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Asignatura: matematicas 2, Profesor: , Carrera: Administració i Direcció d'Empreses, Universidad: UV
Tipo: Apuntes
1 / 26
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Teoría 2: Transformación de problemas
El valor función objetivo en^ Max f (x^1 ,x^2 ,...,x^ n^ ) óptimo se incrementa en k
Puede cambiar el nº de solu-ciones óptimas de 1 a infinitas^ x^ i variable libre
x (^) i = −x (^) i−^ , x (^) i−^ ≥
x 0,x 0,x libre
2x x 5
x x 4
s.a. x 2x 3
Min -3x 4x x 20
1 2 3
1 3
2 3
1 2
1 2 3
≥ ≤
− =
≥
Ejemplo: ( )
( )
− + −
t
1 2 3 3 1 2
principales holgura
Teoría 1: Formulación del problema de programación lineal y consecuencias
1 2 3 3 1 2
1 + 3 3 2
2 3 + 3
1 2 1
1 2 3 3
− + −
−
− −
−
Práctica 2: Obtención de soluciones factibles básicas
Dado un PL en su forma matricial estándar:
definimos: Solución básica. m variables básicas y el resto no básicas y se Es una solución x que tiene caracteriza porque tiene a lo sumo m variablesno nulas (toda variable no nula es básica), satisface las restricciones B asociada a las variables Ax = b , y la submatrizbásicas tiene determinante no nulo. Solución factible. verifica el sistema Es toda soluciónde restricciones x y (^) quelas condiciones de no negatividad. Solución factible básica. que es solución factible y básica a la vez. Puede Es una solución x ser: no degenerada o degenerada.
Si x es solución factible básica:
Dos procedimientos equivalentes para obtener, siexiste, la solución factible básica asociada a B:
Demostrar que: |Hacer x B |≠ 0 Comprobar queN=^0 y resolver el sistema: x B≥ 0^ Ax = b
Demostrar que: |Calcular B-1 B |≠ 0 Calcular y comprobar que: x B= B -1 b ≥ 0
x
Ax b
c x s.a.
N B^0 B -
Ejemplo 1 ( continuación)
b) Calcula dos SFB más (continua)
x,x ,x ,x ,s 0
x x x x 4
s.a. x 2 x s 6
Max x 2x 3x 3 x
1 2 3 3
1 2 3 3
1 2
1 2 3 3
≥
− + − =
− + −
− +
− + −
−
− + −
-
SFB asociada a la identidad: Básicas: s, x (variables básicas en el orden que forman la I)^3 +^ , No Básicas: x^1 , x^2 , x^3 - -| B |≠0: |I 2 |=1 ≠ 0
^ xs+ 3 =^ I^2 46 = 46
= − − → =−
21 10 x x 11 21 10 01 01 A x^1 x-^2 x^3 x-^3 s B -^23
Otra SFB más: Tomemos, por ejemplo, como básicas x 2 -^ y x^3 +
→ −
-^21 B 1011 −^0 N (^10146) b (^01) I 1031 // (^22) B −^0 1 (^1) N 11 // (^22) B (^73) − (^1) b
Práctica 2: Obtención de soluciones factibles básicas
Ejemplo 1 ( continuación)
c) Calcula una solución básica no factible
x,x ,x ,x ,s 0
x x x x 4
s.a. x 2 x s 6
Max x 2x 3x 3 x
1 2 3 3
1 2 3 3
1 2
1 2 3 3
≥
− + − =
− + −
− +
− + −
−
− + −
- Busquemossistema con unaun máximosolución deque dos cumpla variables el d) Calcula una solución factible no básica distintascomprobemos las condiciones. a cero y alguna negativa y Consideremos la solución: (0,3,0-7,0). -La solución cumple el sistema: 0+2⋅3+0=6; 0-3+0-(-7)=
x 11 2 x 1 10 x 01 x 01 s 2 x 1 x (^031) , 2 0 1 - 2 3 - 3 - 2 =−^ ≠ → =− −
= − −
una variable negativa no es factible. (0,3,0-7,0) es solución básica, pero como hay
Busquemos una solución factible con más dedos variables distintas de cero, por ejemplo: (1,2,5,0,1). Comprobemos que es factible:1+2⋅2+1=6; 1- 2+5-0=4; 1,2,5,0,1≥0.
Práctica 2: Obtención de soluciones factibles básicas
Teoría 2: Teoremas básicos de programación lineal
Teorema 1. Si la función objetivo alcanza un valor óptimo dicho óptimo se obtiene siempre en un vértice del conjunto de oportunidades. Teorema 2. Si la función objetivo alcanza el óptimo en más de un vértice, entonces toma el mismo valor para todos los puntos del segmento lineal que los une. Teorema 3. Un punto x es vértice del conjunto de oportunidades del problema lineal si y sólo si x es una solución factible básica. Teorema 4 (Teorema Fundamental de la Programación Lineal). Si existe una solución factible, entonces existe una solución factible básica. Si existe una solución factible óptima, entonces existe una solución factible básica óptima.
Visitemos nuevamente el problema “Flair Furniture (a) M,S 0
s.a. 4M 3S 240
Max B 70M 50S
≥
b) Escribe una solución infactible y una solución factible no básica
a) Enumera todas las SFB e identifica componentes básicas y no básicas c) Describe un procedimiento teórico para resolver el PL e) Calcula las tablas del Simplex asociadas a las SFB (0,0) y (30,40)
d) Demuestra que (30,40) es SFB del problema
Tipo de Solución (Salida GAMS con variables positivas)
El multiplicador de Kuhn y Tucker.- Si la solución óptima del PL es no degenerada el multiplicador de Kuhn y Tucker asociado a una restricción activa nos indica cuánto varía la función objetivo en el óptimo para variaciones unitarias del término independiente. Esto es :
Esta interpretación es válida para cambios que se produzcan dentro del intervalo de sensibilidad del término independiente.
Δf* = λjΔb j
Rendimientos marginales Wj. Representan el incremento de la función objetivo por cada unidad que aumenta la variable no básica j, suponiendo que las demás variables no básicas permanecen constantes.
El rendimiento marginal de las variables básicas es cero.
∆z = Wj ⋅∆xj = (c (^) j−Zj) ⋅∆xj
MARGINAL.VARIABLES MARGINAL.EQUATIONS=Rdto. Marginal=Multiplicador K-T Excepción: En el caso de variables con cotas activas MARGINAL.VARIABLES=Multiplicador K-T
Problema de transporte
G 0,i 1,2,3,j 1,2,
s.a. G G G 2000
Min C 2G 3G G 4G 2G 5G
ij
13 23 33
12 22 32
11 21 31
31 32 33
21 22 23
11 12 13
31 32 33
11 12 13 21 22 23
G 0,i 1,2,3,j 1,2,
G l(j), j 1,2, 3
s.a. G p(i), i 1,2, 3
Min C a(i,j)G
ij
(^3) i 1 ij
(^3) j 1 ij ij
(^3) i 1 3 j 1
=
=
= =
l ( 5000 3000 2000 )
, p 1 8 9
