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Departamento de An´alisis Matem´atico
Curso 2007-08.
Pr´acticas de An´alisis de una variable. M´odulo 12768.
PR ´ACTICA 7
Programa de la Asignatura: TEMA 9. La derivada y su interpreraci´on geom´etrica y f´ısica. Propiedades de la derivada. TEMA 10. Derivaci´on en un intervalo. Los teoremas de Rolle y del Valor Medio. La regla de L’Hˆopital. El polinomio de Taylor. Extremos relativos. Concavidad y convexidad.
1 Derivabilidad de funciones
Sea I un intervalo abierto de la recta real. Una funci´on f : I −→ R es derivable en un punto a ∈ I si existe el l´ımite
lim x→a
f (x) − f (a) x − a
= lim h→ 0
f (a + h) − f (a) h
cuyo valor se denota como f ′(a) y se denomina derivada de f en a. En muchos casos, se necesitar´a estudiar la existencia de los l´ımites laterales de la fracci´on anterior (que a veces se llama cociente incremental). Recordaremos tambi´en que si existe f ′(a) entonces la recta
y − f (a) = f ′(a)(x − a)
es tangente en el punto (a, f (a)) a la curva de ecuaci´on y = f (x).
Tambi´en es conveniente recordar que si una funci´on es derivable en un punto, es continua en dicho punto.
Ejemplo 1.1 Estudiar si la funci´on f (x) = [x]sen^2 (πx), x ∈ R, es derivable en los puntos x = 1/ 2 , x = 1.
([x] denota la parte entera del n´umero real x.)
lim h→ 0
f (1/2 + h) − f (1/2) h = lim h→ 0
[1/2 + h] sen^2 (π(1/2 + h)) h
pues [1/2 + h] = 0 para |h| suficientemente peque˜no, en particular para − 12 < h < 12. As´ı vemos que existe f ′
2
f (^) −′(1) := lim h→ 0 −
f (1 + h) − f (1) h
= lim h→ 0 −
[1 + h]sen^2 (π(1 + h)) h
pues [1 + h] = 0, − 1 < h < 0 ,
f (^) +′(1) := lim h→ 0 +
[1 + h]sen^2 (π(1 + h)) h = lim h→ 0 +
sen^2 (π(1 + h)) h = lim h→ 0 +
sen(π + πh) h sen(π+πh) = 0,
pues [1 + h] = 1, 0 < h < 1; sen(π + πh) = −sen πh, limh→ 0 + senhπh = π, y, limh→ 0 + sen πh = 0. Puesto que f (^) +′(1) = f (^) −′(1) concluimos que f es derivable en x = 1 y adem´as f ′(1) = f (^) +′(1) = f (^) −′(1) = 0.
Ejercicio 1.1 Representar gr´aficamente las funciones siguientes y estudiar su derivabilidad en los puntos que se indican:
f (x) =
−x, x ≤ 0 , x^2 , 0 ≤ x ≤ 1 , 2 x − 1 , x ≥ 1 , en los puntos x = 0, x = 1/ 2 , x = 1.
f (x) =
max{x^2 , 1 /x}, x 6 = 0, 0 , x = 0, en x = 0, x = 1.
f (x) = x|x| en x = 0.
Ejercicio 1.2 Para las siguientes funciones, definidas en R, estudiar en qu´e puntos son deriva- bles y calcular, cuando exista, su funci´on derivada.
f (x) =
−x^2 x < 0 0 x ≥ 0
f (x) =
−x^2 x < 0 x^2 x ≥ 0
f (x) =
√x^ x <^0 x x ≥ 0
f (x) =
senx x > 0 √ (^3) x x ≤ 0
f (x) = x|senx|
f (x) = |xsenx|
f (x) = xsen|x|
f (x) = |x|senx
f (x) = |x^2 − 5 x + 6|
Ejercicio 1.3 Averiguar hasta qu´e orden son derivables las funciones:
2 Funciones derivadas
Una destreza que se debe adquirir es la soltura en el uso de las siguientes f´ormulas de derivaci´on.
F´ormulas de derivaci´on a. (u + v)′^ = u′^ + v′ b. (uv)′^ = u′v + uv′ c.
