Departamento de An´alisis Matem´atico
Curso 2007-08.
Pr´acticas de An´alisis de una variable. M´odulo 12768.
PR ´
ACTICA 3
Programa de la Asignatura:
TEMA 4
Necesidad del axioma del supremo. La propiedad arquimediana. El principio de los intervalos enca-
jados.
R, CUERPO ORDENADO ARQUIMEDIANO Y COMPLETO
1 El axioma del supremo
El conjunto R, de los n´umeros reales se introduce axiom´aticamente postulando su
existencia como conjunto, no vac´ıo, dotado de dos leyes, suma yproducto, que cumplen
los siguientes axiomas ( x, y, z son elementos cualesquiera de R):
(AX1) Conmutatividad
x+y=y+x, x ·y=y·x
(AX2) Asociatividad
x+ (y+z) = (x+y) + z, x ·(y·z) = (x·y)·z
(AX3) Distributividad del producto sobre la suma
x·(y+z) = x·y+x·z
(AX4) Existencia de elementos neutros
Existen dos n´umeros reales distintos denotados por 0 y 1 y llamados cero yuno, tales
que x+ 0 = x, x ·1 = x.
(AX5) Existencia de elementos sim´etricos
Dado xexiste un −x, al que llamamos opuesto de x, tal que x+ (−x) = 0,y, si adem´as
xno es el cero existe un x−1, llamado inverso de x, tal que x·x−1= 1.
El siguiente convenio de s´ımbolos es universal:
x−y:= x+ (−y) y x
y:= x·y−1.
Rtiene definida una relaci´on binaria: x<y(decimos xes menor que y) que cumple
(AX6) Tricotom´ıa
Dados x, y ∈R, se da una, y s´olo una, de las relaciones
x<y,x=y,x>y.
(AX7) Estabilidad respecto a la suma y al producto
Dados x, y, z ∈Rse tiene que
x<y =⇒x+z < y +zy si, adem´as, z > 0, x < y =⇒x·z < y ·z.
As´ı la expresi´on x≤y⇐⇒ (x<y´o x=y) es una relaci´on de orden total en R.
Para el ´ultimo de los axiomas necesitamos m´as vocabulario:
Si Aes un subconjunto no vac´ıo de Rdiremos que un n´umero real Mes cota superior
de Asi para todo a∈Ase verifica que a≤M. Si Aadmite alguna cota superior se
