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An´alisis de una variable
- L´ımites de Funciones
1.1. Caracterizaci´on sucesional.
Definici´on 1.1. Sean A ⊂ R y a ∈ R. Se dice que a es un punto de acumulaci´on de A si
∀ > 0 , ]a − , a + [∩ (A \ {a}) 6 = ∅.
El conjunto de todos los puntos de acumulaci´on de A se denota por A′.
Ejemplo. Si A = [0, 1[∪{ 2 } entonces A′^ = [0, 1].
Definici´on 1.2. Sea f : A → R y a ∈ A′. Diremos que lim x→a
f (x) = l si:
Para todo > 0 existe δ > 0 tal que
x ∈ A, x 6 = a, |x − a| < δ −→ |f (x) − l| < .
Ejemplos. (a) Si f : R → R est´a definida como f (x) = 2x entonces lim x→a
f (x) = 2a. (b) Sea f : R \ { 0 } → R, f (x) = x sin
x
. Entonces lim x→ 0
f (x) = 0.
Teorema 1.3. Sean f : A → R y a ∈ A′. Son equivalentes: (i) lim x→a f (x) = l
(ii) Toda sucesi´on {xn}∞ n=1 tal que xn ∈ A, xn 6 = a y lim n→∞ xn = a cumple
que lim n→∞ f (xn) = l.
Dem: (i) ⇒ (ii). Sea {xn}∞ n=1 una sucesi´on de puntos xn ∈ A, xn 6 = a tal que lim n→∞ xn = a. Tenemos que probar que lim n→∞ f (xn) = l y para ello fijamos
> 0. Por hip´otesis, existe δ > 0 tal que
x ∈ A, x 6 = a, |x − a| < δ −→ |f (x) − l| < .
Puesto que lim n→∞ xn = a, encontramos un natural n 0 ∈ N tal que |xn − a| < δ
siempre que n ≥ n 0. Entonces, si n ≥ n 0 se cumple xn 6 = a, |xn − a| < δ, de donde |f (xn) − l| < . Queda probado que lim n→∞ f (xn) = l.
(ii) ⇒ (i). Procedemos por reducci´on al absurdo. Supongamos que (i) no se cumple. Entonces existe 0 > 0 tal que: para todo δ > 0 existe x ∈ A \ {a} de modo que |x − a| < δ pero |f (x) − l| ≥ 0. Ahora, para cada n ∈ N tomamos δ := (^1) n. Seg´un acabamos de ver, existe xn ∈ A \ {a} de modo que |xn − a| < (^1) n pero |f (xn) − l| ≥ 0. Se sigue del criterio del emparedado que lim n→∞ |xn − a| = 0, es decir, lim n→∞ xn = a. Por la condici´on (ii), deducimos que lim n→∞ f (xn) = l. Por tanto, existe n 0 ∈ N tal que |f (xn) − l| < 0 para todo
n ≥ n 0 , lo que es una contradicci´on. 1
Ejemplos. (a) La funci´on de Dirichlet f (x) =
0 x ∈ Q 1 x /∈ Q no tiene
l´ımite en ning´un punto. (b) f (x) = sin
x
no tiene l´ımite cuando x → 0. (c) lim x→ 0 (1 + x)
1 x (^) = e.
1.2. C´alculo de l´ımites.
Teorema 1.4. Sean f : A → R, g : A → R y a ∈ A′. Supongamos ∃ lim x→a f (x) y ∃ lim x→a g(x). Entonces:
(i) ∃ lim x→a (f (x) + g(x)) = lim x→a f (x) + lim x→a g(x)
(ii) ∃ lim x→a (f (x)g(x)) = lim x→a f (x) lim x→a g(x)
(iii) Si g(x) 6 = 0 para todo x ∈ A y tambi´en lim x→a
g(x) 6 = 0 entonces
lim x→a
f (x) g(x)
limx→a f (x) limx→a g(x)
Dem: (i) y (ii). Denotamos l := lim x→a f (x) y s := lim x→a g(x). Sea ahora
xn ∈ A \ {a} tal que lim n→∞ xn = a. Entonces lim n→∞ f (xn) = l y lim n→∞ g(xn) = s.
Por tanto lim n→∞ (f (xn) + g(xn)) = l + s y lim n→∞ (f (xn) · g(xn)) = l · s. De
donde se sigue la conclusi´on.
