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- Leyes de probabilidad: Probabilidad. Probabilidad ondi-
ionada. Su esos indep endientes. Teorema de Bayes
1.1. Exp erien ias aleatorias
Fenómenos o exp erien ias deterministas:
- el resultado es totalmente previsible
- realizado en las mismas ondi iones sólo hay un resultado p osible
- ej.: lanzar una moneda on dos aras
Fenómenos o exp erien ias aleatorias:
- su resultado dep ende del azar (es ne esaria su interven ión para ono er el resultado)
- pueden ser rep etidos en las mismas ondi iones
- es p osible determinar el onjunto de to dos los resultados p osibles: espa io muestral
- ej.: lanzar un dado on seis aras distintas
1.2. Álgebra de su esos
Consideremos E una exp erien ia aleatoria, de nimos el espa io muestral omo el onjunto de to dos los resultados p osibles.
Ω = {ω/ω es un resultado p osible}
Ej.:
Espa ios muestrales dis retos:
- Tirar un dado: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
- Tirar una moneda una vez: Ω = {C, R}
- Tirar una moneda dos ve es: Ω = {C, R} × {C, R} = {CC, CR, RC, RR}
Espa ios muestrales ontinuos:
- Ángulo de una aguja on el eje p ositivo de ab isas: Ω = [0, 2 π)
- Mó dulo de la velo idad de un móvil: Ω = [0, ∞)
De nimos su eso, S, omo ualquier ir unstan ia que una vez realizada la exp erien ia p o demos de ir si ha tenido lugar o no. A to do su eso se le puede aso iar un sub onjunto del espa io muestral. De imos que un su eso se veri a si el resultado ω de la exp erien ia es tal que ω ∈ S Su eso omplementario o ontrario a S: Denominado su eso omplementario, S¯ o Sc, de un su eso S a aquel que se veri a uando no se veri a S. Su eso imposible: Un su eso se denomina imp osible uando no se veri a nun a, SI = Ø Su eso seguro: Un su eso es seguro uando se veri a siempre.
Unión de su esos: De nimos la unión de n su esos Si, i = 1,... n, y denotamos p or ∪ni=1Si, omo el su eso que se veri a si y sólo si se ha realizado al menos un Si Interse ión de su esos: De nimos la interse ión de n su esos Si, i = 1,... n, y denotamos p or ∩ni=1Si, omo el su eso que se veri a si y sólo si se ha realizado to dos los Si Si se umple que ∩ni=1Si = Ø de imos que los su esos Si son in ompatibles. Si se umple que S 1 ⊂ S 2 , tendremos que si se veri a S 1 también se veri a S 2 Ej.: Exp erien ia de lanzar tres monedas al aire:
Espa io muestral: Ω = {CCC, CCR, CRC, RCC, CRR, RCR, RRC, RRR}
Su esos:S 1 = {que salga una sola ara} = {CRR, RCR, RRC} ⊂ Ω; S 2 = {que salga una ara o ninguna} = {CRR, RCR, RRC, RRR}; S 3 = {que to dos los resultados sean iguales} = {CCC, RRR}
Su eso omplementario a S 1 : S¯ 1 = {CCC, CCR, CRC, RCC, RRR}
Su eso imp osible, p or ejemplo, SI = {que salgan uatro aras} = Ø
Su eso seguro, p or ejemplo, SS = {que salga, al menos, una ara o una ruz } = Ω
S 2 ∪ S 3 = {CRR, RCR, RRC, RRR, CCC}
S 1 ∩ S 3 = Ø p or lo tanto S 1 y S 3 on in ompatibles; S 2 ∩ S 3 = {RRR}
S 1 ⊂ S 2
1.3. Con epto de probabilidad
1.3.1. De ni ión
La probabilidad p ermite medir la erteza o in ertidumbre de un su eso de una exp erien ia aleatoria. En la prá ti a toma valores entre 0 y 1, asignándose el valor 0 a un su eso imp osible y el valor 1 a un su eso seguro. Matemáti amente la probabilidad es una fun ión que ha e orresp onder a ada su eso S un número real que umple que
- 0 ≤ p(S) ≤ 1 , ∀S
- p(Ω) = 1
- Si S 1 y S 2 son dos su esos in ompatibles (esto es, S 1 ∩S 2 = Ø), enton es p(S 1 ∪S 2 ) = p(S 1 )+p(S 2 )
Ej.: Exp erimento E: lanzar un dado equilibrado Espa io muestral Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Su esos: S 1 = {que salga par} = { 2 , 4 , 6 }; S 2 = { 6 }; S¯ 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }; S 3 = { 2 } Probabilidades: p(S 2 ) =
1 6
; p(S 3 ) =
1 6
; p(S 1 ) =
1 2
; p(S 2 ∪ S 3 ) =
1 6
1 6
=
1 3
ya que S 2 ∩ S 3 = Ø;
p( S¯ 2 ) = 1 −
1 6
=
5 6
ya que p(Ω) = 1 y S 2 ∩ S¯ 2 = Ø y S 2 ∪ S¯ 2 = Ω; p(Ø) = 0
A
A U B B
Ω
Figura 2: Esquema para el ál ulo de la probabilidad ondi ionada
1.4. Probabilidad ondi ionada
La probabilidad ondi ionada p ermite ono er la probabilidad de un su eso A en el aso de que se haya umplido otro su eso B, y se es rib e omo p(A|B). Di ha probabilidad ondi ionada se al ula omo p(A|B) =
p(A ∩ B) p(B) Ej.: Consideremos el exp erimento de lanzar un dado equilibrado y onsideremos los su esos A = {que salga par} = { 2 , 4 , 6 } y B = {que salga primo} = { 1 , 2 , 3 , 5 }, p or lo tanto, A ∩ B = { 2 } Cal ularemos ahora la probabilidad de que salga par, sabiendo que ha sido primo, esto es p(A|B). Di ha probabilidad p o demos al ularla, p or un lado omo p(A|B) =
asos favorables
asos p osibles
=
1 4
, ya
que el número de asos p osibles ahora es 4 , puesto que se veri a B
Por otro lado, p o díamos hab er al ulado di ha probabilidad omo p(A|B) =
p(A ∩ B) p(B)
=
(^1) / 6 (^4) / 6 =
1 4
obteniéndose, omo era de esp erar, el mismo resultado.
