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Departamento de An´alisis Matem´atico
Curso 2007-08.
Pr´acticas de An´alisis de una variable. C´odigo 12768.
PR ´ACTICA 4
Programa de la Asignatura: TEMA 5: Sucesiones. Subsucesiones. Convergencia. Algebra de limites. Criterio de Stolz. El teorema de Bolzano-Weierstras. Sucesiones mon´otonas. Sucesiones de Cauchy.
Una sucesi´on de n´umeros reales
(a 1 , a 2 ,... , an,.. .)
no es m´as que una funci´on real que tiene por dominio N = { 1 , 2 , 3 , ...}. Dada cualquier
funci´on a : N → R, es decir, dada una sucesi´on, por inercia hist´orica se escribe an en lugar
de a(n), que ser´ıa lo coherente con la notaci´on que usamos para funciones. Estos n´umeros
an se llaman a veces t´erminos de la sucesi´on. En particular an es el t´ermino n-simo de la
sucesi´on.
Igualmente, suele escribirse (an), ´o {an}, o bien {an}∞ n=1 en lugar de a : N → R, que
ser´ıa la notaci´on funcional.^1
1 Ejercicios sobre la convergencia de sucesiones
Empezaremos por aprender a usar directamente la definici´on de l´ımite. Despu´es veremos procedimientos para probar que ciertas sucesiones tienen l´ımite y en otras secciones veremos c´omo calcular l´ımites de sucesiones cuando se presentan indeterminaciones, es cuando no pode- mos saber estos l´ımites de manera autom´atica a partir de las propiedades de las sucesiones convergentes.
1.1 Aplicaci´on directa de la definici´on de l´ımite
Recordemos la siguiente
Definici´on 1.1. Se dice que la sucesi´on (an)∞ n=1 converge hacia ` ∈ R si dado cualquier
ε > 0 existe n 0 ∈ N (que depende de ε), tal que para todo n ≥ n 0 ,
|an − `| < ε.
En este caso se escribe lim
n→∞
an = , o bien an −→.
Por lo tanto: Cuando queramos verificar que (^) nlim→∞ an = , hemos de dar ε > 0 , y hemos de buscar para qu´e n´umeros naturales n se cumple |an −| < ε
o, en otras palabras, hay que resolver las inecuaciones (en n ∈ N)),
−ε < an − ` < ε.
Despu´es hemos de ver si entre las soluciones encontradas, est´an todos los n´umeros naturales mayores que uno de ellos, al que llamaremos n 0.
(^1) En rigor, expresiones como {an}∞ n=2 no ser´ıan sucesiones, tomando al pie de la letra la definici´on, porque { 2 , 3 , ...} no es el conjunto de los n´umeros naturales.
Ejemplo 1.1. Vamos a demostrar que la sucesi´on ( 2 n 3 n − 7 )∞ n=1 converge a
Damos ε > 0. Hemos de averiguar qu´e n´umeros naturales n cumplen la desigualdad ∣∣ ∣∣^2 n 3 n − 7
∣∣ < ε.
Como (^) ∣ ∣∣ ∣
2 n 3 n − 7
∣∣^14
9 n − 21
la desigualdad buscada es equivalente a las siguientes:
−ε <
9 n − 21 < ε.
(Recodar que |A| < ε ⇔ −ε < A < ε). La primera de estas inecuaciones
−ε < 14 9 n − 21
tiene por soluciones seguras n = 3, 4 ,... pues
9 n − 21 >^0 cuando^ n^ ≥^ 3. Estudiamos ahora la segunda inecuaci´on: 14 9 n − 21 < ε.
Tenemos (siempre que n sea lo bastante grande para que 9n − 21 > 0):
14 9 n − 21 < ε ⇔
ε < 9 n − 21 ⇔
ε
Por tanto, cualquier n ∈ N con n > n 0 > max{ 1 9
(^14
ε
- 21), 3 } es soluci´on de las dos inecuaciones. Hemos demostrado pues que existe un natural n 0 como se requiere en la definici´on de l´ımite.
Por ejemplo, si ε = 0. 001 , entonces 1 9
(^2
ε
+ 21) =^1
2021 = 224. 5555 luego se puede tomar como nε cualquier n´umero natural mayor que 224 .5.
