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Departamento de An´alisis Matem´atico Curso 2007-08. Pr´acticas de An´alisis de una variable. M´odulo 12768.
PR ´ACTICA 2
Programa de la Asignatura:
TEMA 2 Preliminares sobre funciones de variable real. Dominio e imagen; operaciones con funciones. Com- posici´on. Gr´aficas de funciones. Otros subconjuntos del plano (elipses, hip´erbolas,..). Funciones mon´otonas. Funciones inyectivas y sobreyectivas. Funciones inversas. M´aximos y m´ınimos.
TEMA 3 Funciones elementales (potenciales, exponenciales, logaritmicas, trigonom´etricas). Propiedades b´asicas. Gr´aficas.
FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
1 Generalidades
Llamaremos funci´on real de variable real (abreviadamente diremos s´olo funci´on) a todo criterio, f´ormula o expresi´on 1 que a cada elemento x de un conjunto D ⊂ R le haga corresponder un ´unico n´umero real f (x), llamado imagen de x. Al conjunto D se le llama dominio de f y al conjunto de todas las im´agenes rango, recorrido o conjunto imagen, denot´andolo por f (D), as´ı f (D) := {f (x) : x ∈ D}.
Normalmente se usa la notaci´on f : D → R para indicar que f es una funci´on definida en D ⊂ R y que toma valores reales.
Ejemplo 1.1. Las siguientes expresiones definen funciones (incluimos su recorrido):
- f : D → R, f (x) := x^2 , definida en D =]0, +∞[, f (D) =]0, +∞[.
- f : D → R, f (x) := x^2 , definida en D = R, f (D) = [0, +∞[.
- f : D → R, f (x) := x^2 , definida en D =] − 1 , 1[, f (D) = [0, 1[.
- F : D → R, F (x) := log x, definida en D =]0, +∞[, F (D) = R.
- h : D → R, h(x) := x − |x|, definida en D =] − 1 , 1[, h(D) =] − 2 , 0].
- g : D → R, g(x) := −
x, definida en D = [0, ∞[, g(D) =] − ∞, 0].
- G : D → R, G(x) :=
x, definida en D = [0, ∞[, G(D) = [0, +∞[.
- f : D → R, f (x) :=
− 1 , si x ≤ 17 x + 5, si x > 17 , definida en D = R, f (D) =
{− 1 }∪]22, +∞[. (^1) La definici´on rigurosa de estos t´erminos, ’criterio’, ’f´ormula’, ’expresi´on’, u otros perecidos ’regla’ o ’ley’ que a veces tambi´en se usan, nos llevar´ıa a la Teor´ıa de Conjuntos.
- f (x) :=
x^2 + 1 x^2 − 1
, definida en D = R \ {− 1 , 1 }, f (D) =] − ∞, −1]∪]1, +∞[.
- f (x) := d´ıgito de las unidades en su expresi´on decimal, definida en D = R, f (D) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }. En algunas ocasiones, v´ease el pen´ultimo caso, el recorrido de una funci´on no es in- mediato de calcular. Cuando f (D) = R, diremos que f es suprayectiva, exhaustiva o simplemente sobre.
Ejemplo 1.2. Las siguientes expresiones no definen funciones.
- f (x) :=
x, definida en D = R, ya que los n´umeros negativos no tienen ra´ız cuadrada real.
- f (x) := un ´angulo en radianes cuyo seno sea x, definida en D =] − 1 , 1[, ya que hay infinitos ´angulos cuyo seno es, por ejemplo, 0.5.
- f (x) :=
x^2 + 1 x^2 − 1
, definida en D = R, ya que la fracci´on no est´a definida en 1 ni en −1.
- f (x) := log x, definida en D =] − 1 , 1[, ya que los n´umeros no positivos no tienen logaritmo neperiano.
- f (x) := y, siendo y tal que x^2 + y^2 = 1, definida en R, ya que si |x| > 1 no tiene imagen, y si |x| ≤ 1 su imagen no es ´unica (hay dos “im´agenes”).
As´ı pues una funci´on es una expresi´on o regla sobre un conjunto y, por tanto, una misma expresi´on al actuar sobre elementos de conjuntos diferentes genera funciones diferentes como muestran los tres primeros apartados del Ejemplo 1.1.
Es conveniente hacer notar que muchas veces, sobre todo en el lenguaje hablado, se pueden usar frases como la funci´on f (x) := x^2. ¿Qu´e ocurre si no citamos el dominio de la expresi´on en cuesti´on? En ese caso el dominio est´a el´ıptico como el sujeto en ciertas oraciones gramaticales. Entendemos entones que el dominio es el subconjunto de R m´as grande donde la expresi´on tenga sentido; es lo que se denomina Campo de Existencia de dicha expresi´on. Lo denotaremos por D(f ).
