Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: mate, Profesor: , Carrera: Administració i Direcció d'Empreses, Universidad: UV
Tipo: Apuntes
1 / 23
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Nocions bàsiques d’àlgebra - matrius
Matemàtiques I
Departament de Matemàtiques per a l’Economia i l’Empresa
Curs 2015/
Matemàtiques I Universitat de València
1 Matrius i vectors
2 Operacions
3 Determinant
4 Rang
5 Independència lineal
6 Matriu adjunta
7 Matriu inversa
Matemàtiques I Universitat de València
Només es poden sumar (o restar) matrius i vectors amb la
mateixa dimensió:
( 1 2 1
2 0 − 1
Matemàtiques I Universitat de València
α ∈ R, A matriu m × n.
Per a multiplicar (o dividir) una matriu per un escalar hem
de multiplicar (o dividir) tots els seus elements per eixe
escalar:
α · A = A · α.
Matemàtiques I Universitat de València
Dos matrius només poden multiplicar-se si el nombre de
columnes de la primera és igual al nombre de files de la
segona.
Per exemple: A =
(^) i B =
sí
poden multiplicar-se A · B.
El resultat de multiplicar una matriu m × n per una altra
r × s és una matriu de dimensió m × s.
Encara que puguem calcular A · B, pot ser que B · A no es
puga fer. I en cas de que sí es puga fer (en el exemple
anterior sí es pot), en general A · B 6 = B · A.
Matemàtiques I Universitat de València
Per a multiplicar dos matrius hem de multiplicar cada fila
de la primera matriu per la corresponent columna de la
segona.
Matemàtiques I Universitat de València
Una matriu quadrada A de dimensió n × n té associat un
valor únic que es coneix com determinant |A|.
El determinant de una matriu 2 × 2, A =
a b
c d
, es
calcula com |A| = a · d − c · b:
Matemàtiques I Universitat de València
El determinant de una matriu 3 × 3, A =
a b c
d e f
g h i
, es
calcula com
|A| = a · e · i + c · d · h + b · f · g − g · e · c − d · b · i − a · f · h:
Matemàtiques I Universitat de València
Elegim la columna 3.
1 + 3 · (− 1 ) ·
3 + 3 · 2 ·
Matemàtiques I Universitat de València
Una matriu m × n pot tindre com a rang màxim el mínim
dels valors m i n.
El rang d’una matriu es calcula com la dimensió de la seua
submatriu quadrada més gran amb determinant no nul.
Per exemple, la matriu A =
(^) té, al menys, una
submatriu 2 × 2 amb determinant no nul,
∣ ∣ ∣ ∣
, per tant té rang 2.
Matemàtiques I Universitat de València
Un conjunt de vectors es diu linealment independent si cap
d’ells es pot expressar com una combinació lineal dels
altres.
En cas contrari, es diu que el conjunt és linealment
dependent.
Per a comprovar si un conjunt de vectors és linealment
independent, els escrivim en forma de matriu i calculem el
seu rang.
Si la matriu té rang màxim, els vectors són linealment
independents.
Matemàtiques I Universitat de València
Exemple: {( 2 , 1 , 0 ), ( 1 , 0 , 1 )}
La matriu A =
té rang 2, que és màxim, ja
que totes les submatrius de dimensió 2 tenen determinant
no nul:
Per tant, els vectors són linealment independents.
Matemàtiques I Universitat de València
Siga A una matriu quadrada de dimensión n × n.
Donat un element aij de A, siga αij el determinant de la
matriu resultant de eliminar la fila i i la columna j de A.
Es coneix com adjunt Aij al producte (− 1 )
i+j αij.
Exemple:
L’adjunt de l’element a 31 és:
3 + 1
4 4 = 4
Matemàtiques I Universitat de València
Donada una matriu quadrada A, s’anomena matriu adjunta
de A adj A a la matriu que conté els adjunts de A, és a dir,
(adj A)ij = Aij.
Exemple:
adj A =
Matemàtiques I Universitat de València