Ejemplo 1.2. Demostramos que para a > 0,
nlim→∞
na^
Damos ε > 0. Hemos de averiguar qu´e n´umeros naturales n cumplen la desigualdad ∣∣ ∣∣^1 na^
∣∣ < ε.
La desigualdad buscada es equivalente a las siguientes:
−ε <
na^ < ε.
La primera de estas desigualdades
−ε <
na se verifica trivialmente para todo n natural. Estudiamos ahora la segunda inecuaci´on:
1 na^ < ε.
Es equivalente a 1 ε < na
Ejercicio 1.2. Demostrar, utilizando la definici´on de l´ımite, que las sucesiones
- (^) nlim→∞^ n
(^2) − n 14 n + 2
- (^) nlim→∞ n^2 + 1 6 n − 1
- Hallar en cada sucesi´on anterior, n´umeros naturales n 0 que cumplan la definici´on de l´ımite respec- tivamente para K = 100 y K = 10^6
1.2 Teorema de Bolzano y sucesiones de Cauchy
Dada una sucesi´on, no siempre se puede saber si tiene un l´ımite real, bien porque la f´ormula del t´ermino general es complicada o bien porque no se dispone de ninguna. Hay dos resultados te´oricos que permiten garantizar que una sucesi´on converge a alg´un n´umero real.
Definici´on 1.4. Si una sucesi´on (an) verifica que an+1 ≥ an para todo n ≥ k ≥ 1 decimos
que es eventualmente mon´otona creciente. Si en particular esto se cumple para k = 1
decimos que (an) es mon´otona creciente.
Del mismo modo, si una sucesi´on (an) verifica que an+1 ≤ an para todo n ≥ k ≥ 1
decimos que es eventualmente mon´otona decreciente. Si en particular esto se cumple para
k = 1 decimos que (an) es mon´otona decreciente.^2
1.a: Una sucesi´on (eventualmente) mon´otona creciente y acotada superiormente es
convergente.
1.b: Una sucesi´on (eventualmente) mon´otona decreciente y acotada inferiormente es
convergente.
De un modo m´as sencillo, los enunciados (1.a) y (1.b) pueden reunirse afirmando que
toda sucesi´on de n´umeros reales acotada y (eventualmente) mon´otona es convergente. A
este resultado se le llama a veces Teorema de Bolzano.
Definici´on 1.5. La sucesi´on (an) se llama sucesi´on de Cauchy si dado ε > 0 existe un
n´umero natural n 0 (que depende de ε) tal que para p, q ≥ n 0 ,
|ap − aq| < ε.
Una caracter´ıstica fundamental de las sucesiones de n´umeros reales es:
2. Toda sucesi´on que converge es de Cauchy y, rec´ıprocamente, toda sucesi´on de
Cauchy converge.
Ejemplo 1.4. Vamos a ver que la sucesi´on de t´ermino general
an := 1 5 + 1
5 n^ + 1
es mon´otona creciente. Efectivamente, para cada n ∈ N se cumple
an+1 − an =
5 n+1^ + 1
(^2) El t´ermino eventualmente se puede soslayar si tenemos en cuenta que la convergencia o divergencia de una sucesi´on no var´ıa al a˜nadirle, quitarle o modificarle un n´umero finito de t´erminos.
Veamos que tambi´en es acotada superiormente.
an =
5 n^ + 1
5 n^
5 n+ 1 −
Esta ´ultima igualdad se sigue de la f´ormula que da la suma de los n primeros t´erminos de una progresi´on geom´etrica 3. Se deduce por tanto que
an <
Por tanto, la sucesi´on (an)∞ n=1 es mon´otona creciente y acotada superiormente, luego converge.
Ejercicio 1.3..
- Probar que la sucesi´on (^) ( 1 ,
n
es mon´otonona decreciente y acotada inferiormente.
- Probar que la sucesi´on (^) ( 1 2
n n + 1
es mon´otona creciente y acotada superiormente.
- Probar que la sucesi´on (^) ( 2 +
3! +^...^ +
n!
es mon´otona creciente y acotada superiormente por 3. Sugerencia: (^1). 2.^13 ...n ≤ (^1). 2.^12 .... 2 = (^2) n^1 − 1.
