Material de integrales impropias, Diapositivas de Ingeniería de Sistemas

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Matemática paraingenieros IISesión 1: Integrales impropias

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Utilidad

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve integrales impropiaspara la solución de problemas relacionados al campo de la

ingeniería y otras disciplinas.

Contenido:  Integrales impropias de tipo I o de primera especie.  Integrales impropias de tipo II o de segunda especie.

Transformación

!^ Recordemos ¡^ Una integral definida es algo como esto:^ Donde los números reales “a” y “b” son los límites de integración. Nos interesa recordar que esosvalores son los extremos del “intervalo de integración” que se ubica en el eje “x”, en el cual lafunción integrando es continua. (No son infinitos o tampoco tiene asíntotas)^ También recordemos que las integrales definidas nos ayudan a calcular áreas de figuras planaso volúmenes de sólidos en el espacio.Datos/Observaciones

Datos/Observaciones

TIPOS DE INTEGRALES IMPROPIAS Existen tres tipos de integrales impropias, pero en esta oportunidad sólo estudiaremos los dosprimeros casos:^ A) De tipo I (De primera especie o con límites infinitos):^ Se presentan los siguientes casos:^ En este caso, si el límite existe ( es decir, su resultadoes un número real), entonces diremos que la integrales^ convergente.^ Caso contrario la integral impropia es

divergente.

En este caso, si el límite existe ( es decir, su resultadoes un número real), entonces diremos que la integral es^ convergente. Datos/Observaciones

Caso contrario la integral impropia es divergente. En^ este^

caso,^ la^

integral^

de^ la^ izquierda

es

convergente

, si las dos integrales de la derecha son convergentes.

Pero^ si

al^ menos

una^ de

ella^ es

divergente

, entonces toda la integral es

divergente.

^ Datos/Observaciones

0

¿La siguiente integral

x , es convergente o divergente?

I^ xe dx ^ ^  0

0 x^

x a^ a Por partes

I^ xe dx

Lim^

xe dx^ ; 

^ ^ 



x x

u = x^

dv = e dx

du = dx^

v = e  ^ ^



0

0

x^ x^

x^ x^

0 0

a^ a a

a^

a^

a

a

I^ Lim^

xe^ e dx

Lim^

xe^ e^

Lim^ 0e^

e^ ae^

e

^

^



^

^

^

^ 

^

^

^

^ ^

^ ^

^

^ 

^

^

^

^



Por lo tanto: La integral es convergente.

SOLUCIÓN:^ 

^ ^

a^ a^ 

a^ a

a^

a

I^ Lim^

0 1 ae

e^

Lim^ -^

ae + e

^



^

^ 

^

^ ^

^ ^

^

^ ^

a   a^

a

I^ Lim -

Lim ae  

^

^

aLim e   a 

I^ 1- 0 +0^   I = -

¿La siguiente integral  Datos/Observaciones

5 , es convergente o divergente?^2

I^

 dx1+ x 

^ 

^ ^

^  0

0 2

2

2

I^

dx^

dx^

dx

1+ x^

1+ x^

1+ x

^



^



^

^

^

^



^ 

^ ^

^ 

0

0

0

2

2

a

a^

a a

dx^ 5 Lim

dx^ 5 Lim

ArcTan x

1+ x^

1+ x

^

^



^ 

^

^ ^

^

^

 Entonces esta integral

α^ es convergente.

SOLUCIÓN:^ ^ ^

^ ^

^ ^

^  

a^

a

5 Lim^ ArcTan 0 - ArcTan a

5 0 - Lim

ArcTan a

^ 

^ 

^

^

^

^ ^

^ ^

^ ^

5 -ArcTan

-^2

^ ^2

^

^ ^ 

^

^ ^

^

^ ^

^

^ ^

Datos/Observaciones

Docente:

Analiza la convergencia o divergencia de la siguiente integral 

3. e

I^

 dx   x

^ ^

^ ^   ^  ^  ^

  ^   ^ ^

b b b 1  b^

b b b^

b e^

e e

I^

dx^ 3 Lim

dx

x^

x

I^ 3 Lim ln x

3 Lim ln b

ln e

I^ 3 Lim ln bI^3 Lim ln b

Lim 1

I^ 3 ln^

I^3

 I

 ^

  ^



^

^

^

^ ^

^

^ ^

^

^

^

^

^

^  ^

^

^  ^

^ 

^  



Por^ lo^ tanto,

la^ integral

es^ divergente.

SOLUCIÓN:

B) De tipo II (De segunda especie o con dicontinuidadades infinitas)^ Es el segundo tipo básico de integral impropia el cual existe una discontinuidad infinita “Datos/Observaciones

en ” o

“ entre ”^ los límites de integración. Se presentan los siguientes casos:En ambos caso, si el límite existe (es decir, su resultado es un número real), entonces diremosque la integral es

convergente.

Caso contrario la integral impropia es

divergente.

Transformación

Evalúa la integral  Datos/Observaciones

31 , e indica si es convergente o divergente.^50

I^

dx   x   (^350)

l x^0 I^

Asínx tota 1 d^ ;^

rt x^

ve^ ica ^



Por lo tanto: La integral es divergente.

EJERCICIOS EXPLICATIVOS SOLUCIÓN:^0

(^31) I Lim dx ^5 + (^) t  xt

Práctica

I^4

^   ^ ^0 ^ 

3 -5Lim x^ dx  + (^0) t  (^) t

(^3) -4   xLim (^)    + (^0) t  -4   t (^31 1)   I Lim   (^4)   + (^0) t 4  x   t 1 1 1 ^ Lim^4 4 +^0 t 4 ^3 t

 ^

0

(^40) +^

+ t^

t 1 1

I^ Lim

Lim 4 81

t ^

 ^

^ ^

^ 

 ^

  ^ 

^

^ ^

^ 

^

^

^  1 1 1 ^ ^4 +^4 81 0 ^   ^ ^

^

1 1^ ^    ^  4 81 ^ 

^ (^1)      4

^ Datos/Observaciones

(^10)

¿La siguiente integral

x - 1 , es convergente o divergente?

I^

dxx

^  



(^10) x - 1^ x^0 Asín

tot I^

dx ;^

a vert x^

ical

^

SOLUCIÓN:^ Por lo tanto: La integral es convergente.

^ 1 12 2  1 12 2 1

1

1

0

0

0

t^

t^

t

t^

t^

t

x - 1^

x^1 I^ Lim^

dx^ Lim^

dx^ Lim^

x^ x^

dx

x^

x^ x



^

^



^

^

 ^

^

^

^ 

^

^

^

^

     1 0

0

3 1

3 1

2 2

2 2

- - t^

t t 2

I^ Lim^

x^ - 2x^

Lim^ - 2^

t^ - 2 t

3

^

 ^

^ 

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^ ^ ^ 3 1 -^2 2  4 2 +^ +

I =^ -^ -^

=^

-^ - 0^ = -

^

^

^ ^

^

^

^ ^

^

^

^ ^

^

^ ^

^

Práctica