Matematica Elementar IV, Notas de estudo de Física

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Matemática

ElementarIV

AudemirLimadeSouza

DárioSouzaRocha

GenilceFerreiraOliveira

FICHA TÉCNICA

Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes

Souza, Audemir Lima de. S729m Matemática elementar IV / Audemir Lima de Souza, Dário Souza Rocha, Genilce Ferreira Oliveira. – Manaus/AM: UEA, 2007. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

179 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia

1. Matemática – Estudo e ensino. I. Rocha, Dário Souza. II. Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título

CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510

SUMÁRIO

• Palavra do Reitor
• UNIDADE I – Razões trigonométricas no triângulo
• TEMA 01 – Trigonometria no triângulo retângulo
• TEMA 02 – Relações entre seno, cosseno e Tangente
• TEMA 03 – Resolução de triângulos
• UNIDADE II – Trigonometria na circunferência
• TEMA 04 – Arcos e ângulos
• TEMA 05 – Ciclo trigonométrico
• TEMA 06 – Seno, cosseno e tangente
• TEMA 07 – Razões recíprocas do seno, cosseno e tangente e outras relações
• TEMA 08 – Redução ao 1.º quadrante
• UNIDADE III – Funções circulares e identidades
• TEMA 09 – Função seno
• TEMA 10 – Função cosseno
• TEMA 11 – Função tangente
• TEMA 12 – Outras funções circulares
• TEMA 13 – Identidades
• UNIDADE IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos
• TEMA 14 – Transformações: Fórmulas de adição
• TEMA 15 – Arco duplo e triplo
• TEMA 16 – Arco metade
• TEMA 17 – Fórmulas de transformação em produto para seno, cosseno e tangente
• UNIDADE V – Equações e inequações trigonométricas | Funções trigonométricas Inversas
• TEMA 18 – Equações trigonométricas
• TEMA 19 – Inequações trigonométricas
• TEMA 20 – Funções trigonométricas inversas
• UNIDADE VI – Números complexos
• TEMA 21 – Forma algébrica e potências de i
• TEMA 22 – Igualdade, soma e subtração de números complexos
• TEMA 23 – Multiplicação, conjugado e divisão de números complexos na forma algébrica
• UNIDADE VII – Números complexos na forma trigonométrica
• TEMA 24 – Representação geométrica, módulo e argumento de um número complexo
• TEMA 25 – Forma trigonométrica de um número complexo
• TEMA 26 – Multiplicação e divisão com números complexos na forma trigonométrica
• TEMA 27 – Potenciação e Radiciação de números complexos na forma trigonométrica
• UNIDADE VIII – Polinômios
• TEMA 28 – Polinômios
• TEMA 29 – Polinômios Idênticos e Operações com polinômios
• TEMA 30 – Divisão de Polinômios (parte I)
• TEMA 31 – Divisão de Polinômios (parte II)
• TEMA 32 – Divisão de Polinômios (parte III)
• UNIDADE IX – Equaçãoes algébricas
• TEMA 33 – Equações algébricas
• TEMA 34 – Multiplicidade das raízes e raízes complexas
• TEMA 35 – Raízes racionais
• TEMA 36 – Relações de Girard
• Respostas de Exercícios
• Referências

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon- der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico−científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere- cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis- tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando− lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos- tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi- no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO

RETÂNGULO

1.1 Um pouco de história

As dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi um dos pri- meiros a calcular as distâncias entre a Terra, a Lua e o Sol; o matemático grego Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) estimou o número de grãos de areia necessários para preencher o Universo conhecido até então; o físico alemão Albert Einstein (1879–1955) avaliou o raio do Universo, que, de acordo com seus estudos, é finito. O papiro de Rhind, escrito no Egito em 1650 a. C. aproximadamente, é uma das principais fon- tes de informação sobre a matemática egípicia. Esse documento, constituído de um texto ma- temático com 85 problemas, apresenta no pro- blema 56 um dos mais antigos registros co- nhecidos sobre trigonometria. Na construção de pirâmides, era essencial manter uma inclinação constante nas faces, e pode ter sido essa preocupação que levou os construtores a usar razões entre medidas dos lados de triângulos, chamadas atualmente de razões trigonométricas.

Hoje, com o auxílio de um teodolito (instru- mento portátil utilizado em topografia e em as- tronomia com a finalidade de medir ângulos)

podem ser calculadas, através da trigonome- tria, alturas de montanhas, larguras de rios, distância entre corpos celestes, etc.

1.2 Alguns conceitos de ângulos Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidas na mesma reta. O ponto O é chamado de vértice, e as semi-retas e são os lados do ângulo. Denotaremos o ângulo pelo símbolo A^OB.

Ângulo Raso é o ângulo formado por duas semi-retas opostas.

Ângulo de uma volta e ângulo nulo são for- mados por duas semi-retas coincidentes.

Interior do ângulo A^OB é a intersecção de dois semiplanos cujas origens são retas con- correntes.