- Probar que converge la sucesi´on de t´ermino general
an =
(−1)n+ 5 n^ + 1
1.3 Criterio de monoton´ıa
Los m´etodos anteriores son “internos” a la sucesi´on, es decir dependen de estudiar sus propiedades; va- mos a introducir un m´etodo “externo” que necesita de otras dos sucesiones convergentes al mismo n´umero real, y se llama criterio de monoton´ıa, aunque coloquialmente se habla de criterio “del emparedado” (en ingl´es del sandwich) :
Si consideremos tres sucesiones (an)∞ n=1, (bn)∞ n=1 (cn)∞ n=1 tales que sean convergentes y
tales que, para n ≥ n 0 ∈ N,
an ≤ bn ≤ cn,
entonces
lim
n→∞
an ≤ lim
n→∞
bn ≤ lim
n→∞
cn.
Se puede asegurar de una forma m´as general que si lim
n→∞
an = lim
n→∞
cn = ` ∈ R, entonces
existe lim
n→∞
bn y es
lim
n→∞
bn = `.
(^3) En el Ap´endice se repasa la teor´ıa de progresiones que, seg´un los a˜nos, aparece y desaparece de los programas de Bachillerato.
2 Algunos ejemplos importantes
Ejemplo 2.1. Si a > 0 ,
n^ lim→∞^ n
a = 1
Supongamos a > 1, y sea an := n
a − 1. Entonces an > 0 para todo n, y tenemos por la f´ormula de Newton, a = (1 + an)n^ = 1 + nan + ... ≥ 1 + nan
de donde a − 1 n ≥ an > 0.
Por monoton´ıa existe el l´ımite de (an) y es 0. Luego
nlim→∞^ n
a = (^) nlim→∞(an + 1) = 1.
Si a = 1 nada hay que probar. Si a < 1 entonces A :=
a >^ 1 y tendremos por lo ya demostrado que
nlim→∞^ n
A = 1,
es decir
nlim→∞
√ na = 1.
Como la sucesi´on ( n
a) es acotada inferiormente por 1 y mon´otona, tiene l´ımite no nulo, y por la regla del cociente 1 nlim→∞^ n
a
luego (^) nlim→∞^ n
a = 1.
Ejemplo 2.2.
n^ lim→∞^ n
n = 1.
Sea an := n
n − 1 ≥ 0. Por la f´ormula del binomio,
n = (1 + an)n^ = 1 + nan +
n 2
a^2 n +... ≥
n 2
a^2 n = n(n^ −^ 1) 2 a^2 n.
Luego para n > 1,
0 ≤ an ≤
n − 1 Una vez m´as por monoton´ıa obtenemos que existe el l´ımite de (an) y es 0. Luego
nlim→∞^ n
n = (^) nlim→∞(an + 1) = 1.
Ejemplo 2.3. Si a > 1 y α ∈ R
n^ lim→∞
nα an^ = 0. En efecto: Escribamos a = 1 + p con p positivo. Sea k un entero tambi´en positivo y con k > α. Para n > 2 k,
an^ = (1 + p)n^ >
n k
pk^ = n(n − 1)... (n − k + 1) k! pk^ > nk 2 kk! pk,
y de aqu´ı que para n > 2 k,
0 < nα an^
2 kk! pk
nk−α^
Una vez m´as por monoton´ıa obtenemos que existe el l´ımite de
nα an
y es 0.
3 Algebra de l´ımites. Indeterminaciones elementales
Recordamos a continuaci´on una lista de resultados de teor´ıa, que se denominan Algebra de l´´ ımites. Permiten calcular el l´ımite de una sucesi´on cuando se conocen el de otra o los de otras:
Si an → a ∈ R y bn → b ∈ R , entonces 1 an + bn → a + b. 2 an · bn → a · b. Si an → a ∈ R 3 uan^ → ua, siempre que u > 0. 4 sen (an) → sen(a). 5 cos(an) → cos(a). Si para todo n ∈ N , an > 0 y an → a > 0, entonces 6 log(an) → log(a). Si para todo n ∈ N , an 6 = 0 y an → a 6 = 0, entonces 7
an
a
Si para todo n ∈ N , an 6 = 0 y an → +∞, entonces 8
an
Si para todo n ∈ N , an > 0 y an → a > 0, y bn → b ∈ R, entonces 9 ab nn → ab. Si para todo n ∈ N , an > 0 y an → a > 0, y b ∈ R, entonces 10 abn → ab. Si an → +∞ y b > 1, entonces 11 ban^ → +∞. Si an → +∞ y 0 < b < 1, entonces 12 ban^ → 0. Si an → +∞ y (bn) es acotada inferiormente, entonces 13 an + bn → +∞. Si an → −∞ y (bn) es acotada superiormente, entonces 14 an + bn → −∞. Si an → +∞ y bn → b ∈ R, b > 0, entonces 15 an · bn → +∞. Si an → +∞ y bn → b ∈ R, b < 0, entonces 16 an · bn → −∞. Si an → +∞, y bn → +∞, entonces 17 ab nn → +∞. Otras operaciones no nos llevan siempre a la misma situaci´on. Son las denominadas Indeterminaciones. Listamos las m´as importantes indicando a la izquierda su “etiqueta”.
