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Tema 5.- Análisis de Sensibilidad
y Post-Optimización
Análisis de post-optimización de los coeficientes de la
función objetivo y de los términos independientes de las
restricciones. Introducción de nuevas variables.
Modelización, resolución con ordenador e interpretación de
modelos de programación lineal: Análisis de sensibilidad
Introducción. Análisis de sensibilidad de los coeficientes de
la función objetivo y de los términos independientes de las
restricciones.
Nota.- Las referencias al manual corresponden al Tema 6.
Plan de Docencia
Análisis de post-optimización de los coeficientes de la
función objetivo y de los términos independientes de las
restricciones. Introducción de nuevas variables.
Modelización, resolución con ordenador e interpretación de
modelos de programación lineal: Análisis de sensibilidad
Introducción. Análisis de sensibilidad de los coeficientes de
la función objetivo y de los términos independientes de las
restricciones.
Introducción
Cuando resolvemos un PL asumimos que los coeficientes, términos independientes y
coeficientes de la matriz técnica son conocidos con certeza y permanecen constantes
en el tiempo. Estas hipótesis son admisibles como mucho a muy corto plazo.
Los cambios en los parámetros pueden afectar a las dos condiciones que ha de
satisfacer una solución óptima x * que son:
En este tema estudiaremos el rango o campo de variación admisible para los
diferentes parámetros del problema dentro del cual la solución actual se mantiene
como factible y óptima ( análisis de sensibilidad ) y cómo quedan afectadas las
condiciones de optimalidad y factibilidad de la solución actual cuando se modifican
uno o varios parámetros del problema ( análisis de post-optimización ).
Condición de optimalidad:
(maximizar)
Condición de factibilidad: x B b 0
1 B
W c j 0, paratodoj
t 1
j ^ j B
c B P
Práctica 1: Análisis de sensibilidad
Objetivo: El análisis de sensibilidad trata de la obtención del intervalo en el que puede variar
un parámetro dado sin que se modifique la estructura de la solución óptima (no varía cuales
son las variables básicas del problema y cuales no son aunque sí puede variar el valor concreto de
las variables básicas).
Método: Estos intervalos se calculan estudiando el campo posible de variación del parámetro
para que se sigan cumpliendo las condiciones de factibilidad y optimalidad.
Intervalo sensibilidad coeficiente función objetivo: Los cambios en los
coeficientes afectan a la condición de optimalidad y para variaciones del parámetro en su
intervalo de sensibilidad se mantiene la solución óptima (valor de las variables)
modificándose en el caso de coeficiente de variables básicas el valor de la función objetivo
en el óptimo.
Intervalo sensibilidad término independiente: Los cambios afectan a la condición
de factibilidad y para variaciones del parámetro dentro del intervalo de sensibilidad se
mantiene únicamente la estructura de la solución óptima (las variables básicas siguen
básicas y la no básicas siguen no básicas).
Ejemplo 2. Intervalo de sensibilidad de b 2
Práctica 1: Análisis de sensibilidad
x,y,z 0
x 2y 3z 6
s.a 2x y z 12
M axf x y 5z Tabla óptima
Sustituimos el término independiente de la segunda restricción por b y hacemos los cambios pertinentes…
Se cumple la optimalidad de la solución y para que se cumpla la factibilidad:
I [6, ) 0
0 b 5
2b 5
12
5
b 5
24
Para variaciones dentro del intervalo ((24+b)/5, (2b-12)/5,0,0,0) es solución óptima única pero no siempre degenerada del problema con valor de la función objetivo f*=(12+3b)/5. (Se mantiene la estructura de la solución óptima pero no los valores.)
1 / 5 2 / 5
2 / 5 1 / 5 1 2
(^2 1) - B B
5
(2b-12)
5
(24b)
b
12 1 / 5 2 / 5
2 / 5 1 / 5 B-1 b
Plan de Docencia
Análisis de post-optimización de los coeficientes de la
función objetivo y de los términos independientes de las
restricciones. Introducción de nuevas variables
Modelización, resolución con ordenador e interpretación de
modelos de programación lineal: Análisis de sensibilidad
Introducción. Análisis de sensibilidad de los coeficientes de
la función objetivo y de los términos independientes de las
restricciones
Ejemplo 4. ¿Qué sucede cuando c 2 pasa a valer 3?
x,y,z 0
x 2y 3z 6
s.a 2x y z 12
M axf x y 5z Tabla óptima
Sustituimos el coeficiente actual de y por 3, hacemos los cambios pertinentes y aplicamos el algoritmo del Simplex:
Problema acotado (maximizar, Wi≤0, para todo i), solución no degenerada (todas las variables básicas son distintas de cero) y única (Wi de todas las no básicas distintos de cero): x=0, y=3, z=0, s=15, t=0, f=
Práctica 2: Análisis de post-optimización
Ejemplo 5. ¿Qué sucede cuando b 1 pasa a valer 6?
