probabilidad, Apuntes de Estadística

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Apuntes de la asignatura

ESTAD´ISTICA

Titulaci´on: Ingenier´ıa de Telecomunicaciones Centro: Escuela Polit´ecnica Superior Departamento: Matem´aticas Autor: Angel Blasco

Tema 1

PROBABILIDAD

1.1. Experimentos aleatorios y sucesos

Un experimento aleatorio es aquel en el que no somos capaces de predecir con seguridad el resultado. A cada uno de los posibles resulta- dos de tal experimento se le denomina suceso elemental. El conjunto de todos los sucesos elementales asociados a un experimento es el es- pacio muestral, que denotaremos por Ω.

Ejemplo 1.1. En el experimento aleatorio de tirar un dado el espa- cio muestral ser´ıa Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Cualquier suceso referente al resultado del experimento se obtiene mediante acumulaci´on de sucesos elementales. Por ejemplo el suceso

A ≡ {que salga un n´umero par} = { 2 , 4 , 6 }

El conjunto de todos los sucesos, elementales y no elementales, aso- ciado a un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos. Nosotros lo denotaremos por A. Obs´ervese que, seg´un lo dicho, todo suceso debe ser siempre un subconjunto de Ω y por tanto ocurrir´a A ⊆ P(Ω). De hecho, nosotros trabajaremos siempre con A = P(Ω).

Seg´un lo dicho, todo suceso es un conjunto y por tanto podemos aplicar sobre ellos todas las operaciones que conocemos de la teor´ıa de

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Von Mises observ´o que si repet´ıa un experimento muchas veces, siempre en las mismas condiciones, las frecuencias relativas de los distintos sucesos tend´ıan a estabilizarse en unos valores concre- tos. Estableci´o como premisa que esto era as´ı siempre y defini´o la probabilidad de un suceso como el l´ımite de su frecuencia relativa cuando el n´umero de repeticiones del experimento tend´ıa a infinito, es decir: P (A) = l´ım n→∞ f (^) An

c) Definici´on de Laplace. Esta definici´on proporciona una regla de c´alculo que puede resultar muy ´util en determinadas ocasiones. Dado un experimento aleatorio y un suceso A, Laplace denominaba casos posibles a todos los sucesos elementales del experimento y casos favorables a aquellos que estaban incluidos en A. A partir de aqu´ı, defin´ıa la probabilidad de A como:

P (A) = n´umero de casos favorables n´umero de casos posibles Esta definici´on encierra tambi´en un problema y es que parte de la premisa de que todos los sucesos elementales (casos posibles) son equiprobables, en caso contrario la f´ormula pierde su validez.

d) Definici´on axiom´atica (Kolmogorov). Si bien todas las definiciones anteriores eran interesantes, esta es la definici´on b´asica sobre la que se construye todo el edificio te´orico que vamos a ir descubriendo a lo largo del curso: Una probabilidad es una funci´on P : A → R que verifica los siguientes axiomas:

1. P (A) ≥ 0
2. Si dos sucesos A y B son incompatibles (esto quiere decir que tienen intersecci´on vac´ıa), entonces: P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

3) P (Ω) = 1

Nota 1. Si Ω es infinito tendremos que sustituir el axioma 2 por: 2’) Si {A 1 , ..., Ai, ...} es una colecci´on de sucesos incompatibles dos a dos (es decir, tales que Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6 = j), entonces:

P

i=

Ai

∑^ ∞

i=

P (Ai)

Como consecuencias de los axiomas anteriores se obtienen las sigu- ientes propiedades de la probabilidad que el alumno sabr´a demostrar sin grandes problemas:

P (∅) = 0

P (Ac) = 1 − P (A)

A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B) P (A) ≤ 1

P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B)

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

1.3. Probabilidad condicionada

Cualquier informaci´on extra que tengamos sobre un experimento puede modificar nuestro “grado de certeza” sobre la ocurrencia de los distintos sucesos posibles.

Ejemplo 1.2. Un amigo tira un dado pero no nos deja ver lo que ha salido. Para nosotros la probabilidad de que haya salido un n´umero may- or que 3 ser´ıa 1/2 (3 casos favorables de 6 posibles). Si ahora nuestro

Se dice que dos sucesos A, B ∈ P(Ω) son independientes si se cumple:

P (A ∩ B) = P (A)P (B)

Esta condici´on es equivalente a P (A|B) = P (A) o P (B|A) = P (B).

Ejemplo 1.5. Supongamos que se escogen al azar dos n´umeros x, y entre 0 y 1 de modo que, para cada subconjunto W ⊆ [0, 1] × [0, 1], es P ((x, y) ∈ W ) = ´area(W ). Consideremos los sucesos:

A = {x > 0 , 5 } B = {y > 0 , 5 } C = {x > y}

¿Son A y B independientes? ¿Lo son A y C? ¿Qu´e relaci´on hay entre independencia e incompatibilidad?