( (^) u v
= u ′v−uv′ v^2
- (um)′^ = mu′um−^1 1’. (
u)′^ = u ′ 2 √u
- (ln u)′^ = u ′ u
- (au)′^ = u′au^ ln(a)
- (sen (u))′^ = u′^ cos(u)
- (cos(u))′^ = u′sen (u)
- (tan (u))′^ = u
′ cos^2 (u)
- (cot(u))′^ = − u ′ sen^2 (u)
- (arctan(u))′^ = u ′ 1+u^2
- (arcsen (u))′^ = u √ ′ 1 −u^2
- (arccos (u))′^ = − u √ ′ 1 −u^2
Ejercicio 2.1 Derivar y simplificar
f (x) =
1 − cos x 1 + cos x
Ejercicio 2.2 Calcular las funciones derivadas de las siguientes funciones:
- f (x) = log
1 −cos(x) 1+cos(x).
- f (x) = e
1 −cos(x) 1+cos(x) (^).
- f (x) = tan(ex).
- f (x) = etan(3x).
- f (x) := log(1 + x^3 ).
- f (x) = cos(x^3 ).
- f (x) = (cos(x))^3.
- f (x) = 3cos(x).
- f (x) = arctan 1+e x 1 −ex^.
- f (x) = arcsin 1+e
x 1 −ex^.
- f (x) = arctan 1+
√x 1 −√x.
- f (x) = 3
1 −x^2 1+x^2.
- f (x) = 1 3
r 1 −x^2 1+x^2
- f (x) = (^) log(1+^1 x (^2) ).
- f (x) = e−x 2 .
- f (x) = e −x 1 −e−x^.
Ejercicio 2.3 Escribir las funciones xx, x(x x) y (xx)x^ como composici´on de funciones elemen- tales y calcular sus derivadas.
3 Aplicaciones de los teoremas de Rolle y del valor medio
Los teoremas de Rolle y del valor medio se enuncian para funciones que son continuas en un intervalo cerrado acotado y que son derivables al menos en su interior. El primer teorema nos proporciona un punto interior de derivada nula, suponiendo que la funci´on vale lo mismo en los extremos, mientras que el teorema del valor medio nos relaciona el cociente de incrementos en los extremos con la derivada en un punto interior.
Ejemplo 3.1 Estudiar si se puede aplicar el teorema de Rolle a la funci´on f (x) =
x − x^2 en su dominio de definici´on. Dicho dominio es {x ∈ R : x − x^2 = x(1 − x) ≥ 0 } = [0, 1]. La funci´on f es continua en [0, 1] y derivable en ]0, 1[. Observar que no puede hablarse de que f tenga derivada en x = 0, porque no existe un intervalo abierto I que contenga al 0 para el cual se tenga de f : I → R. (En otras palabras, 0 no es punto interior del dominio de f ). Lo mismo puede decirse para x = 1. Adem´as f (0) = f (1) por lo que el teorema de Rolle puede aplicarse, y existe (al menos) un punto c ∈]0, 1[ tal que f ′(c) = 0. Se trata de c = 1/2.
Los teoremas antes citados tienen gran cantidad de aplicaciones, tanto en la estimaci´on del n´umero de ra´ıces reales de ecuaciones polin´omicas (notar que si un polinomio tiene dos ra´ıces distintas siempre se le puede aplicar el teorema de Rolle en el intervalo que dichas ra´ıces determinan), como en la demostraci´on de desigualdades y en el c´alculo de l´ımites (a trav´es de la regla de L’Hˆopital, que en realidad es un corolario del Teorema del Valor Medio).
Ejemplo 3.2 Estimar el n´umero de ra´ıces reales de la ecuaci´on x^3 − 3 x + m = 0 seg´un los valores del par´ametro m. En general, el algoritmo que suele seguirse es el siguiente:
- Hallar la derivada de la funci´on de la ecuaci´on:
f (x) = x^3 − 3 x + m
f ′(x) = 3(x + 1)(x − 1)
- Hallar las ra´ıces de la derivada y estudiar la variaci´on de signos de ´esta en los intervalos que determinan las ra´ıces: f ′^ se anula en x = − 1 , x = 1. f ′(x) > 0, ∀x ∈] − ∞, −1[, f ′(x) < 0, ∀x ∈] − 1 , 1[, f ′(x) > 0, ∀x ∈]1, +∞[. –El teorema de Rolle nos asegura que en los intervalos donde la derivada no se anula la funci´on no puede tener dos ra´ıces distintas. As´ı, en cada uno de los intervalos anteriores f tiene a lo sumo una ra´ız.
Ejemplo 3.4 Calcular lim x→ 0 +^
x ln x.
