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Departamento de An´alisis Matem´atico
Curso 2007-08.
Pr´acticas de An´alisis de una variable. M´odulo 12768.
PR ´ACTICA 6
Programa de la Asignatura: TEMA 7: L´ımites de funciones. Algebra de l´ımites. Continuidad en un punto. L´ımites laterales. TEMA 8: Continuidad en un intervalo. Teoremas de Bolzano y Weierstrass.
1 L´ımites de funciones. Continuidad
1.1 L´ımites elementales de funciones
Sea D un subconjunto de R y a ∈ ac(D), sea adem´as f una funci´on con dominio D, se dice que f (x) tiende a r cuando x tiende hacia a (limx→a f (x) = r) si se cumple que para cada ≤ > 0 se puede encontrar δ > 0 tal que |f (x) − r| < ≤ para todo x ∈ D con 0 < |x − a| < δ.
L´ımite por sucesiones. La siguiente caracterizaci´on es muy ´util. limx→a f (x) = r si y s´olo si para toda sucesi´on (xn) ⊂ D \ {a} tal que limn→∞ xn = a se tiene limn→∞ f (xn) = r.
Ejemplo 1.1 Demostrar que lim x→ 2 (5x − 1) = 9.
Como el dominio de la funci´on f (x) = 5x − 1 es R, cualquier punto es de acumulaci´on de dicho conjunto. Seg´un la definici´on, para cualquier ≤ > 0 que nos den, tenemos que encontrar δ > 0 tal que |(5x − 1) − 9 | < ≤ siempre que 0 < |x − 2 | < δ. Ahora, como
|(5x − 1) − 9 | = |5(x − 2)| = 5|x − 2 |,
la desigualdad |(5x − 1) − 9 | < ≤
se cumplir´a si 0 < |x − 2 | < ≤ 5. Por tanto, si nos dan ≤ > 0 siempre podemos tomar δ = ≤ 5.
1.1.1 Problemas propuestos
Ejercicio 1.1 Demostrar, siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior, que
(a) lim x→ 1 (3x − 2) = 1,
(b) lim x→ 2 x^2 = 4,
(c) lim x→ 0
x^2 + 3x + 1 x + 2
(d) lim x→ 1
x^2 − 1 x^2 + 2
(e) lim x→ 1
x^2 − 1 x − 1
Ejemplo 1.2 Si a es un n´umero real cualquiera, probar que
x^ lim→a sen(x) = sen(a).
Como caso preliminar observemos que la desigualdad |sen(x)| ≤ |x| se cumple para todo x ∈ R. Sup´ongase que 0 ≤ x ≤ π 2. Si formamos un ´angulo de x radianes, denotamos por P el punto del primer cuadrante correspondiente al corte de la recta que pasa por el origen de pendiente tan x y la circunferencia de centro el origen y radio 1 y denotamos Q el sim´etrico de P respecto al eje OX, tendremos que la longitud de la cuerda P Q es 2sen(x), mientras que la del arco P Q es 2 x. Como ”la l´ınea recta es el camino m´as corto entre dos puntos ”, resulta que 2sen(x) ≤ 2 x, lo que implica que |sen(x)| ≤ |x|. Para π 2 ≤ x la desigualdad es trivial, pues en este caso
|sen(x)| ≤ 1 < π 2
≤ x = |x|.
En consecuencia, |sen(x)| ≤ |x| para todo x positivo. Si x ≤ 0 , entonces −x es positivo y
|sen(x)| = | − sen(x)| = |sen(−x)| ≤ | − x| = |x|.
Una vez probada la desigualdad, pasemos a demostrar la afirmaci´on original. Usaremos la siguiente identidad:
sen(x) − sen(a) = 2 cos x + a 2 sen x − a 2
Como los valores de la funci´on coseno est´an comprendidos entre − 1 y 1
|sen(x) − sen(a)| ≤ 2 |sen x − a 2
| ≤ |x − a|.
Luego tomando δ = ≤, obtenemos el resultado.