∞ − ∞ Si an → +∞ y bn → −∞ no se puede predecir el l´ımite de (an + bn) ∞ ∞ Si^ an^ →^ +∞^ y^ bn^ →^ +∞^ no se puede predecir el l´ımite de
an bn
∞ · 0 Si an → +∞ y bn → 0 no se puede predecir el l´ımite de (an · bn) 0 0 Si an → 0 y bn → 0 no se puede predecir el l´ımite de
an bn
00 Si an → 0 y bn → 0 no se puede predecir el l´ımite de
anbn
1 ∞^ Si an → 1 y bn → +∞ no se puede predecir el l´ımite de
anbn^
∞^0 Si an → +∞ y bn → 0 no se puede predecir el l´ımite de
anbn
donde P (n) = apnp^ + · · · + a 0 y Q(n) = bqnq^ + · · · + b 0 son polinomios en n de grados
p y q respectivamente; se calculan f´acilmente dividiendo el numerador y el denominador
por nq, con lo cual
lim
n→∞
P (n)
Q(n)
+∞ si p > q,
0 si p < q,
ap
bp
si p = q
Tambi´en puede usarse un recurso parecido para calcular l´ımites de sucesiones con
t´ermino general que tiene forma de cociente, aunque no de dos polinomios:
Ejemplo 3.3. Calculamos
lim n n^2 + n + 1 √ (^2) n (^4) + 7 + n (^2) + n
El denominador es “como si” fuera un polinomio de grado 2, luego basta dividir numerador y denom- inador por n^2
√^ n^2 +^ n^ + 1 n^4 + 7 + n^2 + n
n^2 + n + 1 √^ n^2 n^4 + 7 + n^2 + n n^2
n +^
√^ n^2 1 +
n^4
n
Entonces, como
n
nlim→∞ √^ n^2 +^ n^ + 1 n^4 + 7 + n^2 + n
= (^) nlim→∞
n
√^ n^2 1 +
n^4
n
Tambi´en se pueden combinar estos desarrollos con el criterio de monoton´ıa.
Ejemplo 3.4. Calculemos el l´ımite de la sucesi´on
an =
√^1
n^4 + n
√^2
n^4 + 2n
√ n n^4 + n^2
En cada uno de los t´erminos de la forma j √ n^4 + jn
, si sustituimos el denominador, en primer lugar
por el denominador m´as grande posible
n^4 + n^2 , y despu´es, por el m´as peque˜no
n^4 + n, , se obtienen las desigualdades
√^ j n^4 + n^2
√ j n^4 + jn
√ j n^4 + n
j = 1, 2 , ,... , n.
De ellas se deduce que √^1 n^4 + n^2
√^2
n^4 + n^2
√ n n^4 + n^2
n^4 + n
n^4 + 2n
n √ n^4 + n^2
√^1
n^4 + n
√^2
n^4 + n
√ n n^4 + n
Por otro lado, 1 √ n^4 + n^2
n^4 + n^2
n √ n^4 + n^2
1 + 2 + · · · + n √ n^4 + n^2
n(n + 1) 2
√^1
n^4 + n^2
n + 1 2 n
n^4 n^4 + n^2
de donde
n^ lim→∞
n^4 + n^2
n^4 + n^2
n √ n^4 + n^2
An´alogamente se tiene que
n^ lim→∞
n^4 + n
n^4 + n
n √ n^4 + n
Por el criterio de monoton´ıa se concluye que (^) nlim→∞ an =^1 2
En el caso de sucesiones de la forma
log P (n)
log Q(n)
se escriben P (n) y Q(n) del siguiente modo: P (n) = np(ap +f (n)) y Q(n) = nq(bq +g(n))
y al operar, teniendo en cuenta las propiedades del logaritmo neperiano, se obtiene que
log P (n)
log Q(n)
p log n + log(ap + f (n))
q log n + log(bq + g(n))
p +
log(ap + f (n))
log n
q +
log(bq + g(n))
log n
Luego
lim
n→∞
log P (n)
log Q(n)
p
q
Ejemplo 3.5..
