Baixe Séries Geométricas e os Números Complexos e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Séries Geométricas e os Números Complexos.
Autor: Rodrigo R. Gonçalez
1. Introdução.
Para a introdução deste trabalho, bastava uma motivação simples e singular de estudar a forma
e o desenvolvimento de determinadas Sequências e Séries Geométricas, as quais possuem tal
belo comportamento, irregular e sorrateiro, quando seus termos se aproximam do infinito.
O objetivo deste, portanto, consiste em verificar alguns resultados interessantes ao obtermos
Progressões e Séries Geométricas com os Números Complexos. Portanto, a ênfase é
verificarmos o que acontece quando os termos e a razão de tais sequências são complexos e
obtermos resultados.
Seja uma sequência geométrica na forma
1
,
n
n
x w z n
, tal que z w, ;z a bi.
Sabemos, pelo Binômio de Newton, que:
1
1 ( 1)
0
n
n n k k
k
n
a bi a bi
k
, k
Ou seja,
1
( 1) 1 0 2
0
3 2 4 3 2
0 1
1
( 1)
0
1 1 1
( ) ( ) ( )
0 1
1 1 1
( ) ( ) ... ( )
2 3 2
1
( )
1
1 1
( )
0
n
n k k n n
k
n n n
n
n
n k k
k
n n n
a bi a bi a bi
k
n n n
a bi a bi a bi
n
n
a bi
n
n n
a bi a
k
^ ^
^ ^
^
1 2
3 2 4 3 5 4
6 5 7 6 2
1 1
1
( )
1
1 1 1
2 3 4
1 1 1
...
5 6 2
1
1
n n
n n n
n n n n
n n
n
a bi
n n n
a b a b i a b
n n n
a b i a b a b i
n
n
b i
n
^ ^
^ ^
Desenvolvendo este binômio, observamos que os termos de ordem par são independentes de i
e os termos de ordem ímpar são dele dependentes. Ou seja, os termos de ordem par constituem
a parte real do binômio, e os termos de ordem ímpar a parte imaginária. Tomando um k ,
pode-se provar que:
1
(2 1) 2
,
0
1
(2 2) 2 1
,
0
1
, ,
n
k n k k
n k
k
n
k n k k
n k
k
n
n k n k
n
R a b e
k
n
I a b
k
a bi R i I
Logo, podemos escrever o termo geral de nossa sequência geométrica em função de uma raiz
complexa da forma:
n 1 ^ n k, n k,
x x R i I
Se o primeiro termo for um complexo da forma 1
x w c di, temos:
cos | | cos
| | cos (| | ) | | (cos )
b
sen b z sen
z
a
a z
z
z a bi z z z sen i z z i sen
Temos que:
| | | | | | | | ... | |(cos )(cos )...(cos )
| | (cos )
n
n vezes n vezes
n n n
z z z z z z i sen i sen i sen
z z i sen
2 2 2 2
2 2
2 2
2
(cos ) cos 2 cos
cos (2 cos )
cos 1 cos (2 )
(2 cos 1) (2 )
cos(2 ) (2 )
i sen i sen i sen
sen i sen
i sen
i sen
i sen
3 3 2 2 2 3 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
(cos ) cos 3 cos 3 cos
cos 3 cos 3 cos
cos 3 cos (3cos )
(cos 3 cos ) (3 cos )
cos(3 ) (3 )
i sen i sen i sen i sen
sen i sen isen
sen i sen sen
sen i sen sen
i sen
E
, , (cos ) cos ( ) ( )
n
m geral por indução prova se que i sen n i sen n
Portanto,
| | (cos ( ) ( ))
n n
z z n i sen n
1 2
1
2 2 2
1
1
| | (cos ( ) ( )) (cos )
| | (cos ) (cos )
| | (cos ( ) cos cos( ) cos ( ) ( )
cos
| | [(cos ( ) cos ( ) )
n n
n
n
n
n
Seja
z z n i sen n i sen
z z i sen i sen
z n i n sen i sen n i sen n sen
z
i sen
z n sen n sen i
z
2 2
( ( ) cos cos( ))]
cos
sen n sen n
sen
2 2
1 1
cos 1
cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos[( 1) ]
( ) cos cos( ) ( ) [( 1) ]
| | (cos[( 1) ] [( 1) ])
n n
Temos que
sen
n sen n sen n n
sen n sen n sen n sen n
Substituindo em
z z n i sen n
Observando os cálculos mediante o Binômio de Newton e a Fórmula de De Moivre, podemos
fazer algumas comparações pertinentes e importantes.