1.1.2 Problemas propuestos
Ejercicio 1.2 Demostrar que para todo n´umero real a se tiene:
(a) lim x→a cos(x) = cos(a),
(b) (^) xlim→a tan(x) = tan(a).
Mediante la aplicaci´on de las propiedades de los l´ımites se puede sustituir el c´alculo de un l´ımite de una expresi´on complicada por el c´alculo de otros l´ımites m´as simples.
Ejercicio 1.3 Calcular los l´ımites siguientes. (a) limx→ 1 x (^2) + x^2 +. (b) limx→ 1 (x − 1)x^2 sen( (^1) −^1 x ).
Sin embargo, a veces, las expresiones a las que se llega no son tan sencillas o conducen a l´ımites que no tienen sentido; son los llamados casos de Indeterminaci´on. Los que surgen del ´algebra de l´ımites son los que se escriben en la forma simb´olica:
0 0
Sean P el punto de corte de la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 y la recta que pasa por el origen O con pendiente tan x. Sea S el punto de corte de la circunferencia y el eje OX. Denotemos por R la proyecci´on de P sobre el eje 0 X y por Q el punto de corte de la recta que pasa por el origen O con pendiente tan x y la perpendicular al eje OX en el punto S. Es claro que el ´area del tri´angulo OP R es menor que la del sector circular OP S, y ´esta a su vez inferior al ´area del tri´angulo OQS:
4 OP R =
|OR|.|RP | =
cos(x)sen(x),
4 ORS =
|OS|.|SQ| =
tan(x).
El ´area del sector circular ser´a igual al ´area del c´ırculo, a saber π, multiplicada por la fracci´on x 2 π.^ Luego, tenemos 1 2
cos(x)sen(x) ≤ x 2
tan(x);
desigualdades v´alidas para 0 ≤ x < π 2. De la desigualdad cos(x)sen(x) ≤ x resulta
sen(x) x
cos(x)
para 0 < x < π 2. An´alogamente, de la desigualdad x ≤ tan(x) se tiene
cos(x) ≤ sen(x) x
para 0 < x < π 2. Luego
cos(x) ≤
sen(x) x
cos(x)
si 0 < x < π 2. N´otese que cada t´ermino de esta desigualdad es invariante bajo el cambio de x por −x. Seg´un el Ejercicio 1. lim x→ 0 cos(x) = 1
y por lo tanto
lim x→ 0
cos(x)
De aqu´ı, por el criterio del emparedado,
lim x→ 0
sen(x) x
1.1.3 Problemas propuestos
Ejercicio 1.5 Encontrar el orden de los siguientes infinit´esimos: (a) < 1 − cos(x), 0 >, (b) < ex^ − 1 , 0 >, (c) < log(1 + x), 0 > (d) < tan(x), 0 >, (e) < ax^ − 1 , 0 > siendo a > 0 , (f ) < arctan(x), 0 >, (g) < (1 + x)n^ − 1 , 0 >.
Una propiedad de los infinit´esimos equivalentes que pone de manifiesto su utilidad en el c´alculo de indeterminaciones es la siguiente: Si < f (x), a >∼=< g(x), a > y existe limx→a h(x)g(x), entonces se tiene que
xlim→a h(x)g(x) = lim x→a h(x)f^ (x) En efecto; por la propiedad del producto de l´ımites obtenemos:
xlim→a h(x)f^ (x) = lim x→a h(x)f^ (x) lim x→a
g(x) f (x) = lim x→a
f (x)h(x)g(x) f (x) = lim x→a h(x)g(x).