Si an = log(n^3 + 1) log(2n^4 + 1) ,^ entonces
an = log(n
log(2n^4 + 1) = 3 log^ n^ + log(1 + 1/n
4 log n + log(2 + 1/n^4 )
log(1 + 1/n^3 ) log n 4 + log(2 + 1/n^4 ) log n
Luego, (^) nlim→∞ an =
Ejercicio 3.1. Calcular los l´ımites de las siguientes sucesiones:
- an := 5 n^3 − 8 n^2 + 3 4 n^3 + 2n + 4.
- an := 4 n^2 − 3 n + 4 5 n^4 + 2n^2 − 3
- an := 4 n^5 − 8 n^2 + 3 2 n^3 + 4n − 5.
- an :=
n^2 − 3 √ (^3) n (^3) + 1.
- an := 2 n^ + 3 n + 3
n
Para calcular l´ımites de sucesiones de la forma
√ r P (n) − √r Q(n)
donde P y Q son polinomios en n y r ∈ N, procederemos como sigue: Partimos de
la siguiente factorizaci´on^4
ar^ − br^ = (a − b)(ar−^1 + ar−^2 b + · · · + abr−^2 + br−^1 )
y de ella se obtiene que
a − b =
ar^ − br
ar−^1 + ar−^2 b + · · · + abr−^2 + br−^1
Si, en particular, tomamos
a = r
P (n), b = r
Q(n)
queda
√ r P (n) − √r Q(n) = P (n) − Q(n)
√ r P (n)r− 1 + √r P (n)r− 2 Q(n) + · · · + √r Q(n)r− 1.
De esta manera un l´ımite indeterminado de la forma +∞ − ∞ se ha convertido en uno
de la forma
. Finalmente, dividiendo el numerador y el denominador de esta ´ultima
expresi´on por una potencia conveniente de n (la de ”mayor grado” del denominador, por
ejemplo), se obtiene el valor del l´ımite.
Ejemplo 3.7. Calculemos el l´ımite de la siguiente sucesi´on:
an =
4 n − 1 −
3 n. Sea a =
4 n − 1 , b =
3 n. Entonces,
an = a − b = a^2 − b^2 a + b
n − 1 √ 4 n − 1 +
3 n
Dividiendo numerador y denominador por
n, se obtiene que (^) nlim→∞ an = +∞
Ejemplo 3.8. Vamos a hallar el l´ımite de
an = 3
n^3 + 1 − n.
Recordamos que (A^3 − B^3 ) = (A − B)(A^2 + AB + B^2 ), luego A − B =
A^3 − B^3
A^2 + AB + B^2
an = 3
n^3 + 1 − 3
n^3 =
n^3 + 1
− n^3 √ (^3) (n (^3) + 1) (^2) + √ (^3) (n (^3) + 1)n (^3) + √ (^3) n 6 =
√ (^3) (n (^3) + 1) (^2) + √ (^3) (n (^3) + 1)n (^3) + √ (^3) n 6.
Luego (^) nlim→∞ an = 0.
Ejercicio 3.4. Hallar los l´ımites de las sucesiones siguientes:
- (^) (√ 5 n + 3 −
3 n
n=
(^4) Casos particulares muy frecuentes: a^2 − b^2 = (a − b)(a + b) a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2 ).
n^2 + 2n − 1 − 4 n
√ (^3) n (^3) + n (^2) − √ (^3) n (^3) − n 2 )
√ (^32) n (^3) + n (^2) − √ (^32) n (^3) − 8 n^ ).
n^2 + 1 −
n^2 + n √ (^3) n (^3) + 1 − √ (^3) n (^3) + n (^2) + 1
n +
n^4 + 1 − 2 n
n^4 + 2 − 3
n^6 + 1
n + 1 −
√ n n
√ (^4) n (^4) + n (^3) − √ (^4) n (^4) − 7 n (^3).^ )
n^4 + 1 − 3
n^3 + 1.
