Álgebra - Linear - I, Notas de estudo de Matemática

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2ª Edição Florianópolis, 2011

Álgebra Linear I

Sonia Elena Palomino Castro Bean

Daniel Noberto Kozakevich

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED

Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação : Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Kallani Maciel Bonelli, Karina Silveira Ilustrações: Gabriela Dal Toé Fortuna, Kallani Maciel Bonelli Capa: Rafael Naravan Kienen Design Instrucional Coordenação: Elizandro Maurício Brick Design Instrucional: Maria Carolina Machado Magnus Revisão Gramatical: Daniela Piantola, Raquel Coelho, Tony Roberson De M. Rodrigues

Copyright © 2011, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSC Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica

K88a Kozakevich, Daniel Álgebra Linear I / Daniel Norberto Kozakevich, Sonia Elena Palomino Castro Bean. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/ CFM, 2011_._ 250 p. : il. ; grafs. , tabs. Inclui bibliografia UFSC. Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância ISBN 978-85-8030-023-

1. Álgebra linear. I. Bean, Sonia Elena P. Castro. II. Título. CDU 512.

Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da UFSC

Sumário

Apresentação

A Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das trans- formações lineares definidas entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações lineares podem ser repre- sentadas por matrizes. Também com matrizes podem ser repre- sentadas as formas bilineares e, mais particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transfor- mações lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas. São numerosas e bastante variadas as situações, em Matemática e em suas aplicações, onde esses objetos se apresentam. Daí a im- portância central da Álgebra Linear no ensino da Matemática.

Neste livro se introduzem os conceitos da Álgebra Linear, desde os mais simples, que são as matrizes, até os mais abstratos, quan- do se trata do estudo de espaços vetoriais. Todos esses conceitos são apresentados, dentro do possível, de uma forma acessível, aju- dando a compreensão com muitos exemplos, exercícios resolvidos e propostos. Também, com o objetivo de facilitar a compreensão do conteúdo, colocamos alguns tópicos com detalhes e justifica- ções que usualmente não são expostos nos livros tradicionais.

Este texto pretende fornecer conceitos suficientes para que os estudantes consigam ter acesso ao nível dos livros avançados. Isto não significa deixar para trás as possibilidades que oferece a utilização de um software matemático ou ignorar as aplicações, no favor de uma exclusiva e única compreensão da Matemática. Significa que se pretende, principalmente, que o leitor obtenha uma compreensão global dos conceitos (como por exemplo, que a multiplicação de uma matriz por um vetor pode ser entendida como a aplicação de uma transformação linear) e também consiga acompanhar as provas e demonstrações.

O primeiro capítulo trata de Matrizes e Aplicações. No segundo capítulo, se estudam os Sistemas Lineares, começando com uma breve revisão dos conceitos da Geometria Analítica, para poder en- tender em uma forma geométrica como é que tais sistemas podem ser caracterizados. No terceiro capítulo define-se Espaço Vetorial, um conceito básico da Álgebra Linear que proporciona unidade e precisão aos assuntos essenciais da Matemática. E finalmente,

o quarto capítulo introduz a noção de Transformação Linear e as relações que existem entre transformações lineares e matrizes.

Embora a apresentação esteja focalizada sobre os principais tópi- cos da Álgebra Linear, não pressupõe que os estudantes possuam desde o início uma prática em trabalhar com conceitos que de- mandem certos níveis de abstração, ainda que desejável. Em lugar disso, esta atividade é estimulada através dos muitos exemplos e exercícios que diferem das verificações rotineiras ou uso de téc- nicas de resolução. O objetivo está colocado principalmente em desenvolver, sendo o material usual de um curso de graduação, o nível de maturidade matemática de um estudante da Licenciatu- ra de Matemática.

Sonia Elena Palomino Castro Bean

Daniel Noberto Kozakevich

Capítulo 1

Matrizes

Ao finalizar o estudo deste Capítulo você será capaz de

identificar alguns tipos de matrizes, fazer operações e

provar propriedades e teoremas sobre matrizes. Também,

será capaz de compreender e aplicar o conceito de matri-

zes em situações reais.

1.1 Matriz

As matrizes são estruturas matemáticas que podem ser encontra- das em muitos problemas do nosso dia-a-dia. Por isso, neste capí- tulo, iniciaremos o estudo das matrizes com um problema vindo do nosso cotidiano.