x,y,z 0
x 2y 3z 6
s.a 2x y z 12
M axf x y 5z Tabla óptima
Problema acotado (maximizar, Wi≤0, para todo i), solución no degenerada (todas las variables básicas son distintas de cero) y única (Wi de todas las no básicas distintos de cero): x=18/5, y=6/5, z=0, s=15, t=0, f=24/
Práctica 2: Análisis de post-optimización
1 / 5 2 / 5
2 / 5 1 / 5 1 2
(^2 1) - B B
Sustituimos el término independiente de la primera restricción por 6 y hacemos los cambios pertinentes…
(^65)
(^185)
6
6 1 / 5 2 / 5
2 / 5 1 / 5 B-1 b
Importante. Si B-1b tiene algún valor negativo, se deja de cumplir la hipótesis de factibilidad de la SFB no se puede aplicar el algoritmo de Simplex y se tiene que resolver el problema desde el principio.
Ejemplo 7 (Introducción nueva variable). Introducción de una nueva variable u con
coeficiente en función objetivo 4 y coeficientes en la matriz técnica (2,2)t.
x,y,z 0
x 2y 3z 6
s.a 2x y z 12
M axf x y 5z Tabla óptima
Problema acotado (maximizar, Wi≤0, para todo i), solución no degenerada (todas las variables básicas son distintas de cero) y única (Wi≠0, para todas las no básicas): x=0, y=0, z=3, u=15/2, s=0, t=0, f*=
Práctica 2: Análisis de post-optimización
1 / 5 2 / 5
2 / 5 1 / 5 1 2
(^2 1) - Haciendo los cambios pertinentes y aplicando el B^ B algoritmo del Simplex:
(^25)
(^65)
2
2 1 / 5 2 / 5
2 / 5 1 / 5 u B-1P
Ejemplo 8 (Introducción restricción adicional). Además de las restricciones anteriores se
debe cumplir la restricción 2x+y+z ≥ 6
x,y,z 0
x 2y 3z 6
s.a 2x y z 12
M axf x y 5z
Tabla óptima
Práctica 2: Análisis de post-optimización
Cuando introducimos una nueva restricción pueden pasar dos cosas: Que la solución óptima cumpla la nueva restricción, en este caso la solución óptima sigue siendo óptima en el nuevo problema y no se necesita recalcular la tabla del Simplex. Que la solución óptima no cumpla la nueva restricción, en este caso la solución ya no es óptima en el nuevo problema y debemos solucionar el problema desde el principio (el problema es acotado porque el original lo es pero no sabemos su solución).
La solución óptima del problema original cumple la nueva restricción: 2(6) + 0 + 0 - r = 6 r = 6 ≥ 0 Y por lo tanto es solución óptima del nuevo problema. Problema acotado con solución degenerada (hay 3 básicas y sólo 2 son distintas de cero). (No sabemos si única o no salvo que recalculemos tabla.): x=6, y=0, z=0, s=0, t=0, r=6, f*=
Nueva variable de holgura
Práctica de Ordenador: Resolución completa
con ordenador de un problema lineal
Análisis de sensibilidad usando GAMS:
Determina el rango o campo de variación admisible para los diferentes coeficientes del problema,
dentro del cual la estructura de la solución actual se mantiene como factible y como óptima.
Realizaremos con GAMS dos tipos de análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función
objetivo (se mantiene solución óptima) y términos independientes (se mantiene sólo estructura).
El programa GAMS no realiza análisis de post-optimización.
Interpretación: La nueva solución incluye dos nuevos bloques con el análisis de sensibilidad
encabezados por los títulos: EQUATION NAME y VARIABLE NAME. En el primer bloque se
presentan los intervalos de sensibilidad (identificados por el nombre de la ecuación) de los términos
independientes y en el segundo los intervalos de sensibilidad (identificados por el nombre de la
variable) de los coeficientes de la función objetivo. En la versión GAMS 22.5 se obtienen directamente
los dos intervalos de sensibilidad: LOWER recoge el extremo inferior del intervalo, UPPER el extremo
superior y CURRENT el valor actual del término independiente o coeficiente de la función objetivo.
Procedimiento:
Creación de un proyecto: Al empezar crea en tu disquete un proyecto o abre uno existente.
Opciones: Incluye en el archivo de modelo la instrucción: OPTION LP=CPLEX;
Bloque modelo: Después de la definición del modelo (llamémoslo p.e. MOD) añade las
instrucciones: MOD.OPTFILE=1;
Creación del archivo de opciones CPLEX.OPT: Crea un archivo (FILE: New) con los
comandos:
OBJRNG ALL RHSRNG ALL
Y guárdalo (FILE: Save as) con el nombre CPLEX.OPT (usa el desplegable para la extensión).