4 Subsucesiones
Dada una sucesi´on (an)∞ n=1 y unos ´ındices nk, donde k ∈ N, que verifican n 1 <
n 2 < n 3 <... < nk < nk+1 <... , se dice que la sucesi´on (ank )∞ k=1 es una subsucesi´on
de (an)∞ n=1.
La noci´on de subsucesi´on es ´util para demostrar tanto la convergencia como la diver-
gencia de una sucesi´on, como se deduce de los siguientes resultados.
(0) Si una sucesi´on tiene l´ımite L ∈ R ∪ {−∞, +∞}, entonces todas sus subsucesiones
tienen por l´ımite L.
(1) Si una sucesi´on (an)∞ n=1 admite dos subsucesiones que tienen diferentes l´ımites,
entonces (an)∞ n=1 no tiene l´ımite.
(2) Si (an)∞ n=1 es una sucesi´on tal que todas las subsucesiones que tienen l´ımite, tienen
el mismo l´ımite L; entonces limn→∞ an = L.
Ejemplo 4.1. La sucesi´on an := n^ −^1 n + 1 tiene por l´ımite 1. Entonces la sucesi´on
bn := n^3 − 1 n^3 + 1
tambi´en tiene por l´ımite 1 porque
b 1 = a 1 , b 2 = a 8 , b 3 = a 27 ,... bn = an 3 ,...
es decir que (bn) es subsucesi´on de (an), luego ha de tener el mismo l´ımite.
5 L´ımites indeterminados de potencias
La sucesi´on de n´umeros reales (an) dada por
an :=
n
)n
es decir, (
es mon´otona y acotada, como se ha visto en teor´ıa. Adem´as para todo natural n,
2 ≤ an < 3 ,
luego por el Teorema de Bolzano, existe un n´umero real al que llamamos e := lim
n→∞
an,
cumpliendo que e ∈ [2, 3].
Consideremos ahora la sucesi´on (sn) definida por
sn := 1 +
n!
Se cumple
a) Para todo natural n, sn ≤ sn+1.
b) 2 ≤ sn ≤ e.
c)
n
)n
≤ sn
Por tanto existe el l´ımite de (sn) y tenemos:
lim
n→∞
sn ≤ e := lim
n→∞
n
)n
≤ lim
n→∞
sn
En otras palabras, e = lim
n→∞
sn.
Sea λn una sucesi´on de n´umeros reales con λn → +∞. Sea an la parte entera del n´umero λn. Se tiene que an ≤ λn ≤ 1 + an,
y esto en particular implica que an → +∞. Podemos suponer que para cada natural n, 1 ≤ an. Entonces
1 1 + an
λn
an
luego (^) (
1 +
an + 1
)an ≤
λn
)λn ≤
an
)an+ .
Como (^) (
1 +
n + 1
)n
n + 1
)n+1 ( 1 +
n + 1
vemos que
nlim→∞
n + 1
)n = (^) nlim→∞
n + 1
)n+1 ( 1 + 1 n + 1
= e.1 = e.
Luego la sucesi´on
an + 1
)an ) , que es subsucesi´on de
n + 1
)n) , tendr´a el mismo l´ımite, o sea, e.
De igual modo,
nlim→∞
1 +^1
n
)n+ = (^) nlim→∞
1 +^1
n
)n ( 1 +^1 n
= e.1 = e,
luego la subsucesion
an
)an+ tendr´a el mismo l´ımite, el n´umero e. Entonces por monoton´ıa hemos
probado que
nlim→∞
λn
)λn = e.
Si λn → −∞, como ( 1 +
λn
)λn
−λn −λn − 1
)−λn
−λn − 1
)−λn
teniendo en cuenta que −λn → +∞, llegamos f´acilmente a que, tambi´en en este caso
nlim→∞
λn
)λn = e.
Sea xn una sucesi´on de n´umeros reales distintos de cero, con xn → x. Si λn → +∞, se tiene que
( 1 + xn λn
)λn
1 +^
λn xn
λnxn xn =
1 +^
λn xn
λnxn^
xn
y obtenemos que
nlim→∞
xn λn
)λn = ex.
El mismo resultado puede deducirse si λn → −∞.