Problema 1. Já pensou que a temperatura que temos em cada esta- ção do ano pode ser registrada dia a dia e hora a hora (e até minuto a minuto!), com ajuda de dispositivos especiais? Isso é feito pelo Instituto de Meteorologia de cada uma das regiões. Considere a seguinte situação:

As temperaturas de cinco cidades brasileiras nas primeiras horas da manhã de um determinado dia (durante o inverno) foram registra- das da forma seguinte:

• Cidade n° 1 : São Joaquim (SC) às 3 horas da manhã apresenta − 3 graus centígrados;
• Cidade n° 2 : Rio de Janeiro (RJ) às 5 horas da manhã apresenta 14 graus centígrados;
• Cidade n° 3 : Turvo (SC) às 7 horas da manhã apresenta 5 graus centígrados;
• Cidade n° 4 : Florianópolis (SC) às 9 horas da manhã apresenta 16 graus centígrados;

Assim, podemos formular o seguinte:

Em cinco cidades brasileiras, em determinadas horas, foram regis- tradas as seguintes temperaturas:

H T (°C) 3 - 5 14 7 5 9 16 11 20

Observação. A mesma informação poderia ter sido colocada da se- guinte forma:

H 3 5 7 9 11 T (°C) -3 14 5 16 20

Os dois jeitos de arranjar os dados estão nos fornecendo o que deno- minaremos como Matriz.

1.1.1 Definição de matriz

Uma matriz é um arranjo de números, símbolos, letras, etc., dispos- tos em linhas e colunas.

1.1.2 Ordem de uma matriz

As matrizes geralmente são denotadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que a matriz tem ordem m × n.

Exemplo 1. Denominemos por A e B as duas matrizes definidas no Problema 1 e na Pergunta 1 , respectivamente. Assim:

3 3 5 14 7 5 9 16 11 20

A

= ^ 

e

B

É de nosso interesse trabalhar apenas com números reais neste Livro, assim sendo tudo o que será definido mais adiante, no caso das matrizes ou vetores, será com elementos reais (mais adiante você terá a possibilidade de trabalhar com números complexos também!).

A matriz A tem 5 linhas e 2 colunas, ou seja, é de ordem 5 × 2 ; já a matriz B tem 2 linhas e 5 colunas e é de ordem 2 × 5.

O elemento da 2ª linha e 2ª coluna da matriz A é igual a 14 , ou seja: a 22 (^) = 14.

O elemento da 1ª linha e 4ª coluna da matriz B é igual a 9, isto é:

b 14 (^) = 9.

Quando uma matriz é obtida por algum problema específico (como o explicitado no Problema 1 ), é possível fornecer alguma interpreta- ção aos seus elementos.

Por exemplo, as matrizes A e B do Exemplo 1 com elementos a 22 (^) = 14 e b 14 (^) = 9 podem ser interpretadas da seguinte forma:

“No segundo horário (5 horas da manhã) o segundo valor da temperatura (no Rio de Janeiro) é 14 graus”.

“São 9 horas da manhã quando a temperatura em Florianópolis é 16 graus”.

E, claro, após fornecermos todas as interpretações podemos fazer algumas conclusões:

• Eu gosto do frio, portanto irei para São Joaquim no inverno.
• Não, não gosto de tanto frio, por isso no inverno ficarei no Rio de Janeiro.

Bom, você deve estar se perguntando: onde está a matemática nesse papo todo? Se estiver fazendo esse tipo de questionamento está indo por um bom caminho, pois a matemática, por incrível que pareça, está presente em muitas situações! E é isso que esperamos mostrar ao longo deste material!

Lembrete. A partir de agora, serão apresentados vários exercí- cios que pediremos para você resolver.

Exemplo 2. Vamos obter a matriz B = ( bij )3 4× , de ordem 3 × 4 , cujos elementos são da forma , 1, 2 0, 3

j ij

i i b i

Solução. Observe que não há nenhuma condição para os índices (^) j , isto é, j está variando conforme o número de colunas que a matriz tem. Já na 3ª linha ( i = 3) todos os elementos serão nulos. Assim sendo, a matriz B é dada por:

1 2 3 4 1 2 3 4

B

= ^ ^ =^ 

1.2 Tipos de Matrizes

1.2.1 Matriz Retangular

São denominadas assim aquelas matrizes cujo número de linhas é diferente do número de colunas. Por exemplo:

A

= ^ 

B

= ^ 

e

C

e podem ser colocadas na forma A = [ ]3 2 × , B = [ ]4 5 × e C = [ ]2 3×. No

que segue podemos omitir a ordem na representação da matriz toda vez que ela venha dada na forma estendida.