Al tratarse de una indeterminaci´on del tipo (0 · ∞) puede ser apropiado utilizar la regla de L’Hˆopital. Recordemos que para ello necesitamos un cociente entre dos funciones derivables en un intervalo abierto en el que el punto en cuesti´on (x = 0 en nuestro caso) sea un punto de acumulaci´on. As´ı, consideremos las funciones f (x) = ln(x), g(x) = 1/x, x ∈]0, +∞[, que cumplen las hip´otesis de la regla de L’Hˆopital, y adem´as
lim x→ 0 +
f ′(x) g′(x) = lim x→ 0 +
1 /x − 1 /x^2
Por lo que limx→ 0 + x ln (x) = 0.
Nota. (¡Cuidado con la regla de L’Hˆopital!) Adem´as de todas las condiciones de continuidad y derivabilidad de las funciones que aparecen en el cociente, es conveniente apreciar que lo que la regla de L’Hˆospital afirma es la veracidad de un silogismo (una implicaci´on): ”Si existe el l´ımite del cociente de las derivadas, entonces existe el l´ımite deseado y vale lo mismo.” Esto significa que, en el caso de no existir el l´ımite del cociente de las derivadas, no podemos aplicar la regla, es decir, no podemos afirmar nada referente al l´ımite deseado. El siguiente ejemplo es muestra de ello.
Ejemplo 3.5 Calcular limx→ 0 x
(^2) sen(1/x) sen x. Si hacemos el l´ımite del cociente de las derivadas, siendo f y g las funciones numerador y denominador, respectivamente,
lim x→ 0
f ′(x) g′(x)
= lim x→ 0
2 x sen(1/x) − cos(1/x) cos x
pero este l´ımite no existe, ya que, tomando las sucesiones xn = (^2) nπ^1 , yn = (^) (2n+1)^1 π , se ve enseguida que
nlim→∞
f ′(xn) g′(xn)
lim n→∞
f ′(yn) g′(yn)
Sin embargo, es evidente que el l´ımite deseado existe:
lim x→ 0
x senx
xsen(1/x) = 1 · 0 = 0.
Ejercicio 3.1 Averiguar cu´antas ra´ıces reales tiene la ecuaci´on:
4 x^5 − 5 x^4 + 2 = 0.
Ejercicio 3.2 Dada la funci´on
f (x) := x^1 /n^ − (x − 1)^1 /n
probar que para x ≥ 1 es decreciente, y usando este hecho demostrar que para a > b > 0 ,
a^1 /n^ − b^1 /n^ < (a − b)^1 /n.
Ejercicio 3.3 Usar el Teorema del Valor Medio para probar que
x − 1 x
< log x < x − 1
para x > 1.
Ejercicio 3.4 Demostrar las siguientes desigualdades: a) ex^ ≥ 1 + x, x ∈ R. b) tan x ≥ x, 0 ≤ x < π/ 2. c) (^) π^2 < senx^ x< 1 , 0 < x < π 2. (Estudiar antes la variaci´on de la funci´on f : [0, π 2 ] −→ R dada por
f (x) =
{ (^) sen x x ,^ x^6 = 0, 1 , x = 0.)
d) sen x + tan x > 2 x, 0 < x < π 2. e) ln(1 + x) > arctan 1+x^ x, x > 0.
Ejercicio 3.5 Calcular los siguientes l´ımites:
- limx→ 0 1+x−e x x^2.
- limx→ 0 (cos x)^1 /x 2 .
- limx→∞( π 2 − arctan x) ln^1 x .
- limx→∞ xx−+sensen^ xx.
4 Desarrollo de Taylor. Variaci´on local
Una de las ventajas m´as importantes de las funciones con buenas propiedades de derivabilidad es que permiten ser aproximadas localmente mediante polinomios, siendo posible incluso estimar el tama˜no del error cometido en la aproximaci´on. Este resultado es conocido como el teorema de Taylor, y, muy superficialmente, es el fundamento te´orico del procedimiento con el que las calculadoras autom´aticas nos permiten conocer los valores de funciones tan habituales como las circulares, exponenciales, logar´ıtmicas, etc. Otra de las aplicaciones del teorema de Taylor es el conocimiento de la variaci´on local de una funci´on (extremos relativos, puntos de inflexi´on, crecimiento y curvatura), as´ı como el c´alculo de l´ımites de funciones.
Ejemplo 4.1 Aproximar el valor de sen 70o^ mediante un polinomio de Taylor de cuarto grado centrado en x = π/ 2 , acotando el error. Usaremos f (x) = sen x, x = 70o^ = 718 π rad, x 0 = π/2. El teorema de Taylor garantiza que
sen70o^ = f ( 7 π 18
∑^4
k=
f (k)(π/2) k!
