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Departamento de An´alisis Matem´atico
Curso 2007-08.
Pr´acticas de An´alisis de una variable. C´odigo 12768.
PR ´ACTICA 1
Programa de la Asignatura: TEMA 1:
N´umeros naturales. El principio de inducci´on. N´umeros racionales e irracionales. El cuerpo de los n´umeros reales. Desigualdades. Valor absoluto. Intervalos. Conjuntos acotados. Representaci´on gom´etrica. N´umeros complejos. M´odulo y argumento.
1 Los conjuntos num´ericos
En esta pr´actica se recuerdan las operaciones con desigualdades de n´umeros, m´as en concreto de n´umeros reales. El conjunto de los n´umeros reales, que denotamos por R, contiene a los n´umeros naturales (N), enteros (Z) y racionales (Q). Geom´etricamente su representaci´on es una recta. Si elegimos un punto como el origen 0 y a su derecha fijamos el 1, estamos determinando la escala; la representaci´on decimal permite entonces identificar cada n´umero real con un punto de la recta. La relaci´on de orden “ser menor que” se interpreta geom´etricamente como “estar a la izquierda de”.
Tambi´en se recuerdan las demostraciones por el m´etodo de inducci´on, y las operaciones b´asicas en el cuerpo de los n´umeros complejos.
1.1 Propiedades de orden de los n´umeros reales. Valor absoluto
El orden definido en el cuerpo de los n´umeros reales permite definir los intervalos:
[a, b] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b }
]a, b[= { x ∈ R : a < x < b }
[a, b[= { x ∈ R : a ≤ x < b }
]a, b] = { x ∈ R : a < x ≤ b }
Tambi´en permite hablar de acotaci´on: un subconjunto A se dice que est´a acotado supe-
riormente si existe un n´umero real M, llamado cota superior que es mayor o igual que
cualquier elemento de A. An´alogamente, podemos definir las cotas inferiores. Diremos que
A est´a acotado si lo est´a superior e inferiormente. Los intervalos descritos anteriormente
est´an acotados.
Un concepto importante es el de m´odulo o valor absoluto de un n´umero real x. Se
denota por |x| y se define como el propio x si x ≥ 0, y como −x en otro caso. As´ı, por
ejemplo, | 7 | = 7, y | − 8 | = 8. En otras palabras:
|x| := max{x, −x} =
x, x ≥ 0
−x, x < 0
Atendiendo a su significado geom´etrico, |x| es la distancia de x a 0.
Las propiedades b´asicas del valor absoluto son
2. |x| = 0 implica que x = 0.
3. Para cualesquiera x, y ∈ R, |x + y| ≤ |x| + |y|.
4. Para cualesquiera x, y ∈ R, |xy| = |x||y|.
5. Para todo n´umero real x, |x| = +
x^2
6. Para todo n´umero real x 6 = 0,
x
∣ =^
|x|
7. |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x ∈ [−a, a].
8. |x| < a ⇔ −a < x < a ⇔ x ∈] − a, a[.
Un ejercicio (te´orico) interesante es demostrar estas propiedades a partir de la definici´on de valor absoluto (como sugerencia distinguir casos seg´un el signo de los elementos).
Ejercicio 1.1. Escribe con notaci´on de intervalos los siguientes conjuntos de n´umeros reales.
- {x ∈ R : |x| > 3 }.
- {x ∈ R : |x| ≤ 3 }.
- {x ∈ R : |x − 1 | > 3 }.
- {x ∈ R : |x| > 3 } ∪ {x ∈ R : |x| < 2 }.
- {x ∈ R : |x| > 3 } ∩ {x ∈ R : |x| ≤ 4 }.
Los ejemplos y ejercicios que siguen tienen por objetivo adquirir destreza en el uso de las propiedades de las desigualdades con n´umeros reales.
Ejemplo 1.1. Escribe con notaci´on de intervalos el conjunto de n´umeros reales x que cumplen
x^2 − 4 x + 3 > 0.