Nota 2. Se dice que tres sucesos A, B y C son independientes si lo son dos a dos y adem´as:

P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)

Los dos siguientes teoremas nos resultar´an muy ´utiles en el manejo de expresiones que contengan probabilidades:

Teorema de la probabilidad total.

Sea {A 1 , ..., An} una partici´on de Ω y sea B ∈ P(Ω). Entonces:

P (B) = P (A 1 )P (B/A 1 ) + · · · + P (An)P (B/An)

Teorema de Bayes.

Sean A, B ∈ P(Ω) ambos con probabilidad positiva. Entonces:

P (A/B) =

P (A)P (B/A)

P (B)

Ejemplo 1.6. Consid´erese el siguiente juego para el que se necesitan un dado y una baraja espa˜nola: primero se tira el dado y despu´es se saca una carta al azar de la baraja, si sale un 6 en el dado, se gana sacando un oro, si por el contrario sale un n´umero distinto de 6, se gana sacando una figura (sota, caballo o rey) de oros. ¿Qu´e probabilidad hay de ganar? Sup´on que te dicen que un amigo ha jugado y perdido, ¿cu´al es la probabilidad de que haya sacado el 6 en el dado?

1.4. F´ormulas de combinatoria

Para contar casos al aplicar la regla de Laplace nos ser´a ´util recordar las siguientes f´ormulas de combinatoria:

Variaciones de n elementos tomados de m en m: se cuentan las distintas formas en que se pueden extraer m elementos de entre n posibles. Se tiene en cuenta tanto los elementos extraidos como el orden en que salen. La f´ormula es:

Vn,m =

n! (n − m)! Ejemplo 1.7. En una carrera con 8 personas ¿cu´antos podios dis- tintos se pueden formar? Obs´ervese que, si nombramos a los 8 par- ticipantes con letras de la A a la H, los podios (A, B, C) y (B, A, C) no son equivalentes pues el primer participante de la terna es el que se lleva el oro y el segundo la plata. El n´umero de podios posible ser´a: V 8 , 3 =

Permutaciones de n elementos: se cuentan las distintas formas en que se pueden ordenar n elementos distintos. La f´ormula es:

Pn = n!

distintos, cada uno de ellos repetido varias veces. En concreto el elemento i aparece ni veces, con lo que el conjunto total tiene n = n 1 + · · · + nk elementos. Se cuentan las distintas formas en que se pueden ordenar estos n elementos, teniendo en cuenta que si se intercambia la posici´on de dos elementos iguales la ordenaci´on es la misma. La f´ormula es:

Pn;n 1 ,...,nk =

n! n 1! · · · nk! Ejemplo 1.11. ¿Cu´antas palabras (tengan sentido o no) se pueden formar con las letras {a, a, a, b, b, c, c, c}? Ser´an

P8;3, 2 , 3 =

palabras.

Combinaciones con repetici´on de n elementos tomados de m en m: se cuentan las distintas formas en que se pueden extraer m elementos de entre n posibles. No se tiene en cuenta el orden en que salen y cada uno puede usarse tantas veces como se quiera. La f´ormula es: CRn,m =

n + m − 1 m

Ejemplo 1.12. En una helader´ıa tienen helados de 4 sabores dis- tintos. Queremos comprar cinco helados, cada uno de un s´olo sa- bor. ¿Cu´antas combinaciones de sabores podemos hacer? Ser´an

CR 4 , 5 =

La demostraci´on de las cinco primeras f´ormulas es sencilla y se de- ja como ejercicio para el alumno. En cuanto a la ´ultima, pensemos por ejemplo en el caso de combinaciones con repetici´on de 5 elementos

tomados de 3 en 3 (la generalizaci´on a cualquier otro caso es directa). Se obtienen los siguientes elementos: a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a 1 a 3 ... a 1 a 2 a 2 a 1 a 2 a 3 ... a 5 a 5 a 5 Hemos indexado estas combinaciones de modo que la secuencia de ´ındices sea no decreciente, ahora vamos a cambiar la nomenclatura del siguiente modo: a cada ´ındice se le suma un n´umero que representa la posici´on de dicho ´ındice menos 1, es decir, aiaj ak → ci+0cj+1ck+2. De este modo tendremos:

a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 a 1 a 3 ... a 1 a 2 a 2 a 1 a 2 a 3 ... a 5 a 5 a 5

c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 c 4 c 1 c 2 c 5 ... c 1 c 3 c 4 c 1 c 3 c 5 ... c 5 c 6 c 7 Con la nueva nomenclatura han aparecido 2 ´ındices nuevos (en gen- eral ser´an m − 1). Adem´as ahora la secuencia de ´ındices de cada com- binaci´on es creciente por lo que no puede haber ´ındices repetidos, es decir, hemos establecido una correspondencia entre las combinaciones con repetici´on de 5 elementos tomados de 3 en 3 y las combinaciones sin repetici´on de 7 elementos tomados de 3 en 3. Claramente esta cor- respondencia es biun´ıvoca lo que implica que el n´umero de elementos en ambos conjuntos es el mismo.