(iii) Si adem´as suponemos g(xn) 6 = 0 para todo n ∈ N y 0 6 = s = lim x→a g(x)
entonces
lim n→∞
f (xn) g(xn)
l s
De donde deducimos que lim x→a
f (x) g(x)
l s
Proposici´on 1.5. Sean f : A → R, a ∈ A′^ y α, β ∈ R tales que
α ≤ f (x) ≤ β
para todo x ∈ A. Si existe lim x→a f (x) entonces
α ≤ lim x→a f (x) ≤ β.
Dem: Sea l := lim x→a f (x). Tomamos una sucesi´on xn ∈ A \ {a} tal que lim n→∞ xn = a. Entonces lim n→∞ f (xn) = l. Puesto que α ≤ f (xn) ≤ β para todo
n ∈ N deducimos que α ≤ l ≤ β.
Proposici´on 1.6. Sean f, g, h : A → R, a ∈ A′. Supongamos que se cumplen las siguientes dos condiciones: (i) g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x ∈ A (ii) Existen lim x→a g(x) y lim x→a h(x) y adem´as lim x→a g(x) = lim x→a h(x) (= l).
Entonces:
∃ lim x→a
f (x) = l.
1.4. L´ımites laterales. Sean A ⊂ R, a ∈ R, a ∈ (A ∩ [a, +∞[)′^. Dada f : A → R sea g la restricci´on de f al conjunto A ∩ [a, +∞[. Si existe lim x→a g(x) diremos que ∃ lim x→a+^
f (x) = lim x→a g(x).
Es decir, lim x→a+^
f (x) = l si, y s´olo si, para cada > 0 existe δ > 0 tal que
x ∈ A, a < x < a + δ −→ |f (x) − l| < .
De modo an´alogo, sea h la restricci´on de f al conjunto A∩]−∞, a]. Si existe lim x→a
h(x) diremos que
∃ lim x→a−^
f (x) = lim x→a
h(x).
Teorema 1.10. Sean A ⊂ R, a ∈ R, a ∈ (A ∩ [a, +∞[)′, a ∈ (A∩] − ∞, a[)′^. Dada f : A → R, son equivalentes: (a) ∃ lim x→a f (x) = l
(b) Existen lim x→a+^
f (x) = l y lim x→a−^
f (x) = l.
Dem: (a)⇒ (b). Por hip´otesis, para todo > 0 existe δ > 0 tal que
x ∈ A, x 6 = a, |x − a| < δ −→ |f (x) − l| < .
Sea ahora g la restricci´on de f al conjunto A ∩ [a, +∞[. Si x ∈ A ∩ [a, +∞[ entonces g(x) = f (x), luego
∀ > 0 ∃δ > 0 : x ∈ A ∩ (a, +∞[ y |x − a| < δ −→ |g(x) − l| < .
Por tanto ∃ lim x→a+^
f (x) = lim x→a
g(x) = l.
Se procede igual para estudiar el l´ımite por la izquierda.
(b) ⇒ (a). Definimos
g : A ∩ [a, +∞[→ R, g(x) = f (x)
y h : A∩] − ∞, a] → R, h(x) = f (x).
Por hip´otesis, lim x→a g(x) = lim x→a h(x) = l.
Sea ahora > 0. Existe δ 1 > 0 tal que
x ∈ (A ∩ [a, +∞[) \ {a}, |x − a| < δ 1 −→ |f (x) − l| < .
Tambi´en existe δ 2 > 0 tal que
x ∈ (A∩] − ∞, a]) \ {a}, |x − a| < δ 2 −→ |f (x) − l| < .
Sea ahora δ := min(δ 1 , δ 2 ). Si x ∈ A \ {a} y |x − a| < δ entonces se cumple una de las dos condiciones anteriores y por tanto |f (x) − l| < .
Ampliaciones del concepto de l´ımite que involucran el infinito se trabajar´an en pr´acticas.
- Funciones Continuas Si f es una funci´on cualquiera no se cumple necesariamente ∃ lim x→a
f (x) =
f (a). Por ejemplo, f puede incluso no estar definida en el punto a y en este caso la ecuaci´on anterior no tiene sentido. Tambi´en puede no existir lim x→a f (x). Pero, a´un estando definida f en el punto a y existiendo lim x→a f (x),
podr´ıa ocurrir que el l´ımite anterior no coincidiera con f (a).
Definici´on 2.1. Sean f : A → R y a ∈ A. Se dice que f es continua en el punto a si: Para todo > 0 existe δ > 0 tal que
x ∈ A, |x − a| < δ −→ |f (x) − f (a)| < .