Tenemos que x^2 − 4 x + 3 = (x − 1) · (x − 3), y sabemos que el producto de dos n´umeros reales es positivo si y s´olo si ambos son positivos o ambos negativos. Por lo tanto la propiedad se verifica en primer lugar cuando x − 1 > 0 y x − 3 > 0, es decir cuando x > 3; tambi´en se verifica si x − 1 < 0 y x − 3 < 0, es decir cuando x < 1. El conjunto que busc´abamos es por lo tanto ] − ∞, 1[∪]3, +∞[. Si representamos la par´abola y = x^2 − 4 x + 3 tenemos una interpretaci´on geom´etrica del resultado y una alternativa para su obtenci´on.
Ejercicio 1.2. Si x, y son n´umeros reales, prueba que |x + y| = |x| + |y| si, y s´olo, si xy > 0.
Ejercicio 1.3. Sean a, b n´umeros reales. (i) Si a > 0 , entonces de b < c se deduce ba < ca. ¿Qu´e ocurre si a < 0? (ii) Si a > 1 , entonces a^2 > a. (iii) Si 0 < a ≤ b, entonces a^2 ≤ b^2. (iv) Si 0 < a < b, entonces
b
a
(v) Si a < b < 0 , entonces
b
a
Ejercicio 1.4. Comprueba que si x e y son n´umeros reales, entonces se verifica
max(x, y) = x + y + |x − y| 2 Halla una expresi´on an´aloga para el m´ınimo.
Ejercicio 1.8. Prueba que 13 + 2^3 + · · · + n^3 =
n^2 (n + 1)^2 4 , n ∈ N.
Una notaci´on importante es
n! := 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n
donde n es un n´umero natural. El s´ımbolo n! se lee factorial de n. Por acuerdo, o por
convenio, se establece que 0! = 1. Por ejemplo,
Se define el n´umero combinatorio
n
m
n!
(n − m)!m!
, n, m ∈ N, m ≤ n.
El s´ımbolo
n
m
se lee “n sobre m”, y representa las combinaciones de n elementos
tomados de m en m.
Por ejemplo (
Ejercicio 1.9. Prueba que (^) ( n 0
n n
n m
n n − m
, para n, m ∈ N, m < n, ( n + 1 m
n m − 1
n m
, para n, m ∈ N, m ≤ n.
A partir de las propiedades anteriores se puede construir el llamado Tri´angulo de
Tartaglia que tiene como una de sus propiedades que sus filas, desde la segunda, son los
n´umeros combinatorios cuyo elemento superior es, repectivamente, 1,2,3,4,5...etc.
Escr´ıbanse dos o tres filas m´as.
Ejercicio 1.10. Si a y b son n´umeros reales, entonces se cumple la llamada F´ormula del Binomio de Newton:
(a + b)n^ =
n 0
anb^0 +
n 1
an−^1 b^1 + · · · +
n n − 1
a^1 bn−^1 +
n n
a^0 bn, n ∈ N
1.3 Los n´umeros racionales
Otro subconjunto importante de R es Q, el conjunto de los n´umeros racionales, formado
por los cocientes de enteros (con denominador no nulo). Cualquier racional tiene infinitas
representaciones, por ejemplo
pero siempre es posible hallar una representaci´on formada por enteros primos entre s´ı.
Parece ser que ya en la antigua Grecia era conocida la inexistencia de un n´umero racional tal que su cuadrado sea 2. El argumento cl´asico puede ser extendido a 3, 5, 6 ... y en general a todo n que no sea un cuadrado perfecto.
Ejemplo 1.4. Probemos ahora que 3
6 es irracional. Supongamos que 3
6 es racional. Entonces existen p y q naturales, primos entre s´ı, de forma que √ (^3) 6 = p q
. Se deduce que 6 = 2.3 =
p^3 q^3 , y as´ı 2. 3 .q^3 = p^3. Por la unicidad de la expresi´on de un entero como producto de factores primos la expresi´on anterior es contradictoria pues el exponente del 2 debe ser un m´ultiplo de tres m´as uno a la izquierda mientras que a la derecha es un m´ultiplo de tres (incluyendo el caso de ser cero). Eso es una contradicci´on.