1
, ,
1
, ,
Re( ) : | |
Re( ) :
Im( ) : | |
Im( ) :
n
n
n n k n k
n
n
n n k n k
x z c c d s
x c R d I
x z c s d c
x c I d R
De acordo com as observações, podemos comparar tais resultados:
1 1
, ,
1 1
, ,
| | c c | | (1)
n n
n k n k
n n
n k n k
z R z R
z s I s z I
Demonstração: Utilizando a relação fundamental da trigonometria, obtemos:
2 2
2 2 1 1
2 2 2 2 2 2
, ,
1 1 2 2 2 2 2 2
, ,
1 2 2 2 2 2 1
, ,
c 1
n n
n k n k
n n
n k n k
n n
n k n k
s
a b I a b R
a b I a b R
I R a b z
3. Séries de Taylor.
A série de Taylor associada a uma função infinitamente diferenciável (real ou complexa)
definida em um intervalo aberto ( a r, a r), é a série de potências dada por:
( ) '' ( )
' 2
0
n n
n n
n
f a f a f a
f x x a f a f a x a x a x a
n n
Onde, n! é o fatorial de n e
( )
( )
n
f a denota a n-ésima derivada de f no ponto a.
Tomando a série de Taylor para compor funções, temos que, se a 0 :
( ) '' ( )
' 2
0
n n
n n
n
f f f
f x x f f x x x Série de Maclaurin
n n
2 3 4
( 1) 2 3 4
0
2 3 4 5
( 1)( ) 2 3 4 5
2 4
2 4
[( 1) ] ,
n x
k
k
n i
x x x
e n x n n n
n x x
k
Para x i temos
e n i n i n n n
n n i
3
3
( 1)( )
cos [( 1) ] [( 1) ]
n i
n n
e n i sen n
Mas,
1
1 (2 1) 2
0
1
1 (2 2) 2 1
0
cos[ ( 1) ] | | ( 1)
[ ( 1) ] | | ( 1)
n
n k n k k
k
n
n k n k k
k
n
n z a b
k
n
sen n z a b
k
Então:
1
( 1)( ) 1 (2 1) 2
0
1
1 (2 2) 2 1
0
1 1
1 (2 1) 2 (2 2) 2 1
0 0
n
n i n k n k k
k
n
n k n k k
k
n n
n k n k k k n k k
k k
n
e z a b
k
n
i z a b
k
n n
z a b i a b
k k
^
1 1
( 1)( ) 1 1
1
( 1)( )
n n
n i n n
n
n i i i
z a bi
e z z
z z
e e z z e
z z
De fato, comprova-se o resultado esperado:
( 1)( )
1 1 ( 1)( )
cos [( 1) ] [( 1) ]
n i
n n n i
e n i sen n
z z e
4. Relação de Euler e o Limite de Uma Sequência.
O número de Euler pode ser obtido mediante o limite de uma sequência (^ ) n
x (^) , tal que:
1 lim
n
n n n
x x e
n
Ao tomarmos um número p , podemos provar facilmente, utilizando as propriedades de
limites no infinito, que:
2 3 4
0
1
n n
x
n
n
x x x x x
e x x
n n
e
n n
Que nos fornece um resultado interessante, mostrando que o número de Euler pode ser obtido
pela soma infinita da série
n!
5. Retomando Resultados.
Obtivemos resultados belíssimos anteriormente, dentre os quais:
1
( 1)( )
1 1 ( 1)( )
) | | [( cos[( 1) ] [( 1) ]) ( [( 1) ] cos[( 1) ])
) cos [( 1) ] [( 1) ]
n
n
n i
n n n i
i x z c n d sen n i c sen n d n
ii e n i sen n
iii z z e
Dada uma progressão geométrica infinita, de termos e razão complexos,
1
,
n
n
x w z n
, tal que z a bi e w c di, monótona e convergente, a qual gera um
número real puro. Devemos ter:
lim Re n n
S
Seja r um número real. Temos:
1
( )
lim
n n
a
S r
q
( )
lim
( ) (1^ ) ( )(1 ) ( )
n n
w c di
S r r
z a bi
c di a^ bi c di a c di bi
r
a bi a bi a bi
c ac di adi bci bd c ac bd i d ad bc
r
a a b a b a
^
Assim devemos ter:
d ad bc 0 para que r seja um número real puro.
d ad bc 0
d ad bc
ad d bc
bc
d
a
d a( 1)
c
b
b a( 1)
b
c
ou 1
bc
a
d
