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La integral de Riemann
Ejercicio 41
Sea f(t) = tpara 0≤t≤1yf(t) = 4 para t > 1.Determina la funci´on
F(x) = Zx
0
f(t)dt , x ≥0.
¿En qu´e puntos es Fcontinua y en qu´e puntos es derivable?
Ejercicio 42
Calcula
l´ım
x→0
1
xZx
0
et2dt.
Ejercicio 43
Sea fcontinua en Ry definimos
G(x) = Zsin x
0
f(t)dt, x ∈R.
Prueba que Ges derivable en Ry calcula G′.
Ejercicio 44
Averigua d´onde est´a el error en los siguientes c´alculos.
•Vamos a integrar tan x=sin x
cos xpor partes, tomando u=1
cos xyv′= sin x. Puesto que u′=−sin x
cos2x
yv=−cos xse tiene
Ztan x dx =Zu(x)·v′(x)dx =u(x)·v(x)−Zu′(x)·v(x)dx
=−1 + Zsin x
cos xdx
=−1 + Ztan x dx.
Simplificando resulta 0 = −1.
•Calculamos Z1
−1p1−x2dx mediante el cambio de variables x= sin t. Puesto que
sin : [π
2,3π
2]→[−1,1]
es una biyecci´on decreciente se obtiene, usando que p1−sin2t= cos tysin′t= cos t,
Z1
−1p1−x2dx =−Z3π
2
π
2
cos2t dt
=−Z3π
2
π
2
1 + cos(2t)
2dt
=−π
2.
•Mediante el cambio de variable x= sin tobtenemos
Z3π
2
−π
2
sin2t dt =Z1
−1
x2dx
√1−x2= 0.