Ejercicio 1.11. Prueba que 3
24 es irracional.
Ejercicio 1.12. (a) Si a es racional y b es irracional, ¿es necesariamente a + b irracional? ¿y si a y b son los dos irracionales? (b) Si a es racional y b es irracional, ¿es ab necesariamente irracional?
Ejercicio 1.13. Prueba que
3 es irracional.
1.4 N´umeros complejos. M´odulo y argumento
Recordemos que el cuerpo C de los n´umeros complejos est´a formado por todos los
n´umeros de la forma
a + bi
donde a, b ∈ R e i es un n´umero imaginario cuyo cuadrado es −1. Las operaciones de
suma y producto son respectivamente
(a + bi) + (c + di) := (a + b) + (c + d)i
(a + bi).(c + di) := (ac − bd) + (ad + bc)i.
Es muy f´acil comprobar que si a y b no son los dos cero,
(a + bi)
a
a^2 + b^2
−b
a^2 + b^2
i
= 1 + 0i = 1.
Esto hace que todo n´umero complejo no nulo tenga elemento inverso para el producto o,
en otras palabras, que tenga sentido la divisi´on de n´umeros complejos
c + di
a + bi
= (c + di)(a + bi)−^1 = (c + di)
a
a^2 + b^2
−b
a^2 + b^2
i
Si z = a + bi es un n´umero complejo, se llama parte real de z al n´umero real a y parte
imaginaria de z al n´umero real b. Com´unmente se escribe
<(z) = <(a + bi) = a, =(z) = =(a + bi) = b.
Ejercicio 1.16. De modo parecido al ejemplo anterior, completar la siguiente tabla
z =
i |z| = 1 Arg(z) = π 6 z = cos
( (^) π 6
( (^) π 6
z = −
i
z = −
i
z =
i
Ejercicio 1.17. Comprobar las siguientes propiedades:
a) Para todo complejo z, |z| = +
zz. b) Para cualesquiera n´umeros complejos z 1 , z 2 ,
|z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |.
c) Para cualesquiera n´umeros complejos z 1 , z 2 ,
|z 1 z 2 | ≤ |z 1 | |z 2 |.
d) Si z ∈ C es distinto de cero, |z−^1 | =
|z|
e) Para todo n´umero complejo z, <(z) ≤ |z| y =(z) ≤ |z|.
La multiplicaci´on, la potencia y, sobre todo las raices de n´umeros complejos se expresan
mejor en forma trigonom´etrica. Propiedades fundamentales son
Si z 1 , z 2 ∈ C entonces
|z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ).
Es decir que el m´odulo del producto de dos n´umeros complejos es el producto de
sus m´odulos y un argumento del producto es la suma de sus argumentos. Esta ´ultima
propiedad no es v´alida para argumentos principales.
Si z 1 , z 2 ∈ C y z 2 6 = 0, entonces
z 1
z 2
∣ =^
|z 1 |
|z 2 |
, arg
z 1
z 2
= arg(z 1 ) − arg(z 2 ).
Es decir que el m´odulo del cociente de dos n´umeros complejos es el cociente de sus
m´odulos y un argumento del cociente es la resta de sus argumentos. Tampoco esta
propiedad es v´alida si usamos argurmentos principales.
Si z es un complejo no nulo y n ∈ N
[M (cos(α) + i sin(α))]n^ = M n(cos(nα) + i sin(nα))
(Este resultado se llama F´ormula de De Moivre.)
Si z es un n´umero complejo y n ∈ N se dice que w es una ra´ız n-sima de z si wn^ = z.