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Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

entre si, as constantes r 1 , r 2 e r 3 podem ser ob- tidas, de maneira análoga, a partir de qualquer um deles, ou seja:

Estas razões trigonométricas r 1 , r 2 e r 3 são cha- madas, respectivamente, de seno do ângulo

(sen α), co-seno do ângulo (cosα) e tangente

do ângulo (tg α).

Dado o triângulo retângulo abaixo:

Podemos dizer que:

Exemplos:

1. Com o auxílio de régua graduada e transfe- ridor, calcular sen 42°, cos 42° e tg 42°. Solução: Construímos um ângulo de 42°:

Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo e obtemos o seguinte triângulo retângulo:

Medimos, com o auxílio da régua, os lados do triângulo ABO. Temos: AB = 2,7cm; AO = 3,0cm; BO = 4,1cm. Calculamos:

;

Nota: Com o uso da régua, cometemos, inevi- tavelmente, erros de aproximação. Portanto os resultados obtidos são valores aproximados. Existem métodos mais eficientes, que calculam esses valores com precisão desejada.

2. Sabendo que sen 36° = 0,58, cos 36° = 0,80 e tg 36° = 0,72. Calcular o valor de x em cada figura: a)

b)

c)

Solução: a) A razão trigonométrica que deve ser apli- cada é aquela que se relaciona com os elementos (queremos cateto oposto e te- mos a hipotenusa). A razão é o seno.

Temos:

Logo, x = 5,8cm

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Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

b) Temos a hipotenusa e queremos encontrar cateto adjacente ao ângulo de 36°. A razão é o co-seno.

Logo, x = 4m

c) Temos o cateto oposto e queremos o cate- to adjacente, ao ângulo de 36°. A razão é a tangente.

Logo, x = 27,8km (aprox.).

3. Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para isso, fixa um ponto A na margem em que se encontra e um ponto B na margem oposta (conforme a figura). A seguir, desloca-se 40m perpendicularmente à reta até o ponto C e mede o ângulo A^CB, obtendo 44°. Qual é a lar- gura do rio? (Dados: sen 44º = 0,69, cos 44º = 0,71 e tg 44º = 0,96)

Solução : Relacionando com ângulo de 44°, queremos calcular o cateto oposto e temos a medida do cateto adjacente que é 40m. A razão trigo- nométrica que usaremos é a tangente. Logo, temos:

A largura do rio é 38,4m.

1. Dado o triângulo ABC retângulo em A, calcule:

a) sen^B b) cos ^B c) tg^B d) sen ^C e) cos^C f) tg^C

2. Calcule as razões trigonométricas seno, co- seno, tangente dos ângulos agudos do tri- ângulo retângulo em que um dos catetos me- de 3 e a hipotenusa 2.
3. Num triângulo ABC reto em A, determine as medidas dos catetos, sabendo que a hipo- tenusa vale 50 e.
4. Seja ABC um triângulo retângulo em A. São dados e hipotenusa a = 6. Calcule

os catetos b e c.

5. Sabendo que sen 28º = 0,46, cos 28º = 0,88 e tg 28º = 0,53, calcule o valor de x na figura:

a)

b)

c)

6. Um alpinista deseja calcular a altura de uma

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UEA – Licenciatura em Matemática

1. (U. Católica de Salvador–BA) Na figura abaixo, tem-se o triângulo ABC , retângulo em B , no qual o lado

BC = 8cm. A altura

BH, relativa ao vértice B , mede 4,8cm. A tangente do ângulo B ^AH é igual a:

a) b)

c) 1 d)

e)

2. (U. F. Santa Maria–RS) Num triângulo retân-

gulo, o co-seno de um ângulo é e a hipo-

tenusa mede 10cm. A soma dos catetos, em centímetros, é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 10

3. (UFRS) No triângulo retângulo da figura,

BC = 10 e cos α = 0,8. O valor de

AB é:

a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 2

4. Se os raios solares formam um ângulo α com o

solo, qual é, aproximadamente, o comprimento da sombra de um prédio com 10m de altura?

(Dado )

a) 16,6m b) 15,5m c) 14,4m d) 13,3m e) 12,2m

5. O valor de sen 30° – cos 60° é: a) 0 b) 1

c)

d)

e)

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UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 02

RELAÇÕES ENTRE SENO, CO-SENO E

TANGENTE

2.1 Propriedades e relação fundamental

Veremos algumas relações muito importantes entre as razões trigonométricas estudadas. Observe o triângulo retângulo ABC da figura abaixo.

Temos: e

Logo, sen A = cos C

Temos ainda: e

Logo, sen C = cos A Concluímos, então: Se dois ângulos são complementares (soma igual a 90°), o seno de um deles é igual ao co- seno do outro. Calculemos agora o valor da expressão (sen A)^2 + (cos A)^2 , a qual também indicamos por sen 2 A + cos 2 A. Como e temos:

sen^2 A + cos 2 A =

Mas a 2 + c^2 = b 2 pelo teorema de Pitágoras.

