, designada Coseno, define-se como sendo o quociente entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo α e o comprimento da hipotenusa, isto é:

cos α =

cateto adjacente hipotenusa

b c

Exemplo 5 Determine o valor da função seno de α supondo que α tem o valor de 0 , π 6 , π 4 , π 3 e^

π 2 radianos.

Resolução: Comecemos por observar que quando α tem o valor de 0 radianos o seu cateto oposto tem um comprimento nulo. Desta forma sen 0 = (^0) c = 0. Quanto ao valor da função seno quando α tem o valor de π 6 radianos, consideremos o triân- gulo equilátero da Figura 14.

c α

2

π

c

c

c

c α

2

π

c

c

c

Figura 14: Determinação de sen π 6.

Como é sabido a soma dos ângulos internos de um qualquer triângulo plano é igual a π radianos. Assim, os ângulos internos dum triângulo isósceles são iguais a β = π 3. Desta

forma, no triângulo da figura α =

π 3 2 =^

π

6. Donde se deduz, atendendo à definição de Seno,

sen

π 6

c 2 c

Por outro lado, deduz-se também, atendendo ao Teorema de Pitágoras, que

sen

π 3

q c^2 −

¡c 2

c

q 3c^2 4 c

Consideremos, agora, o quadrado de lado a, seguinte:

a

2 α

π

α

c

a

2 α

π

α

c

Figura 15: Determinação de sen π 4.

Naturalmente α = π 4. Donde, atendendo à definição de Seno

sen

π 4

a c =

a √ a^2 + a^2

=

Finalmente, observemos que quando α = π 2 , o comprimento do cateto oposto torna-se igual ao comprimento da hipotenusa. Assim, sen π 2 = 1. Em resumo obtemos a Tabela 1:

ângulo Seno 0 0

π 6

1 2

π 4

√ 2 2

π 3

√ 3 2 π 2 1 Tabela 1: Seno de alguns ângulos entre 0 e π 2.

1.4.1 A relação entre o Seno e o Coseno

As funções Seno e Coseno encontram-se directamente relacionadas. Consideremos novamente a Figura 16 que representa um triângulo rectângulo.

c

b

a

α

β

2

π

c

b

a

α

β

2

π

Figura 16: Triângulo rectângulo.

Por outro lado sen α = cos

³π

2

− α

Então, atendendo à Tabela 1, temos sucessivamente

cos 0 = cos

³π

2

π 2

= sen

π 2

cos

π 6

= cos

³π 2

π 3

= sen

π 3

cos

π 4

= cos

³π

2

π 4

= sen

π 4

cos

π 3

= cos

³π 2

π 6

= sen

π 6

e

cos

π 2

= cos

³π

2

= sen 0 = 0.

Donde obtemos a Tabela 2:

ângulo Coseno 0 1

π 6

√ 3 2

π 4

√ 2 2 π 3

1 2 π 2 0 Tabela 2: Coseno de alguns ângulos entre 0 e π 2.

1.5 As funções Secante e Cosecante para ângulos entre 0 e π 2

As funções Secante e Cosecante podem ser definidas, para ângulos entre 0 e π 2 radianos, com base nas funções Coseno e Seno, atrás definidas.

Definição 5 As funções Secante e Cosecante são as funções que se definem, respectiva- mente, como

sec α =

cos α

e

csc α =

sen α

A partir das definições anteriores e tendo por base a Figura 17

c

b

a

2

π

c

b

a

2

π

Figura 17: Triângulo rectângulo.

pode constatar-se que a Secante e a Cosecante de um dado ângulo α poder-se-ia ter definido directamente a partir do triângulo rectângulo acima representado. Com efeito se

sec α =

cos α

e cos α =

b c

então

sec α =

cos α

b c

c b

Analogamente se mostra que

csc α =

c a

A partir das definições anteriores e tendo por base a figura 18

c

b

a

2

π

c

b

a

2

π

Figura 18: Triângulo rectângulo.

pode observar-se que a Tangente e a Cotangente de um dado ângulo α poder-se-ia ter definido directamente a partir do triângulo rectângulo acima representado. Com efeito se

tg α = sen cos^ αα ,

sen α = ac e

cos α = bc

então

tg α =

sen α cos α

a c b c

a b

cateto oposto cateto adjacente

Analogamente se mostra que

cotg α =

b a

cateto adjacente cateto oposto

Exemplo 8 Determine o valor das funções Tangente e Cotangente quando α assume os valores 0 , π 6 , π 4 , π 3 e π 2 radianos.