La expresi´on n
z representa al conjunto de las ra´ıces n-simas de z. Cualquier n´umero
complejo z = Mα tiene n ra´ıces n-simas. El conjunto de estas raices n-simas es
r(cos(β) + i sin(β)) : r =
√n
M , β ∈ {
n
n
α + 2.(n − 1)π
n
Ejemplo 1.6. Si z = 1 + i =
2(cos(
π 4
π 4
)), entonces
z^3 = (1 + i)^3 = (
2)^3 (cos( 3 π 4
√ (^3) z = √ (^62)
cos(
π 4 + 2kπ 3 ) + i sin(
π 4 + 2kπ 3
para k = 0, 1 , 2.
Ejercicio 1.18. Efectuar las siguientes operaciones, dando los resultados en forma bin´omica
- (1 − i)^3.
- (1 + i)^5.
- i^17.
- (1 − i)^3 (1 + i)^3.
- 4
1 + i.
- 4
i.
8 i.
i^5 + i^16.
1 + i 1 + i−^8
(1 + i)n^ − (1 − i)n.
k=1 i k.
Ejercicio 1.19. Resolver en C las siguientes ecuaciones
- x^3 = − 1.
- x^4 = 4.
- x^2 + x + 9 = 0.
- x^3 + x = 0.
1.5 Ap´endice
Logaritmos Dado un n´umero real y positivo x se llama logaritmo en base a (siendo a un n´umero real positivo distinto de 1 ) al n´umero y tal que ay^ = x. A x se le llama antilogaritmo. Se denota entonces
y = loga x
Las bases m´as com´unmente usadas son a = 10, en cuyo caso escribimos y = lg x , denominado logaritmo decimal y a = e := limn(1 + (^) n^1 )n^ = 2. 718281 ... , en cuyo caso escribimos y = log x ´o y = ln x (aunque ´esta ´ultima notaci´on est´a en desuso ), denominado logaritmo neperiano. Al ser ´este un curso de C´alculo trabajaremos con este logaritmo ya que viene determinado por la funci´on inversa de la exponencial. La f´ormula de cambio de una base a a otra b es:
loga x =
logb x logb a
= logb x. loga b
Dividiendo bien por el cuadrado del coseno, bien por el cuadrado del seno, se deducen de la identidad fundamental,
1 + tan^2 α = sec^2 α cot^2 α + 1 = csc^2 α Otras identidades importantes son:
sin(α ± β) = sin α. cos β ± cos α. sin β sin 2α = 2 sin α cos α
cos(α ± β) = cos α. cos β ∓ sin α. sin β cos 2α = cos^2 α − sin^2 α
tan(α ± β) =
tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β
tan 2α =
2 tan α 1 − tan^2 α Tambi´en son ´utiles las f´ormulas:
sin α + sin β = 2 sin
α + β 2
cos
α − β 2
; sin α − sin β = 2 cos
α + β 2
sin
α − β 2
cos α + cos β = 2 cos
α + β 2
cos
α − β 2
; cos α − cos β = −2 sin
α + β 2
sin
α − β 2 Aunque unas buenas tablas o una aceptable calculadora nos proporcionan los valores de las razones de cualquier ´angulo con bastantes cifras decimales, se deben conocer y, a ser posible, recordar las razones
trigonom´etricas de los ´angulos 0 ,
π 6
π 4
π 3
π 2
, π,
3 π 2
y c´omo se deducen. A modo de ejercicio compruebe el lector la siguiente tabla:
´angulo 0 π 6
π 4
π 3
π 2
π 3 π 2
seno 0
coseno 1
Como sugerencia para conocer las de
π 6 y
π 3 div´ıdase un tri´angulo equil´atero en dos iguales usando
una altura, en cada parte se generan dos tri´angulos rect´angulos cuyos ´angulos no rectos son prec´ısamente
de 30^0 y 60^0. Para las de π 4
´usese un tri´angulo rect´angulo isosceles cuyos ´angulos no rectos son iguales y