Cuando a es adem´as un punto de acumulaci´on del dominio A de f entonces la condici´on anterior se puede abreviar escribiendo simplemente
∃ lim x→a
f (x) = f (a).
Ejercicio: Supongamos que f es una funci´on continua en el punto a y f (a) > 0. Probar que existe δ > 0 tal que f (x) > 0 siempre que x ∈ A y |x − a| < δ.
Teorema 2.2. Sean f : A → R y a ∈ A. Si adem´as a es un punto de acumulaci´on de A entonces son equivalentes: (a) f es continua en a (b) ∃ lim x→a f (x) = f (a)
(c) Toda sucesi´on {xn}∞ n=1 tal que xn ∈ A y lim n→∞ xn = a cumple que lim n→∞ f (xn) = f (a).
Dem: La equivalencia entre (a) y (b) es obvia. (a) ⇒ (c). Sea {xn}∞ n= una sucesi´on de puntos xn ∈ A tal que lim n→∞
xn = a. Tenemos que probar
que lim n→∞ f (xn) = f (a) y para ello fijamos > 0. Por hip´otesis, existe δ > 0
tal que x ∈ A, |x − a| < δ −→ |f (x) − f (a)| < .
Puesto que lim n→∞ xn = a, encontramos un natural n 0 ∈ N tal que |xn − a| < δ
siempre que n ≥ n 0. Entonces, si n ≥ n 0 se cumple |f (xn) − f (a)| < . Queda probado que lim n→∞ f (xn) = f (a).
(c) ⇒ (a). Procedemos por reducci´on al absurdo. Supongamos que (a) no se cumple. Entonces existe 0 > 0 tal que: para todo δ > 0 existe x ∈ A de modo que |x − a| < δ pero |f (x) − f (a)| ≥ 0. Ahora, para cada n ∈ N tomamos δ := (^) n^1. Seg´un acabamos de ver, existe xn ∈ A de modo que |xn − a| < (^) n^1 pero |f (xn) − f (a)| ≥ 0. Se sigue del criterio del emparedado que lim n→∞ |xn − a| = 0, es decir, lim n→∞ xn = a. Por la condici´on (c), deducimos
que lim n→∞
f (xn) = f (a). Por tanto, existe n 0 ∈ N tal que |f (xn) − f (a)| < 0
para todo n ≥ n 0 , lo que es una contradicci´on.
Observamos que la equivalencia entre (b) y (c) en el teorema anterior no es m´as que una aplicaci´on directa del teorema 1.3 en el caso l = f (a). No
El punto x 0 se conoce como m´aximo absoluto de la funci´on f , mientras que y 0 es el m´ınimo absoluto.
Dem: Nos centraremos en la existencia de m´aximo absoluto. Para ello probamos primero que f est´a acotada superiormente en [a, b], esto es, existe una constante M > 0 tal que f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. Procedemos por reducci´on al absurdo. De lo contrario, para todo n ∈ N existe un punto xn ∈ [a, b] de modo que f (xn) > n. Puesto que la sucesi´on {xn}∞ n=1 est´a acotada podemos aplicar el Teorema de Bolzano-Weierstrass para encontrar una subsucesi´on {xnk }∞ k=1 que es convergente. Llamamos
λ := lim k→∞ xnk.
Puesto que la funci´on f es continua en λ ∈ [a, b], obtenemos
lim k→∞ f (xnk ) = f (λ),
lo que es una contradicci´on ya que f (xnk ) > nk ↑ ∞. Queda probado que existe una constante M > 0 tal que f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. Esto quiere decir que el conjunto
B := {f (x) ; x ∈ [a, b]}
est´a acotado superiormente. Por el axioma del supremo, el conjunto anterior tiene cota superior m´ınima: el supremo de B, que denotaremos β. Para cada n ∈ N, se sigue que β − (^1) n no es una cota superior del conjunto B y, por tanto, existe xn ∈ [a, b] tal que f (xn) > β − (^) n^1. Entonces se tiene
f (xn) ≤ β < f (xn) +
n
siendo la primera desigualdad consecuencia del hecho que β es una cota su- perior del conjunto B. De nuevo aplicamos el Teorema de Bolzano-Weierstrass para encontrar una subsucesi´on convergente {xnk }∞ k=1. Ahora llamamos
x 0 := lim k→∞
xnk.