Ejemplo 1.3. Las siguientes expresiones tienen el campo de existencia que se cita:
- f (x) := x^2 , D(f ) = R.
- f (x) := log x, D(f ) =]0, +∞[.
- f (x) :=
x, D(f ) = [0, ∞[.
- f (x) :=
x^2 + 1 x^2 − 1
, D(f ) = R \ {− 1 , 1 }.
- f (x) :=
x − 2, D(f ) = {x ∈ R : x ≥ 2 }.
Una funci´on se llama inyectiva (uno-a-uno) si f (x 1 ) = f (x 2 ) implica x 1 = x 2 , o, equiv- alentemente, si para valores diferentes de la variable obtenemos im´agenes diferentes, esto es x 1 6 = x 2 implica f (x 1 ) 6 = f (x 2 ).
Ejemplo 1.4. Con respecto a las funciones del Ejemplo 1.1:
- f (x) := x^2 , definida en D =]0, +∞[, es inyectiva.
- f (x) := | sin(x)|.
- f (x) := sin(|x|).
- f (x) := x^2 + 4x + 4.
- f (x) :=
x 1 + x
- f (x) :=
x
Ejercicio 1.3. Comprueba que la funci´on f : R −→ R definida por f (x) = x^2 − 2 x + 3 no es inyectiva y determina los dos intervalos m´aximos donde es inyectiva.
Se dice que la funci´on f : D → R es par si f (x) = f (−x) y se dice que es impar si f (−x) = −f (x). Es perfectamente posible que una funci´on no sea ni par ni impar, por ejemplo, f (x) := x − 1. La ´unica funci´on que es, a la vez, par e impar es la funci´on id´enticamente nula.
Ejercicio 1.4. De las funciones, tanto del Ejemplo 1.1 como del Ejercicio 1.1, se˜nalar cu´ales son pares y cu´ales son impares.
Ejercicio 1.5. Si f y g son, a la vez, pares (o, a la vez, impares), ¿ son f + g, f · g y
f g pares o impares?
Ejercicio 1.6. Dadas las funciones f y g, definimos |f |(x) = |f (x)| y max(f, g)(x) = max(f (x), g(x)). Prueba que
max(f, g) =
f + g + |f − g| 2
2 Gr´aficas
Si f : D → R es una funci´on, al conjunto de todos los puntos del plano
gr(f ) := {(x, y) : y = f (x), x ∈ D}
se le llama gr´afica de f. Una forma de visualizar algunas funciones es representar su gr´afica en un diagrama cartesiano. As´ı establecemos en un plano dos ejes ortogonales con la misma escala. En el horizontal, denominado de abscisas o de las X, representamos los elementos del dominio y en el vertical, denominado de ordenadas o de las Y, representamos las im´agenes. Una manera rudimentaria de representar la gr´afica de una funci´on es dar cuantos m´as valores podamos a la x para obtener los correspondientes valores de y e ir dibujando puntos; otra es hacer uso de los numerosos programas inform´aticos o de las calculadoras
gr´aficas existentes. Como ejemplo las gr´aficas de las funciones |x|,
x,
x
y [x] (parte
entera de x), hechas con derive r quedan as´ı:
y = |x| y = √ x
y = 1 x y = [x]
Ejercicio 2.1. Dibuja las gr´aficas de las funciones [ 1 x ],
√ x − [x], x + 1 x .
Ejercicio 2.2. Elaborar un “Graficario” que recoja las funciones elementales, a saber
Potenciales: y = x , y = x^2 , y = x^3 ,..., y = 1 x , y = 1 x^2 , y = 1 x^3 ... Exponenciales: y = ax, con a > 1 ´o a < 1 , en particular y = ex^ e y = e−x. Logar´ıtmica: y = log x. Trigonom´etricas: y = sin x, cos x, tan x. Se puede hacer dibuj´andolas directamente, mediante programas de dibujo de gr´aficas o mediante copias. A partir de una gr´afica conocida es posible, mediante traslaciones y dilataciones del plano obtener otras similares.
Ejercicio 2.3. A partir de las gr´aficas de las funciones elementales dibujar las gr´aficas de las funciones
- y = − 3 x^2 + 6x + 2 ( Sugerencia: hacer y = −3(x − 1)^2 + 5).
- y = 5x^2 + 10x + 7.
- y = 1 + 3 x + 3 .
- y = 2 − | 3 x − 1 |
- y = 7. 2 x−^1.
- y = −2 + 3.e^2 x−^5
- y = 5 sin(x − 2).
- y = −2 cos(x + π).
- y = tan(1 − x).
- y = 1 − 3 sin(2x + 5).
Ejercicio 3.1. Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones; calcular las funciones inversas de las que sean inyectivas, y especificar su dominio en cada caso.
- f (x) :=^1 x
- F (x) := x 1 − x^2 .
- g(x) := x 1 − |x| .