ambos de 45^0. Para el resto basta observar las coordenadas del punto P en la circunferencia. Simplemente por inspecci´on conocemos el signo de las razones de un ´angulo seg´un el cuadrante en el que se encuentra. Por ejemplo el seno (la ordenada) es positivo si el ´angulo se encuentra en el primer y segundo cuadrante siendo negativo si el ´angulo se encuentra en el tercer y cuarto cuadrante. Mientras tanto el coseno (la abscisa) es positivo si el ´angulo se encuentra en el primer y cuarto cuadrante siendo negativo si el ´angulo se encuentra en el segundo y tercer cuadrante. Tanto el seno como el coseno de un ´angulo toman s´olo valores comprendidos entre −1 y 1 y los toman todos infinitas veces ya que sin α = sin(α ± 2 π) = sin(α ± 4 π) = · · · = sin(α ± 2 kπ) = · · · cos α = cos(α ± 2 π) = cos(α ± 4 π) = · · · = cos(α ± 2 kπ) = · · · La trigonometr´ıa naci´o para medir ti´angulos (TRI-GONOS-METR´IA) y permite obtener importantes relaciones entre sus lados a, b , c y sus ´angulos A, B y C (en la notaci´on se entiende que, por ejemplo, A es el ´angulo opuesto al lado a). Los m´as usuales son los denominados teoremas o f´ormulas del seno, coseno y tangente: a sin A
b sin B
c sin C
c^2 = a^2 + b^2 − 2 ab cos C
a + b a − b
tan A+ 2 B tan A− 2 B
PROBLEMAS PROPUESTOS
Ejercicio 1.20. Escribir con notaci´on de intervalos los siguientes subconjuntos de R.
- {x ∈ R : x^2 − 5 x + 6 ≥ 0 }.
- {x ∈ R : x^2 + x + 1 ≥ 0 }.
- {x ∈ R : x^3 ≥ x}.
- {x ∈ R : x^2 ≥ x}.
- {x ∈ R :
1 + x^2 ≥ 3 }.
- {x ∈ R : ln(1 + x) ≥ 0 }.
- {x ∈ [0, 2 π[ | cos(x)| < 12 }.
- {x ∈ R : x^2 − 1 < 3 }.
- {x ∈ R : |x^2 − 1 | < 3 }
Ejercicio 1.21. Prueba que si x > 0 , entonces x +
x
≥ 2 , y deduce que si x, y, z son reales positivos,
entonces
(x + y + z)(
x
y
z
Ejercicio 1.22. Prueba que si 0 < a ≤ b, entonces
a 1 + a
b 1 + b
Ejercicio 1.23. Demuestra que si x, y, z son n´umeros reales positivos tales que z ≤ x + y, entonces
z 1 + z
x 1 + x
y 1 + y
Ejercicio 1.24. Probar que todo n´umero natural es par ( se puede escribir como 2 p con p natural) o impar (se puede escribir como 2 p − 1 con p natural ). Deducir de lo anterior que un n´umero natural es par (respectivamente impar) si, y s´olo si, su cuadrado es par (respectivamente impar).
Ejercicio 1.25. Demostrar que un cajero autom´atico cargado con billetes de veinte y cincuenta euros siempre puede dispensar una cantidad en decenas de euros superior a cuarenta.
Ejercicio 1.26. Probar por inducci´on que n rectas del plano concurrentes en un punto dividen al plano en 2 n partes.
Ejercicio 1.27. Si Sn := (^11). 2 + (^21). 3 + (^31). 4 + .... + (^) n.(n^1 +1) calcular S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ,...,inducir un probable valor de Sn y probar que se est´a en lo cierto aplicando el principio de inducci´on.
Ejercicio 1.28. Comprobar que se cumplen las desigualdades:
(i)
2 n − 1 2 n
3 n + 1
, si n = 1, 2 , ...
(ii) n! > 2 n−^1 , si n = 3, 4 , ...
