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Asignatura: asasd, Profesor: Javier Alfonso Gil, Carrera: Economía, Universidad: UAM
Tipo: Apuntes
1 / 18
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1
Modelos de distribución…….de una VA discreta^ Definición de función de distribución (discreta)^ Sea
una V.A. discreta cuya distribución de probabilidad es P(
). Se define la función de
distribución de
, que notaremos por F(
x
), como la probabilidad de que
tome valores
x
௫
ஸ௫
௫
ஸ௫
y representa la suma de las probabilidades puntuales hasta el valor de x inclusive de la V.A. X. Para el ejemplo anterior:X=xi
P(X=xi)
P(X
≤
x) = F(x)
0
1/
F(0)=P(X
≤
0) = 1/
1
1/
F(1)=P(X
≤
1) = 1/2 +1/4= 3/
2
1/
F(2)=P(X
≤
2) = 1/4+3/4 = 1
i
ݔ ܨ
ൌ ൞
1
4 ൗ
0 ݔ ݅ݏ
3
4 ൗ
1 ݔ ݅ݏ
1
2 ݔ ݅ݏ
Principales propiedades de la función dedistribución 1.- 0
F(x)
2.- Es una función no decreciente: si x
i^
< x
j^
F (x
)i
F(x
)j
5
Modelos de distribución…….de una VA continua^ En este caso no podemos asignar probabilidad a cada uno de los infinitosvalores
i
i
ାஶି ஶ
Modelos de distribución…….de una VA continuaFunción de distribución:
௫ି ஶ
Modelos de distribución…….de una VA continua¿Para que sirve la Función de distribución?^ Contrastar lo anómalo de una observación concreta.
Relaciónalo con la idea de cuantil.En otro contexto (contrastes de hipótesis) podremos observar unosresultados experimentales y contrastar lo “anómalos” que son enconjunto con respecto a una hipótesis determinada.
Momentos de las Distr. de Probabilidad^ Ejemplo1.- Lanzamos un dado2.- Si sale 1 gano 10€3.- Si sale 2, 3, 4 o 5 pierdo 3€4.- Si sale 6 gano 2€¿Es este juego justo o equitativo? Esto es, si se juega un númeroelevado de veces, ¿puede un jugador ganar más que otro?¿se ganamás veces o se pierde más? Para comprobarlo podemos repetir eljuego un número elevado de veces y contabilizar los resultados, obien, caracterizar este experimento aleatorio a través de una V.A.:X : V.A. que indica la cantidad que se gana o pierde en cada jugada
i
i
Momentos de las Distr. de ProbabilidadPropiedades^ Tiene las mismas propiedades que la media aritmética que vimos en descriptiva^ 1.
1
2
n
1
2
n
1
2
n
1
2
n
ij
i
j
1
2
13
VA Bidimensionales^ Si el resultado del experimento lleva asociadas dos características, o dos observacionessimultáneas, estamos ante una VA bidimensional (X,Y). Las componentes de esta VA sonVA unidimensionales. La VA bidimensional tiene una distribución de probabilidad quedenominaremos conjunta.^ Distribución de Probabilidad BidimensionalVA Discretas^ Sea X una VA discreta, que toma un número finito de valores x
1
2
r
1
2
s
i
j
i
j
ij
i
j
Función de cuantía bidimensional La distribución de probabilidad bidimensional oconjunta es una función P(x
,yi
) que asigna lasj
probabilidades a los diferentes valores conjuntosde la VA (X,Y) de tal manera que se verifique: 1.- 0
≤
P(x
,yi
)j
≤
1
i=1,2,…,r ; j=1,2,…,s
La probabilidad de cualquier suceso será menoro igual a 1 y mayor o igual a cero.2.-
∑
ܲ∑
ݔሺ
ݕ ;
௦ୀଵ
ሻ
ୀଵ
ൌ 1
Función de distribución bidimensional Dada la V.A. (X,Y) discreta, y con P
ij
=P(x
;yi
),j
definimos la función de distribución conjunta, quenotaremos como F(x,y):
ݕ ,ݔ ܨ
ܺܲൌ
ݕ ܻ;ݔ
ൌ ܲ
ݔ
ݕ ;
ൌ
ܺܲ
ݔ ൌ
ݕ ൌ ܻ;
௬ ௬
ೕ
ஸ௬
௫ ௫
ୀ௫
భ
௬
ೕ ஸ௬
௫
ஸ௫
Y representa la suma de las probabilidadespuntuales hasta (x,y) inclusive.
VA BidimensionalesVA Continuas Función de densidad bidimensional Sea (X,Y) una VA bidimensional del tipocontinuo, si existe una función f(x,y), tal queverifica:1.- f(x,y)
≥
0;
∞
<x<+
∞
; -
∞
<y<+
∞
2.-
݂
1 ൌ ݕ ݀ ݔ ݀ݕ ,ݔ
ାஶିஶ
ାஶିஶ
Diremos que f(x,y) es la función de densidad dela VA continua (X,Y)
Función de distribución bidimensional Sea (X,Y) una VA continua, cuya función dedensidad es f(x,y). Se define la función dedistribución bidimensional F(x,y) como:
ݕ ,ݔ ܨ
ܺܲൌ
ݕ ܻ;ݔ
ൌ න
݂න
ݕ݀ݔ ݀ݕ ,ݔ
௬ି ஶ
௫ି ஶ
Principales propiedades de la función de distribución continua 1.- F(-
∞
;-
∞
) = F(-
∞
;y) = F(x;-
∞
) = 0
2.- F(+
∞
;+
∞
) = 1
3.- Es una función monótona creciente respecto a X e Y:
Si x
1
<x
2
→
F(x
1
;y)
≤
F(x
2
;y)
Si y
1
<y
2
→
F(x;y
1
)
≤
F(x;y
2
)
4.-
డ
మ
ிሺ௫,௬ሻడ௫డ௬
ሻݕ ,ݔሺ ݂ൌ
VA BidimensionalesDistribuciones condicionadas^ Ahora estaremos interesados en estudiar cómo se distribuye una de las variables de una VAbidimensional cuando se imponen condiciones sobre la otra.
/yi
) = P(X=xj
i^
/ Y=y
)= P(X=xj
i
;Y=y
)/ P(Y=yj
j
ij
·j
si P
·j
P(y
/xj
i ) = P(Y=y
j
/ X=x
)= P(X=xi
i ;Y=y
)/ P(X=xj
)=Pi
ij
i·
si P
i·
Funciones de distribución condicionadas ܨ
ൗ
௫
^ ܲஸ௫
ܲ
ൗ
௬
ೕ
ܲஸ௬
ܲ
ଶ
ଶ
ଵ
ଵ
Funciones de distribución condicionadas ܨ
௫ି ݂ஶ
ଶ
௫ି ஶ
௬ି ݂ஶ
ଵ
௬ି ஶ
Independencia de VA^ Diremos que las V.A
1
2
i
j
i.
j
i
.j
1
2