Ejemplo 1.5 Calcular
lim x→ 0
(x − 1)senx x^2 − 2 x
Este l´ımite es una indeterminaci´on del tipo 00 , como seg´un el Ejemplo 1.4, tenemos que
< sen(x), 0 >∼=< x, 0 >,
entonces aplicando la propiedad anterior de los infinit´esimos equivalentes:
lim x→ 0
(x − 1)senx x^2 − 2 x = lim x→ 0
(x − 1)x x^2 − 2 x
1.1.4 Problemas propuestos
Ejercicio 1.6 Calcular los siguientes l´ımites:
(a) lim x→ π 2
cos(x) x − π 2
(b) lim x→ π 2
(x − π 2
) tan(x),
(c) lim x→ 0
(x^2 − x^3 )((x + 1)
√ (^2) − 1 log(1 + 4x)(1 − cos(2x))
(d) lim x→ 0
x log(1 + x)sen(x) tan(x) (1 − cos(x))(ax^ − 1)((1 + x)
√ 2 − 1)
(e) lim x→ 0
(ax^ − 1)log(1 − x^2 ) [(1 − x^2 )m^ − 1]arcsenx
(f ) (^) xlim→a
senx − sena x − a
Una propiedad de los l´ımites de funciones es la siguiente. Si limx→a f (x) = α y limx→a g(x) = β, entonces lim x→a (f (x))g(x)^ = αβ^ ,
excepto cuando α = 0 y β = 0, α = +∞ y β = 0, α = 1 y β = ∞.
Para resolver este tipo de indeterminaciones, en los dos primeros casos suele ser ´util tomar logaritmos y en el cuarto caso es de gran utilidad el siguiente resultado:
Si existe λ = limx→a g(x)(f (x) − 1), entonces limx→a(f (x))g(x)^ = eλ.
1.1.7 Problemas propuestos
Ejercicio 1.8 Probar la existencia o no de los siguientes l´ımites:
(a) lim x→ 2 e
1 x− 2
(b) lim x→ 1 cos
(x − 1)^2
(c) lim x→ 2
|x^2 + x − 6 | x − 2
1.2 Continuidad de funciones.
Se dice que una funci´on real de variable real f con dominio D, es continua en a ∈ D si, y s´olo si, para todo ≤ > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ D y |x − a| < δ entonces |f (x) − f (a)| < ≤.
Ejemplo 1.7 Comprobar que la funci´on f (x) =
x es continua en x 0 > 0. En efecto; basta considerar la siguiente igualdad:
√ x −
x 0 = (
x −
x 0 )
x +
x 0 √ x +
x 0
luego si x > 0 , tenemos
|
x −
x 0 | <
|x − x 0 | √ x 0
ahora la demostraci´on es simple, dado ≤ > 0 tomamos δ = min{x 0 ,
x 0 ≤}. Si |x − x 0 | < δ entonces |
x −
x 0 | < ≤.
1.2.1 Problemas propuestos
Ejercicio 1.9 Sea f la siguiente funci´on:
f : ]0, 1] ∪ { 2 } −→ R
x ↪→ f (x) =
{ (^) π (^2) sen( (^) x) x^ ∈^ Q x x /∈^ Q
Probar, utilizando la definici´on, que f es continua en x = 2.
Ejercicio 1.10 Estudiar la continuidad de la siguiente funci´on:
f : R −→ R x ↪→ f (x) =
2 − x^2 x ∈ Q x^2 − 2 x /∈ Q
Si en la definici´on de continuidad a ∈ D ∩ ac(D), entonces podemos afirmar que f es continua en a si, y s´olo si, limx→a f (x) = f (a). De este modo, las propiedades de las funciones continuas pueden deducirse de las propiedades de los l´ımites de las funciones. Como consecuencia del comentario anterior, del Ejemplo 1.2 y del Ejercicio 1.2 se obtiene que las funciones seno y coseno son continuas en cualquier punto.
Ejercicio 1.11 Probar que f (x) =
xsen(x) es continua para todo x > 0.
Ejercicio 1.12 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: (a) f : R −→ R
x ↪→ f (x) =
0 x = 0, 1+e 1 x 1 −e 1 x
x 6 = 0,
(b) f (x) = |x|e−|x−^1 |, (c) f : R −→ R
x ↪→ f (x) =
2 x = 0, x^2 sen( (^) x^1 ) senx x^6 = 0.
Ejercicio 1.13 Definir f (0) para que sean continuas en x = 0 las siguientes funciones:
(a) f (x) = senx x
(b) f^ (x) =
log(1 + x) − log(1 − x) x
(c) f (x) = xcotgx,
(d) f (x) = (1 + x)n^ − 1 x
Ejercicio 1.14 Estudiar la continuidad de la funci´on
f (x) =
e x^1 1+e 1 x
si x 6 = 0,
a si x = 0.