Portanto:

⇒ sen^2 A + cos 2 A = 1

Observe que esse resultado não depende do ângulo ^A. De modo análogo, teremos para o ângulo ^C que, sen^2 C + cos^2 C = 1. Então, concluímos:

Se x é a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, temos: sen^2 x + cos^2 x = 1 (Relação Fundamental) Calculemos agora o valor da tangente de um dos ângulos agudos, por exemplo, o ângulo ^A.

Temos:

Notemos que:

Logo, (o mesmo ocorre com ^C).

Então, concluímos: Se x é a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, temos:

Observação – Você verá mais adiante que as relações acima são verdadeiras para outros ângulos. Exemplos:

Se α e β são as medidas dos ângulos agudos

de um triângulo retângulo e , deter-

minar sen β, cos β, cos α, tg α e tg β.

Solução:

Como α + β = 90° , temos que sen α = cos β,

então:.

Como sen^2 α + cos^2 α = 1 ⇒

Sabendo que cos α = sen β, temos que

Calculando as tangentes, temos:

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Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

Essas razões trigonométricas podem ser co- locadas numa tabela de dupla entrada:

Exemplos:

1. Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um

ângulo de inclinação de 60° (ver figura). De- terminar a altura do foguete após 4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante.

Solução: Após 4s, ele percorre 4.(200m) = 800m. Temos que:

A altura é aproximadamente 692,8m.

2. Uma pessoa está na margem de um rio, onde

existem duas árvores (B e C na figura). Na ou- tra margem, em frente a B, existe uma árvore A, vista de C segundo um ângulo de 30°, com relação a B. Se a distância de B a C é de 150m, Qual é a largura do rio, nesse trecho?

Solução: Temos:

x = 50. ⇒ x ≈ 86,7m.

2.3 Como calcular os valores das razões trigo- nométricas com o auxílio de calculadora científica ou da tábua trigonométrica Vimos exemplos apenas com ângulos que co- nhecemos os valores trigonométricos, casos particulares (30°, 45° e 60°). Veremos como calcular as razões trigonomé- tricas de um ângulo agudo qualquer. Para usar uma calculadora científica, é neces- sário primeiramente dar uma boa lida no ma- nual de instruções para saber quais teclas serão utilizadas em seus cálculos. Tenha o cuidado de verificar a unidade de me- dida de ângulos com que a calculadora está operando, ou seja, se o “modo” está em graus ou não. As calculadoras usam as seguintes teclas: Seno – sin para encontrar o seno do ângulo que está no visor; sin –1^ para encontrar o ângu- lo cujo seno está mostrado no visor. Cosseno – cos para encontrar o co-seno do ângulo que está no visor; cos–1^ para encontrar o ângulo cujo cosseno está mostrado no visor.

Exemplos:

1. Calcular sen 42°. Solução: Verifique se o “modo” está em DEG ; se não estiver, coloque-o. Depois digite 42 e pressione sin. Deverá aparecer 0,6691 (aproxim.).

θ sen θ cos θ tg θ

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Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo

2. Sendo^A um ângulo de um triângulo retângulo tal que cos ^A = 0,8290, determinar quantos graus mede o ângulo ^A. Solução: Verifique o “modo”, digite 0,8290 e pressione sin –^1. Aparecerá 42° (aproxim.) Veremos como operar, no caso de não poder- mos contar com este recurso. Para isso, necessitamos da seguinte tábua, na qual apareçam os senos e cossenos dos ân- gulos de 1° a 45°. Tábua dos senos e cossenos

Exemplos:

1. Calcular: a) sen 71º b) cos 50º Solução: a) O ângulo de 71° não consta em nossa tábua, pois ela só vai até 45°. Mas sen 71 º = cos 19º (ângulos complementares) Esse valor está na tábua. Como cos 19 º = 0,9455, temos que sen 71º = 0, b) O ângulo de 50° também não consta na tábua, mas cos 50º = sen 40º e como sen 40º = 0,6428, temos que cos 50º = 0,
2. Calcular tg 23º. Solução: Na tábua, não existe coluna referente à tan- gente (há tábuas que possuem). No entanto temos que:
3. Determine o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo de um triângulo ABC , onde a , b e c são as medidas dos seus lados, nos casos: a) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo ^C é reto. b) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo ^B é reto.
4. O perímetro de um triângulo retângulo mede 264m e a hipotenusa mede 110m. Qual o seno do menor ângulo agudo desse triângulo?
5. Um triângulo retângulo ABC é reto em ^B. Sa- be-se que tg A = 1 e que um dos catetos mede 15cm. Ache o perímetro do triângulo.

4. Sendo α e β as medidas dos ângulos agudos

de um triângulo retângulo, determine:

a) cos α, sen β, cos β, tg α e tg β, sabendo que

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UEA – Licenciatura em Matemática