Resolução: Consideremos os valores das funções Seno e Coseno para estes ângulos e as definições das funções Tangente e Cotangente. Deduz-se:

ângulo Seno Coseno Tangente = (^) CosenoSeno Cotangente = (^) Tangente^1 0 0 1 0 não definida

π 6

1 2

√ 3 2

1 √^2 23 =^

√ 3 3

π 4

√ 2 2

√ 2 2 1 1

π 3

√ 3 2

1 2

√ 3 (^21) 2

√ 3 3

π 2 1 0 não definida^0

1.7 O círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário, centrado na origem de um referen- cial cartesiano. Os ângulos são medidos entre o semieixo positivo dos xx e um apropriado raio vector aplicado na origem. Se a medição for efectuada no sentido anti-horário o ângulo é positivo. Caso contrário é negativo. Neste círculo, como veremos, será possível identi- ficar com certos comprimentos adequadamente escolhidos, os valores das principais funções trigonométricas para os ângulos considerados. Adicionalmente o círculo trigonométrico permite-nos generalizar os funções trigonométricas atrás definidas para argumentos entre 0 e π 2 radianos a outros ângulos.

1.7.1 O Seno e o Coseno no círculo trigonométrico

Observemos a Figura 19 que representa um círculo trigonométrico com um triângulo rectân- gulo cuja hipotenusa constitui um raio vector aplicado na origem com comprimento unitário. Seja α o ângulo medido no sentido anti-horário entre o semieixo positivo dos xx e a hipotenusa do triângulo rectângulo representado. Sejam a e b os comprimentos dos catetos do triângulo rectângulo representado medido de acordo com os sentidos dos correspondentes eixos.

c = 1 a =sen α

b =cos α

y

x

c = 1 a =sen α

b =cos α

y

x

Figura 19: Seno e Coseno.

Como a hipotenusa do triângulo representado tem o comprimento c = 1, então por definição é imediato concluir que para um ângulo entre 0 e π 2 radianos

sen α =

a c

a 1

= a e

cos α =

b c

b 1

= b.

Isto é, o comprimento a e b dos catetos representados na Figura 19 traduzem exactamente os valores das funções Seno e Coseno do ângulo α.

Comecemos por notar, por exemplo que

ângulo Seno Coseno 0 0 1

π 2 1 0

π 0 − 1

3 π 2 −^1

2 π 0 1

Outro facto particularmente interessante que se pode registar observando a evolução dos comprimentos dos catetos do triângulo da Figura 19 à medida que o ângulo α varia, é a periodicidade, com período 2 π, das funções Seno e Coseno. Nas Figuras 22 e 23 pode ser verificada esta propriedade.

Figura 22: Periodicidade da função seno.

Figura 23: Periodicidade da função coseno.

Tem-se, assim, para qualquer ângulo α

sen α = sen (α + 2 π) e cos α = cos (α + 2 π).

Isto é,

sen α = sen (α + k2π) e cos α = cos (α + k2π)

para todo ângulo α e k número inteiro. Pode, igualmente verificar-se que para todo o ângulo α

sen α = − sen (−α) e cos α = cos (−α).

Isto é, a função seno é uma função ímpar e a função coseno é uma função par. Nas Figuras 24 e 25 verificam-se, como base na interpretação do círculo trigonométrico estas propriedades.

α

senα

y

x

( 0 , 1 )

( 1 , 0 )

sen(− α)

−α

α

senα

y

x

( 0 , 1 )

( 1 , 0 )

sen(− α)

−α

Figura 24: sen α = − sen (−α).

α

y

x

( 0 , 1 )

( 1 , 0 ) − α

cosα

cos(− α)

α

y

x

( 0 , 1 )

( 1 , 0 ) − α

cosα

cos(− α)

Figura 25: cos α = cos (−α).