Ejercicio 1.15 Dada la funci´on
f : R −→ R
x ↪→ f (x) =
− 2 senx si x ≤ − π 2 , Asenx + B si − π 2 < x < π 2 , cosx si x ≥ π 2 ,
elegir A y B para que la funci´on sea continua en todos los puntos.
1.3 Teoremas de funciones continuas.
Uno de los resultados de funciones continuas que m´as se utiliza es el llamado teorema de Bolzano: “Sea f : [a, b] → R una funci´on continua, verificando que f (a)f (b) < 0 , entonces se cumple que existe c ∈]a, b[ con f (c) = 0.” El teorema de Bolzano nos permite verificar la existencia de soluciones de determinadas ecuaciones.
Ejemplo 1.8 Probar que el polinomio x^7 + x^4 + x^3 + x − 1 tiene una ra´ız real en [0, 1]. En efecto; llamamos f (x) := x^7 + x^4 + x^3 + x − 1 , evidentemente f es una funci´on continua en [0, 1] y adem´as f (0) = − 1 y f (1) = 3, por tanto f (0)f (1) < 0 , ahora aplicando el teorema de Bolzano se tiene el resultado.
Ejercicio 1.25 Simplificar las expresiones siguientes:
(a) sen(2arcsen x),
(b) tg(arcsen x),
(c) sen(arctg x).
Ejercicio 1.26 Determinar los intervalos de monoton´ıa de la funci´on f (x) = arcsen (^) 1+^2 xx 2
1.5 Continuidad uniforme
En la definici´on de funci´on continua en un punto, dado ≤ > 0 , ∃δ > 0 tal que si |x − a| < δ, ⇒ |f (x) − f (a)| < ≤, este δ no depende solo de ≤ si no tambi´en del punto a. Si fijado ≤, podemos tomar el mismo δ para todos los puntos la funci´on se dice uniformemente continua. Notemos que el concepto de continuidad uniforme es global y no local.
Definici´on 1.1 Sea f : D → R, f es uniformemente continua en D si ∀≤ > 0 , ∃δ > 0 tal que ∀x 1 , x 2 ∈ D con |x 1 − x 2 | < δ se verif ica |f (x 1 ) − f (x 2 )| < ≤.
Evidentemente si f es uniformemente continua en D, es continua en D, pero el rec´ıproco no es cierto.
Ejemplo 1.10 f (x) = (^1) x , D =]0, 1]. f es continua en D, pero vamos a ver que no es uni- formemente continua. Sea ≤ = 1, y su correspondiente δ. Podemos elegir x 1 = (^) n^1 , y x 2 = (^) n^1 +1. Como |x 1 − x 2 | = 1 n(n+1) , dado^ δ >^0 ,^ existe n^ ∈^ N^ tal que^
1 n(n+1) < δ^ y^ |f^ (x^1 )^ −^ f^ (x^2 )|^ = 1.
Teorema 1.2 Teorema de Heine-Cantor. Si f es continua en [a, b], es uniformemente con- tinua.
Ejemplo 1.11 f (x) = (^1) x es uniformemente continua en D = [1, 2].
1.5.1 Problemas propuestos
Ejercicio 1.27 Probar que la funci´on f (x) = (^) 1+xx 2 definida en toda la recta real es uniforme- mente continua.
Ejercicio 1.28 Demostrar, utilizando la definici´on, que la funci´on f (x) =
x definida en [0, 1] es uniformemente continua en dicho intervalo. Probar que tambi´en lo es en [0, +∞[.
Ejercicio 1.29 Demostrar que la funci´on f (x) = x^2 definida en R no es uniformemente con- tinua. ¿Y en [1, 2]?
Ejercicio 1.30 Sea f una funci´on real definida en un intervalo I. Demostrar que si esta funci´on es mon´otona, acotada y continua en I, es uniformemente continua en I.