- h(x) := 1 − x 1 + x
- k(x) := x^3. Hay casos en los que la funci´on no es inyectiva pero toma los valores de su recorrido varias o, incluso, infinitas veces con lo que podemos considerar la funci´on restringida a un subconjunto del dominio en el que tome todos los valores de su recorrido y adem´as sea inyectiva (los toma una sola vez). Decimos que hemos tomado una determinaci´on para la inversa.
Ejemplo 3.4. La funci´on seno no es inyectiva pero s´ı lo es al considerarla como
sin : [− π 2 , π 2 ] → [− 1 , 1]
Se llama funci´on arco seno a la inversa de la anterior y se escribe sin−^1 x = arcsin x. Como ejercicio dibujar su gr´afica.
Ejercicio 3.2. Definir las inversas del coseno (funci´on arco coseno) y la tangente (funci´on arco tangente)a partir de las determinaciones:
cos : [0, π] → [− 1 , 1] tan :] − π 2 , π 2 [ → ] − ∞, ∞[
y representarlas.
4 Composici´on de funciones
Si f : Df → R , g : Dg → R son funciones, y adem´as el dominio de g contiene al recorrido de f , es decir si f (Df ) ⊂ Dg, tiene sentido definir una nueva funci´on g ◦ f : Df → R por (g ◦ f )(x) := g(f (x)).
Esta funci´on se llama funci´on compuesta de f con g. Es el resultado de la actuaci´on sucesiva de f y g (en este orden).
Ejemplo 4.1. Si f (x) := x^2 + 1 y g(x) = 1 x^2 entonces tiene sentido calcular f ◦ g y g ◦ f (¿por qu´e?), y
(f ◦ g)(t) := f (g(t)) = (g(t))^2 + 1 =
( 1 x^2
) 2
(g ◦ f )(t) := g(f (t)) = 1 f (t)^2 =^
1 (x^2 + 1)^2 =^
1 x^4 + 2x^2 + 1.
Ejercicio 4.1. Determina f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f i f ◦ g en cada uno de los siguientes casos:
a) f (x) = x^2 , g(x) =^1 x .
b) f (x) =
{ 1 si x ≥ 0 − 1 si x < 0 ,^ g(x) =
1 x c) f (x) =
{ 0 si x ≤ 0 x si x > 0 ,^ g(x) =
{ 0 si x ≤ 0 −x^2 si x > 0
Ejercicio 4.2. ¿Para qu´e valores de a, b, c, d se verifica f = f −^1 si
f (x) = ax^ +^ b cx + d ?
Ejercicio 4.3. Calcula f −^1 (f (a) + f (b)) si
i) f (x) = 1 x , ii) f (x) = log
( (^) 1 + x 1 − x
) .
5 Problemas propuestos
Ejercicio 5.1. Para las funciones f (x) = x^3 , g(x) = (x) (^13) .
- Calcular, f (2), g(8).
- Calcular, f ([− 1 , 1]), g([− 1 , 1]).
- ¿ Cu´ales de ellas son inyectivas? ¿Cu´ales de ellas son exhaustivas?
- Calcular, f ◦ g y g ◦ f supuesto que tengan sentido. Especificar entonces el dominio y el recorrido de las funciones compuestas.
- Calcular, f ◦ f y g ◦ g supuesto que tengan sentido. Especificar entonces el dominio y el recorrido de las funciones compuestas.
- Calcular, f −^1 y g−^1 supuesto que tengan sentido. Especificar entonces el dominio y el recorrido de las funciones inversas.
Ejercicio 5.2. Responder razonadamente a las siguientes preguntas.
- Una funci´on inyectiva ¿transforma intervalos contenidos en su dominio en intervalos?
- Una funci´on inyectiva ¿es siempre exhaustiva?
- Una funci´on exhaustiva ¿es siempre inyectiva?
- Una funci´on impar ¿ es siempre inyectiva?
- Una funci´on impar ¿ es siempre exhaustiva?
- Una funci´on definida en R tiene la propiedad de transformar intervalos en intervalos. ¿Podemos entonces decir que es inyectiva?
Ejercicio 5.3. Si f (x) = ex^ y g(x) = ln(x),
- Estudiar si f y g son inyectivas.
- Calcular f (R) y g(]0, ∞[).
- Calcular (g ◦ f )(t) y (f ◦ g)(s) especificando para qu´e valores de s y t tienen sentido.
- Calcular (f ◦ f )(1).
- Calcular (g ◦ g)(e).
- Calcular f −^1 y g−^1 supuesto que existan, y dar su dominio y su recorrido.
Ejercicio 5.4. La funci´on f (x) = cos(x) no es inyectiva, pero puede serlo restringiendo convenientemente su dominio. ¿En cu´ales de los dominios que siguen ser´a inyectiva?
- [0, 2 π[.
- [0, π[.
- [−π, π[.
- [−π/ 2 , π/2[.