Nuestro objetivo es demostrar que f (x) ≤ f (x 0 ) para todo x ∈ [a, b]. Ahora bien, por ser f continua en el punto x 0 se tiene f (x 0 ) = limk→∞ f (xnk ) y tomando l´ımites en la desigualdad
f (xnk ) ≤ β < f (xnk ) +
nk
concluimos que f (x 0 ) = β. Puesto que β es cota superior del conjunto B deducimos por ´ultimo f (x) ≤ β = f (x 0 )
para todo x ∈ [a, b]. Ya hemos probado que toda funci´on continua en un intervalo cerrado y acotado tiene m´aximo absoluto. La existencia de m´ınimo absoluto se puede deducir aplicando la existencia de m´aximo a la funci´on continua g = −f.
Corolario 2.8. Toda funci´on continua f : [a, b] → R est´a acotada.
Ejemplo 2.9. (a) La funci´on f :]0, 1] → R, f (x) = (^) x^1 , es continua pero no est´a acotada superiormente.
(b) La funci´on f : [0, 2] → R definida por
f (x) :=
x 0 ≤ x < 1 1 2 1 ≤^ x^ ≤^2
est´a acotada superiormente pero no tiene m´aximo absoluto.
Teorema 2.10. (Teorema de Bolzano). Sea f : [a, b] → R una funci´on continua. Si f (a) < 0 y f (b) > 0 , o bien f (a) > 0 y f (b) < 0 , entonces existe un punto c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
Dem: Haremos la prueba en el caso en que f (a) > 0 y f (b) < 0. Consider- amos el conjunto
A := {x ∈ [a, b] ; f (x) > 0 }.
El conjunto A es no vac´ıo (porque a ∈ A) y acotado superiormente (b es una cota superior). Por el axioma del supremo, A tiene cota superior m´ınima, a la que llamaremos c. Nuestro objetivo es demostrar que
f (c) = 0.
Para cada n ∈ N, se sigue que c − (^1) n no es una cota superior del conjunto A y, por tanto, existe xn ∈ [a, b] tal que f (xn) > 0 (es decir, xn ∈ A) pero xn > c − (^1) n. De esta ´ultima desigualdad y el hecho de que c es cota superior de A deducimos
c −
n
< xn ≤ c.
Por el criterio del emparedado
c = lim n→∞ xn.
Puesto que f es continua en el punto c obtenemos
f (c) = lim n→∞ f (xn) ≥ 0.
Procederemos por reducci´on al absurdo para probar que f (c) = 0. De lo contrario, f (c) > 0. Tomamos := f (c) > 0 y, por ser f continua en el punto c encontramos δ > 0 tal que
x ∈ [a, b], |x − c| < δ −→ f (c) − < f (x) < f (c) + .
En particular
f (x) > 0
siempre que x ∈ [a, b], |x − c| < δ. Puesto que c < b (por ser f (b) < 0), podemos encontrar puntos x ∈ [a, b] que son mayores que c y cumplen |x − c| < δ (luego f (x) > 0 y x ∈ A), lo que contradice el hecho de que c es una cota superior de A.
Definici´on 2.11. Un conjunto I ⊂ R es un intervalo si para cualesquiera x, y ∈ I se cumple
x < ξ < y ⇒ ξ ∈ I.
Un intervalo no vac´ıo es necesariamente de uno de los siguientes tipos: [a, b], ]a, b], [a, b[, ]a, b[, ] − ∞, a], ] − ∞, a[, ]b, +∞[, [b, +∞[, R.
Lema 2.17. Sea f : [a, b] → [c, d] una biyecci´on estrictamente creciente entre dos intervalos cerrados y acotados. Entonces f −^1 : [c, d] → [a, b] tambi´en es estrictamente creciente.
Dem: Sean c ≤ y 1 < y 2 ≤ d y llamamos x 1 := f −^1 (y 1 ), x 2 := f −^1 (y 2 ). Entonces x 1 , x 2 ∈ [a, b], f (x 1 ) = y 1 y f (x 2 ) = y 2. Por ser f estrictamente creciente se cumple x 1 < x 2 (ya que x 1 ≥ x 2 implica y 1 ≥ y 2 ). Queda probado que f −^1 es estrictamente creciente.
Proposici´on 2.18. Sea f : [a, b] → [c, d] una biyecci´on estrictamente mon´otona entre dos intervalos cerrados y acotados. Entonces f y f −^1 son funciones continuas en sus respectivos dominios.
Dem: Supondremos que f es estrictamente creciente. Veamos ahora que f es necesariamente continua en cualquier punto x 0 ∈]a, b[. Notamos primero que c = f (a) y d = f (b), con lo cual c < f (x 0 ) < d. Fijamos > 0 lo suficientemente peque˜no para que
c < f (x 0 ) − < f (x 0 ) < f (x 0 ) + < d.