1.2.2 Matriz Linha

A matriz linha é uma matriz que tem apenas uma linha. Por exemplo:

L = [1 2 3 4] M = (0 0 1 8).

Observação. É comum colocarmos vetores no plano e no espaço como matrizes linha entre parênteses, onde os elementos estão se- parados por vírgula. Exemplo: (0, 0,1, 8).

1.2.3 Matriz Coluna

A matriz coluna é uma matriz que tem apenas uma coluna. Por exemplo: 2 2 2

B

D

= ^ −

Observação. Sabia que um vetor no plano (ou no espaço) pode ser considerado como uma matriz coluna? Mais adiante (capítulo de Sistemas Lineares) usaremos essa forma ao representar a solução de um sistema de equações. Assim, se tivermos duas ou três incóg- nitas elas podem ser alocadas numa forma vetorial no plano ou no espaço, respectivamente; você também encontrará essa notação no livro “Um curso de geometria analítica e álgebra linear”, citado na bibliografia comentada.

1.2.4 Matriz Nula

A matriz nula é uma matriz cujos elementos são todos nulos. Por exemplo: 0 0 0 0

O

O

= ^ 

Esses tipos de matrizes geralmente são denotados pela letra maiús- cula O e dependendo do problema deverá discernir a ordem da ma- triz no exercício ou problema em questão. Alguns autores denotam essa matriz da forma: O =  (^0) ij  (^) m n ×.

1.2.5 Matriz Quadrada

Uma matriz quadrada é uma matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Nas seguintes matrizes, A é uma ma- triz de ordem n e B uma matriz de ordem 3:

A = ^ a ij  n

B

= ^ − − 

Para facilitar, usamos ape- nas a notação A = ^ aij  n para representar, de forma abreviada, matrizes qua- dradas de ordem n.

com a letra I e com um índice que denota a ordem, como ilustrado a seguir:

2

=^ ^ 

I 4

= ^ 

I.

1.2.8 Matriz Triangular Superior

A matriz triangular superior é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos aij são nulos quando i > j. Isto é:

11 12 1 (^022 )

n n

nn

a a a a a A

a

= ^ 

1.2.9 Matriz Triangular Inferior

A matriz triangular inferior é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos aij são nulos quando i < j , ou seja:

11 21 22

1 2

n n nn

a a a A

a a a

= ^ 

1.2.10 Matriz Simétrica

Uma matriz quadrada S , de ordem n, é simétrica se aij = aji , para quaisquer valores dos índices i j ,. São exemplos de matrizes simé- tricas:

2

S

S

a

= ^ 

Observe que o elemento a na posição (4, 4) da matriz S 4 não tem valor numérico, isto é, assume qualquer valor real.

Quando falamos de elementos assumindo qualquer valor real podemos denotá-los com a ∈. Nesse caso, o símbolo ∈ é lido como “pertence a” e  denota os números reais.

Exemplo 4. Encontre os valores de t w s z a b , , , , , para obtermos S si- métrica: (^2 ) 0 0 0 1 0 0 0

a t x b w S z z

= ^ 

Solução. Pela definição de matriz simétrica, todos os elementos sij da matriz S devem ser tais que sij = sji. Como a matriz é de ordem n = 4 e considerando que i j , variam entre 1 e 4 (ou seja, i j , = 1, , 4 ), encontramos que: s 21 (^) = x = 2 = s 12. Também: s 31 (^) = z = 0 = s 13 ,

e de forma similar: s 41 (^) = 1 = − = t s 14.

Assim, t = − 1.

Também, s 32 (^) = − z = w = s 23 ,

como z = 0 e o oposto de zero é ele próprio, então:

w = 0. Por último, s 11 = a e s 22 = b ,

mas não há nenhuma condição para esses valores. Portanto, a e b são valores reais quaisquer, isto é, a b , ∈ .

1.2.11 Matriz Anti-simétrica

Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se aij = − a (^) ji. São exemplos de matrizes anti-simétricas as matrizes:

A

B

= ^ − − 