1.5. Teorema de Bayes
Vamos a onsiderar ahora n su esos in ompatibles dos a 2, B 1 , B 2 ,... , Bn, p or lo tanto tendremos que Bi ∩ Bj = Ø ∀i 6 = j, y onsideremos otro su eso A, uya realiza ión impli a la realiza ión de algunos de los su esos Bi, esto es, A ⊂ B = B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ Bn. En este aso, tenemos que
p(A) = p(A ∩ B 1 ) + p(A ∩ B 2 ) + · · · + p(A ∩ Bn) =
∑^ n
i=
p(A ∩ Bi) =
∑^ n
i=
p(A|Bi)p(Bi)
ya que p(A|Bi) =
p(A ∩ Bi) p(Bi)
B 1 B 2 ...
Ω
A
Bn
Figura 3: Esquema de su esos para la apli a ión de teorema de Bayes
Teorema de Bayes: Según los supuestos anteriores, esto es, onsiderando n su esos in ompatibles dos a dos, B 1 , B 2 ,... , Bn, on Bi ∩ Bj = Ø ∀i 6 = j, y un su eso A tal que A ⊂ B = B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ Bn, se tiene que
p(Bj |A) =
p(Bj ∩ A) ∑^ n
i=
p(A|Bi)p(Bi)
=
p(Bj ∩ A) p(A)
1.6. Su esos dep endientes e indep endentes
Dos su esos A y B son independientes uando la probabilidad de que uno o urra no dep ende de que el otro haya o urrido o no, esto es, p(A) = p(A|B) y p(B) = p(B|A).
Por lo tanto, omo p(A|B) =
p(A ∩ B) p(B)
, si A y B son indep endientes tendremos que
p(A ∩ B) = p(A)p(B)
Ej.: Tenemos 4 b olas blan as y 6 b olas negras en una urna. Se extraen dos b olas su esivamente, al ular la probabilidad de que ambas sean blan as: Sea S 1 = {primera b ola blan a} y S 2 = {segunda b ola blan a} (a) Sup oniendo que hay reemplazamiento después de la primera extra ión, tendremos que p(S 1 ) = 4 10
=
2 5
y p(S 2 ) =
4 10
=
2 5
, ya que S 1 y S 2 son su esos indep endientes (al hab er reemplazamiento).
Por lo tanto, p(S 1 ∩ S 2 ) = p(S 1 )p(S 2 ) =
4 25
= 0, 16 (b) Sup oniendo que no hay reemplazamiento después de la segunda extra ión, tendremos que los su esos S 1 y S 2 no son indep endientes, así que p(S 1 ∩ S 2 ) = p(S 1 )p(S 2 |S 1 ) y omo tenemos que
p(S 1 ) =
4 10
=
2 5
y p(S 2 |S 1 ) =
asos favorables
asos p osibles
=
3 9
=
1 3
. Por lo tanto p(S 1 ∩ S 2 ) =
2 5
·
1 3
=
2 15
=
0 , 13
p(R 1 ∩ B 2 ) = p(R 1 )p(B 2 ) = p(R 1 ∩ B 3 ) = p(R 1 )p(B 3 )=
1 2
·
1 3
=
1 6 Sin embargo, B 2 y B 3 no son indep endientes de R 2 y R 3 y p or eso p(R 2 ∩ B 3 ) 6 = p(R 2 )p(B 3 ) y p(R 3 ∩ B 2 ) 6 = p(R 3 )p(B 2 )
