[Baccalauréat La Réunion septembre 1995 \
EXER CIC E 1 4 points
Enseignement de spécialité
Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral ABC tel que ³−−→
AB ,
−−→
AC ´=
π
3.
On désigne par rA,rBet rCles rotations de centre A, B et C et d’angle π
3.
Et par D et E les points tels que : rB(A) = D et rC(D) = E.
1. Démontrer que rC◦rB◦rAest la symétrie centrale de centre B.
Préciser alors la position du point E.
2. On admet qu’il existeune seule similitude plane directe de rapport 1
2et d’angle
−2π
3qui transforme A en B.
On nomme Scette similitude.
Calculer le rapport BD
AE ainsi qu’une mesure de l’angle ³−→
AE ,
−−→
BD ´.
En déduire que S(E) = D.
3. Soit Ωle centre de la similitude S.
Montrer que Ωappartient aux cercles circonscrits aux triangles ABC et DBE.
Construire Ω.
4. a. Démontrer que Stransforme la droite (AC) en (CB).
b. Démontrer que l’image par Sdu cercle circonscrit au triangle ACE est le
cercle de diamètre [BD].
En déduire que l’image de C par la similitude Sest le point I, milieu du
segment [DE].