5.0.4 F´ormula de Euler
Sea ahora αn una sucesi´on con αn → 1, y sea μn una sucesi´on con μn → +∞. Podremos
escribir αn = 1 + δn con δn → 0. Como
(αn)μn^ = (1 + δn)μn^ =
δnμn
μn
)μn
teniendo en cuenta el apartado anterior obtenemos
lim
n→∞
α nμn = e
lim
n→∞
δnμn
= e
lim
n→∞
μn(αn − 1)
La igualdad
n^2 + 3n − 5 n^2 − 4 n + 2
)n^2 (n+2))
( (^) log(n + 1) log n
)n log n^ )
n log
1 + 1/n 1 − 1 /n
2 + 3n^4
) 1 /(1+2 log n))
(5n^3 + 4n − 1)^1 /^ log(n (^2) +7n−5))
(√^ 1 + 3n 5 + 3n
)n^2 /(3n−1)^ )
n√^2 n (^2) + n + 1.^ )
6 Criterios de Stolz
Los criterios que vamos a ver son recursos de gran utilidad para el c´alculo de l´ımites de
sucesiones de la forma
an
bn
cuando (an)∞ n=1 y (bn)∞ n=1 convergen ambas a cero o divergen
a infinito. Son en cierto modo an´alogos a las reglas de L’Hˆopital para indeterminaciones
de cocientes de funciones derivables.
Supongamos que (an), y (bn) son sucesiones de n´umeros reales ambas con l´ımite cero.
Supongamos adem´as que bn+1 < bn 6 = 0 para todo n ∈ N.
Supongamos que existe
L := lim
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
Entonces existe lim
n→∞
an
bn
= L.
El mismo resultado es v´alido si an → +∞, bn → +∞, y (bn) es mon´otona creciente,
razonando de manera parecida.
(a) Sean (an)∞ n=1 y (bn)∞ n=1 dos sucesiones que convergen a cero, de manera que
b 1 > b 2 > · · · > bn > · · ·. (o bien b 1 < b 2 < · · · < bn < · · ·. )
Si
lim
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
= L ∈ R ∪ {+∞, −∞},
entonces
lim
n→∞
an
bn
= L.
(b) Sean (an)∞ n=1 y (bn)∞ n=1 dos sucesiones de manera que 0 < b 1 < b 2 < · · · < bn < · · ·
y (bn)∞ n=1 → +∞ (o bien 0 > b 1 > b 2 > · · · > bn > · · · y (bn)∞ n=1 → −∞ ). Si
lim
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
= L ∈ R ∪ {+∞, −∞},
entonces
lim
n→∞
an
bn
= L.
Tomando logaritmos, los criterios de Stolz tambi´en se pueden aplicar para calcular
l´ımites de sucesiones en las que aparezcan ra´ıces (exponentes fraccionarios). Con m´as
precisi´on,
(c) lim
n→∞
(bn)
1
an = lim
n→∞
bn+
bn
) a^1
n+1−an
si existe el segundo miembro. Como ejercicio deducir esta f´ormula (tambi´en llamada de
la ra´ız de Stolz) a partir de las dos anteriores y dar condiciones para su validez.
Ejemplo 6.1. Calculemos
n^ lim→∞
log(n + 2) n + 2
Se tiene que an := log(n + 2) → +∞ y bn := n + 2 → +∞ y es mon´otona creciente. Por tanto,
n^ lim→∞
log(n + 2) n + 2 =^ nlim→∞
log(n + 2) − log(n + 1) (n + 2) − (n + 1) =^ nlim→∞ log^
n + 2 n + 1 = 0.
Ejemplo 6.2. Calculemos el l´ımite de
log n 1 + 1/2 + · · · + 1/n
En este caso, an = log n, con lo cual an+1 − an = log n+1 n , y bn = 1 + 1/2 + · · · + 1/n, con lo cual bn+1 − bn = (^) n+1^1 > 0. Adem´as, limn→∞ bn = +∞. Como
n^ lim→∞
an+1 − an bn+1 − bn = (^) nlim→∞ log
n + 1 n
)n+ = log e = 1
aplicando el criterio de Stolz (b), se obtiene que
n^ lim→∞
log n 1 + 1/2 + · · · + 1/n
Ejemplo 6.3. Vamos a calcular
nlim→∞^ n
n!
Se tiene:
n^ lim→∞^ n
n! = (^) nlim→∞
n!
) (^) n^1 = (^) nlim→∞
(n + 1)! 1 n!
n+1^1 −n
= (^) nlim→∞
n + 1