7 π 18
π 2
)k^ + R 4
7 π 18
siendo (haciendo uso de la expresi´on del resto de Lagrange)
R 4
7 π 18
f (5)(c) 5!
7 π 18
π 2
Hemos mencionado antes que los desarrollos de Taylor son ´utiles para estudiar la variaci´on local de una funci´on (lo que nos va a permitir entre otras cosas poder dibujar su gr´afica). Dicha aplicaci´on queda puesta de manifiesto en el siguiente esquema que nos permite determinar los tipos de puntos cr´ıticos de una funci´on:
f es una funci´on n ≥ 2 veces derivable, con f (n)^ continua, en un entorno de x 0. Caso 1. f ′(x 0 ) = f ′′(x 0 ) = ... = f (n−1)(x 0 ) = 0, f (n)(x 0 ) 6 = 0. (1.1) Si n = par, entonces Si f (n)(x 0 ) < 0, f tiene un m´aximo relativo en x 0. Si f (n)(x 0 ) > 0, f tiene un m´ınimo relativo en x 0. (1.2) Si n = impar, f tiene un punto de inflexi´on en x 0. Caso 2. f ′(x 0 ) 6 = 0, f ′′(x 0 ) = ... = f (n−1)(x 0 ) = 0, f (n)(x 0 ) 6 = 0. (2.1) Si n = par, entonces f no tiene un punto de inflexi´on en x 0. (2.2) Si n = impar, f tiene un punto de inflexi´on en x 0.
Ejemplo 4.4 Hallar, si existen, los m´aximos y m´ınimos absolutos de
f (x) = ln | x^3 + x + 1 |
en los intervalos [− 1 , 0] y [0, 1].
La funci´on f est´a definida en {x ∈ R : x^3 + x + 1 6 = 0}. Como (x^3 + x + 1)′^ = 3x^2 + 1 > 0, el polinomio x^3 + x + 1 s´olo tiene una ra´ız real, x = a, que se encuentra en ] − 1 , 0[. Por tanto, f es derivable en R{a}, y
f ′(x) = 3 x^2 + 1 x^3 + x + 1
, x 6 = a.
As´ı, f ′(x) < 0 para x < a, f ′(x) > 0 para x > a, de donde f es estrictamente decreciente en ] − ∞, a[ y estrictamente creciente en ]a, +∞[. As´ı pues, como a ∈] − 1 , 0[ y limx→a f (x) = −∞, f no tiene m´ınimo (ni siquiera ´ınfimo) en [− 1 , 0]. Pero, ∀x ∈ [− 1 , a[, f (x) ≤ f (−1) = 0, ∀x ∈]a, 0], f (x) ≤ f (0) = 0. Luego, ∀x ∈ [− 1 , 0]{a}, f (x) ≤ f (−1) = f (0). Es decir, f tiene m´aximos absolutos en x = −1, x = 0. El teorema de Bolzano-Weierstrass garantiza, ya que f es continua en [0, 1], que se alcanzan los extremos absolutos en dicho intervalo. Adem´as, como f es creciente, tiene en dicho intervalo un m´ınimo en x = 0 y un m´aximo en x = 1.
Ejercicio 4.1 Calcular los m´aximos y m´ınimos absolutos de las funciones siguientes en el in- tervalo [− 1 , 1].
- f (x) = xn, n = 1, 2 ,.. ..
- f (x) = e−x.
- f (x) = e−x 2 .
- f (x) = 3
x.
- f (x) = | 1 − x|.
- f (x) = sen^2 (x).
- f (x) = (^) 1+^1 x 4.
- f (x) = (^) 1+xx 4.
- f (x) = x 2 1+x^4.
- f (x) = x^2 (x − 1 /2)^2.
- f (x) = x^3 (x − 1 /2)^2.
Ejercicio 4.2 Escribir los desarrollos de McLaurin de las funciones
ex, ln(1 + x), senx, cos x, shx, chx.
Ejercicio 4.3 Calcular aproximaciones c´ubicas de los valores siguientes acotando los errores cometidos: a) e^0.^4 b) cos 0. 2 (rad) c) ln 2.
Ejercicio 4.4 Mediante el desarrollo de Taylor de la funci´on ln(1 + x), demostrar que
ln 2 =
∑^ ∞
n=
(−1)n+ n
Cu´antos t´erminos de dicha serie son necesarios para obtener una aproximaci´on de ln 2 con seis cifras decimales exactas?