Ahora llamamos
ξ := f −^1 (f (x 0 ) − ) , η := f −^1 (f (x 0 ) + ).
Por ser f −^1 estrictamente creciente,
a < ξ < x 0 < η < b.
Por ´ultimo seleccionamos δ > 0 de modo que ξ < x 0 − δ < x 0 + δ < η. Probamos ahora que
|x − x 0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x 0 )| < .
En efecto, si |x − x 0 | < δ entonces ξ < x < η y por ser f estrictamente creciente deducimos f (ξ) < f (x) < f (η), o lo que es lo mismo,
f (x 0 ) − < f (x) < f (x 0 ) + .
Queda probado que f es continua en todos los puntos del intervalo abierto ]a, b[. La continuidad de f en los puntos extremos del intervalo se deja como ejercicio. Por otra parte, puesto que f −^1 : [c, d] → [a, b] es tambi´en una biyecci´on estrictamente creciente, el argumento anterior prueba que tambi´en f −^1 es una funci´on continua.
Observemos que una funci´on puede tener la propiedad de los valores inter- medios sin ser continua. Un ejemplo es la funci´on f : [0, 2] → R definida por
f (x) =
x, 0 ≤ x < 1 − 2 x + 4 1 ≤ x ≤ 2
Lo que afirma la proposici´on anterior es que una funci´on estrictamente mon´otona es continua si tiene la propiedad de los valores intermedios.
Proposici´on 2.19. (a) Las funciones ex^ y ln x son continuas en sus respectivos dominios. (b) Las funciones Arc sin : [− 1 , 1] → [−π 2 , π 2 ] y Arc cos : [− 1 , 1] → [0, π] son continuas.
Dem: (a) Fijado x 0 ∈ R seleccionamos a, b arbitrarios de modo que a < x 0 < b. Puesto que f : [a, b] → [ea, eb], f (x) = ex, es una biyecci´on estricta- mente creciente, deducimos de la proposici´on anterior que f es continua en el punto x 0 y tambi´en f −^1 (y) = ln y es continua en el punto y 0 = ex^0 > 0.
(b) Basta observar que sin : [−π 2 , π 2 ] → [− 1 , 1] y cos : [0, π] → [− 1 , 1] son biyecciones estrictamente mon´otonas.
Obs´ervese que la demostraci´on de continuidad de la funci´on ex^ se basa en la hip´otesis (que no hemos demostrado, al carecer de una definici´on rigurosa de la funci´on) de que la ecuaci´on ex^ = c tiene soluci´on para cualquier c > 0.
- Funciones uniformemente continuas
Definici´on 3.1. Una funci´on f : A → R es uniformemente continua si: Para todo > 0 existe δ > 0 tal que
x, y ∈ A, |x − y| < δ −→ |f (x) − f (y)| < .
Si f : A → R es uniformemente continua entonces f es continua en todos los puntos de A. En cambio, el rec´ıproco no tiene porque ser verdad. En efecto, si f : A → R es continua en todos los puntos de A entonces, para cada x ∈ A se cumple que f es continua en x. Lo que quiere decir que para todo x ∈ A y para todo todo > 0 existe δ > 0 (que depende de x y de ) tal que
y ∈ A, |x − y| < δ −→ |f (x) − f (y)| < .
En la definici´on de continuidad uniforme el ′δ′^ es el mismo para todos los puntos x. Esto es, δ solo depende de .
Ejemplo. La funci´on f :]0, 1] → R, f (x) = (^) x^12 , no es uniformemente continua.
En efecto, supongamos que f es uniformemente continua. Dado 0 < < 1 existe δ > 0 tal que
x, y ∈]0, 1], |x − y| < δ −→ |f (x) − f (y)| < .
Consideramos ahora la sucesi´on en ]0, 1] definida como xn := √^1 n. Puesto
que limn→∞ (xn+1 − xn) = 0, existir´a n 0 ∈ N tal que |xn+1 −xn| < δ siempre que n ≥ n 0. Entonces,
n ≥ n 0 −→ |f (xn+1) − f (xn)| < .
Esta ´ultima desigualdad es una contradicci´on ya que
|f (xn+1) − f (xn)| = 1
para cualquier valor de n ∈ N.
Teorema 3.2. (Teorema de Heine-Cantor.) Toda funci´on continua
f : [a, b] → R
es uniformemente continua.