Práctica de Ordenador: Resolución completa con
ordenador de un problema lineal
Resumen GAMS en PL (Variables positivas)
S O L V E S U M M A R Y
MODEL EJEMPLO OBJECTIVE F TYPE LP DIRECTION MAXIMIZE SOLVER CPLEX FROM LINE 14
**** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION **** MODEL STATUS 1 OPTIMAL **** OBJECTIVE VALUE 6.
EQUATION NAME LOWER CURRENT UPPER
R1 -INF 1 2 R2 1 2 +INF OBJ -INF 0 +INF
VARIABLE NAME LOWER CURRENT UPPER
X 2.5 3 +INF Y -INF 5 6 F -INF 1 +INF
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU R1 1.000 2.000 +INF. ---- EQU R2 -INF 2.000 2.000 3. ---- EQU OBJ... 1.
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR X. 2.000 +INF. ---- VAR Y.. +INF -1. ---- VAR F -INF 6.000 +INF.
I. Sensibilidad bi (= Estructura)
I. Sensibilidad ci (= Valor )
Wj 0 j
Rendimientos Marginales
Variables Principales Dual
Variables Principales
Variables de Holgura
F. Objetivo óptimo
Max 3x+5y
s.a. x+y 1
x+2y 2
x, y 0
- PRACTICA DE ORDENADOR 1: DIETA OPTIMA
OPTION LP=CPLEX;
VARIABLES F, V, L, CA, P, CE, C;
POSITIVE VARIABLES F, V, L, CA, P, CE;
EQUATIONS VERDURA, CAR_Y_PES, CEREALES,
CALORIAS, COSTE;
VERDURA.. -0.43F+(1-0.43)V-0.43L-0.43CA-0.43P-0.43CE =G= 0;
CAR_Y_PES.. -0.07F-0.07V-0.07L+(1-0.07)(CA+P)-0.07*CE =G= 0;
CEREALES.. -0.15F-0.15V-0.15L-0.15CA-0.15P+(1-0.15)CE =G= 0;
CALORIAS.. 900F+500V+1800L+3200CA+1500P+2500CE =G= 2000;
COSTE.. C =E= 2.5F+3V+0.6L+7CA+6.5P+0.5CE;
MODEL DIETA /ALL/;
DIETA.OPTFILE=1;
SOLVE DIETA USING LP MINIMIZING C;
Min C = 2.5F +3V+ 0.6L
- 7CA+6.5P+ 0.5CE s.a. CA + P ≥ 0.07 (F +V+ L+ CA+ P+ CE) CE ≥ 0.15 (F +V+ L+ CA+ P+ CE) V ≥ 0.43 (F +V+ L+ CA+ P+ CE) 900F+500V+1800L+3200CA+1500P +2500CE ≥ 2000 F, V, L, CA, P, CE ≥ 0
Práctica de Ordenador: Resolución completa
con ordenador de un problema lineal
EQUATION NAME LOWER CURRENT UPPER
VERDURA -0.3374 0 0. CAR_Y_PES -0.08537 0 0. CEREALES -INF 0 0. CALORIAS 0 2000 +INF COSTE -INF 0 +INF
VARIABLE NAME LOWER CURRENT UPPER
F -1.423 2.5 +INF V -0.2493 3 34. L -0.3413 0.6 +INF CA 1.172 7 8. P 4.957 6.5 +INF CE -2.566 0.5 1. C -INF 1 +INF
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU VERDURA.. +INF 4. ---- EQU CAR_Y_PES.. +INF 5. ---- EQU CEREALES. 0.414 +INF. ---- EQU CALORIAS 2000.000 2000.000 +INF 0. ---- EQU COSTE... 1.
LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR F.. +INF 3. ---- VAR V. 0.509 +INF. ---- VAR L.. +INF 0. ---- VAR CA. 0.083 +INF. ---- VAR P.. +INF 1. ---- VAR CE. 0.592 +INF. ---- VAR C -INF 2.404 +INF.
3a) Determina la dieta más barata
que cumple con los requisitos
3b) ¿Qué efecto aproximado
tendrá sobre la función de costes en el óptimo la recomendación médica de reducir el contenido calórico a 1500?
3c) ¿Qué efecto tendría sobre la
función de costes la introducción del pescado en la dieta?
F=0, V=0.51, L=0, CA=0.08, P=0, CE=0.59, C*=2.40€ Solución única (Básicas: V, CA, CE, SCE)
C*0.001·(-500)=- 0.
el coste disminuirá 0.5€
Por cada Kg. de Pescado los
costes aumentarán 1.54€
Problema Dual
Rendimiento marginal
Práctica de Ordenador: Resolución completa con
ordenador de un problema lineal