Ejercicio 4.5 Utilizando desarrollos de Taylor, calcular los siguientes l´ımites: a) limx→ 0 1 ln(1+−cos(xx/)−2)x
b) limx→ 0 sen x−x+ x 63 − 120 x^5 sen^5 x.
Ejercicio 4.6 Estudiar la variaci´on (crecimiento, decrecimiento, extremos, concavidad, conve- xidad e inflexiones) de las siguientes funciones: a) f (x) = x^3 + x + 1 b) f (x) = (x − 1)^3 x^2 c) f (x) = x^2 ln x.
Ejercicio 4.7 Se define la funci´on f : R → R por
f (x) :=
2 x^4 + x^4 sen (^) x^1 x 6 = 0 0 x = 0
Probar que f tiene un m´ınimo absoluto en x = 0 y que su derivada tiene valores positivos y negativos en cualquier intervalo que contenga al 0.
Ejercicio 4.8 Se define la funci´on f : R → R por
f (x) :=
2 x + 2x^2 sen (^1) x x 6 = 0 0 x = 0
Probar que f ′(0) = 1 pero que f no es mon´otona en ning´un intervalo que contenga al cero.
f (x) =
−x^2 x < 0 x^3 x ≥ 0
f (x) = 3
x − 8.
f (x) =
senx x > 0 sen(−x) x ≤ 0.
f (x) = x| cos x|.
f (x) = |x cos x|.
f (x) = x cos |x|.
f (x) = |x| cos x.
f (x) = |x^2 − 4 |.
Ejercicio 5.2 Demostrar que, si f es derivable en x = a, entonces
f ′(a) = lim x→ 0
f (a + x) − f (a − x) 2 x
Encontrar una funci´on que no sea derivable en x = a y para la que el l´ımite anterior exista.
Ejercicio 5.3 Estudiar cu´ales de las siguientes funciones son de clase C^1 en R.
f (x) =
0 x < 0 x^2 x ≥ 0.
f (x) =
− √x x < 0 x x ≥ 0
f (x) = xsenx.
f (x) =
senx x > 0 sen(−x) x ≤ 0.
f (x) = x|x|.
f (x) = e−|x|.
f (x) = x log(1 + x^2 ).
f (x) = log(1 + |x|).
f (x) =
1 + |x|
Ejercicio 5.4 Demostrar que, si f es derivable en x = a, entonces
f ′(a) = lim x→ 0
f (a + x) − f (a − x) 2 x
Encontrar una funci´on que no sea derivable en x = a y para la que el l´ımite anterior exista.
Ejercicio 5.5 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funci´on
f (x) = [x] + (x − [x])^2.
Ejercicio 5.6 Si f (x) es un polinomio de grado n con n ra´ıces reales distintas, demostrar que ninguna de ellas puede ser ra´ız del polinomio derivada.
Ejercicio 5.7 Demostrar que eπ^ > πe. (Estudiar para ello la variaci´on de la funci´on f (x) = ln x x .)
Ejercicio 5.8 Sea f :]a, b[−→ R una funci´on derivable cuya derivada est´a acotada. Demostrar que f es uniformemente continua.
Ejercicio 5.9 Sea f : [0, 1] −→ R una funci´on continua, derivable en ]0, 1], tal que f (0) = 0 y f ′^ es creciente en ]0, 1]. Demostrar que la funci´on g(x) = f^ ( xx )es creciente en ]0, 1].
Ejercicio 5.10 Sean f, g : R −→ R funciones definidas por
f (x) = x + cos x sen x, g(x) = (2 + sen x)^2 f (x).
a) Demostrar que f (x) > x − 1 , g(x) > x − 1 , deduciendo que limx→+∞ f (x) = limx→+∞ g(x) = +∞. b) Demostrar que f^
′(x) g′(x) =^
cos x (2+ sen x)f (x)+cos x(2+ sen x)^2 , si^ cos^ x^6 = 0. c) Probar que limx→+∞ f^
′(x) g′(x) = 0, pero no existe^ limx→+∞^
f (x) g(x). ¿Por qu´e no puede aplicarse la regla de L’Hˆopital?
Ejercicio 5.11 Demostrar que, si | x |< 1 / 2 , entonces el polinomio 1 + x 2 − x 2 8 aproxima el valor de
1 + x con un error menor que 12 | x |^3.
Ejercicio 5.12 Dada la funci´on
f (x) =
e−^1 /x, x > 0 , 0 , x ≤ 0 ,
se pide:
