Matematica Elementar III, Notas de estudo de Física

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Matemática

ElementarIII

DomingosAnselmoMouradaSilva

GenilceFerreiraOliveira

DárioSouzaRocha

FICHA TÉCNICA

Governador Eduardo Braga Vice−Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice−Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró−Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró−Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró−Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró−Reitor de Pós−Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior

Revisão Técnico−gramatical João Batista Gomes

Silva, Domingos Anselmo Moura da. S586m Matemática elementar III / Domingos Anselmo Moura da Silva, Genilce Ferreira Oliveira, Dario Souza Rocha. – Manaus/AM: UEA,

2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia

1. Matemática – Estudo e ensino. I. Oliveira, Genilce Ferreira. II. Rocha, Dario Souza. III. Título.

CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510

SUMÁRIO

• Palavra do Reitor
• UNIDADE I – Funções
• TEMA 01 – A função e o cotidiano
• TEMA 02 – Funções injetivas e sobrejetivas
• TEMA 03 – Funções inversíveis
• UNIDADE II – Funções Compostas
• TEMA 04 – Funções compostas
• TEMA 05 – Função composta e sua linguagem formal
• UNIDADE III – Equações exponenciais
• TEMA 06 – Função exponencial
• TEMA 07 – Potência com expoente natural
• TEMA 08 – Equações exponenciais
• UNIDADE IV – Funções exponenciais
• TEMA 09 – Função exponencial
• TEMA 10 – Teoremas
• TEMA 11 – Inequações exponenciais
• UNIDADE V – Funções logarítmicas
• TEMA 12 – Introdução
• TEMA 13 – Logarítmo
• TEMA 14 – Bases Especiais
• TEMA 15 – Mudança de base
• TEMA 16 – Propriedades dos logarítmos
• TEMA 17 – Função logarítmica
• UNIDADE VI – Equações e inequações modulares
• TEMA 18 – Módulo de um número
• TEMA 19 – Equações modulares
• TEMA 20 – Inequações modulares
• UNIDADE VII – Funções modulares
• TEMA 21 – Função modular
• UNIDADE VIII – Seqüências
• TEMA 22 – Seqüências
• TEMA 23 – Seqüência de números reais
• UNIDADE IX – Progressões aritméticas
• TEMA 24 – Progressões aritméticas
• TEMA 25 – Fórmula do termo geral de uma PA
• TEMA 26 – PA monótona
• TEMA 27 – Extremos e meios em uma PA
• TEMA 28 – Representação prática dos termos de uma PA
• TEMA 29 – Interpolação aritmética
• TEMA 30 – Soma dos n primeiros termos de uma PA
• UNIDADE X – Progressões geométricas
• TEMA 31 – Progressão geométrica
• TEMA 32 – Fórmula do termo geral da PG
• TEMA 33 – Classificação das progressões geométricas
• TEMA 34 – Representação prática de três termos em PG
• TEMA 35 – Interpolação geométrica
• TEMA 36 – Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG
• TEMA 37 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG
• Respostas de Exercícios
• Referências

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon- der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico−científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere- cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis- tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando− lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos- tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi- no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01

A FUNÇÃO E O COTIDIANO

Como o homem percebeu que tudo e todos estão relacionados de forma que nenhum efeito tem origem numa única causa?

Ao lermos um jornal ou uma revista, diaria- mente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes são instrumentos muito uti- lizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou nas revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão pre- sentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim, em todos os lugares. Ao interpretarmos esses gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano carte- siano.

O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é ex- plicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) , e este é um bom exemplo de uma apli- cação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (cé- lulas nervosas do cérebro).

Ao relacionarmos espaço em função do tem- po, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão impor- tantes são os conceitos de funções para com- preendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...

Vamos ler um pouco mais.

As necessidades do homem, com os mais vari- ados propósitos, fizeram dele, através dos tem- pos, um estudioso dos problemas naturais, bem como das suas causas e dos seus efeitos.

Essa busca nos fez perceber que tudo e todos estão relacionados de tal forma que nenhum efeito tem origem numa única causa.

Para perceber essa relação, vamos usar como exemplo uma flor, que aos olhos de um admi- rador representa a beleza, o amor e a paz, e aos olhos de um sensível observador, a ima- gem do nosso mundo, com fatores individu- ais, físicos, econômicos, humanos e sociais. Na linguagem do dia−a−dia, é comum ouvir- mos frases como “Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”. Não é raro também abrirmos revistas ou jornais e encontramos gráficos sobre os mais variados assuntos, mostrando a dependência entre os fatores em estudo. A idéia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias. No entanto essa forma de re- presentação não foi sempre assim. O conceito de função sofreu várias interpretações até che- gar ao modernamente utilizado. No século XVIII, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646−

1716. considerou como função as quantidades geométricas variáveis, relacionadas com uma curva. Posteriormente, Leornhard Euler enfatizou me- nos a representação analítica e deixou antever como conceito de função toda variável que dependa de outra, ou seja, se a segunda vari- ar, a primeira também irá variar. Já no século XIX, matemáticos como Dirichlet e Lagrange deram novas contribuições para o estudo das funções. A Idéia de Função O canto dos grilos é um som familiar no campo numa noite quente. O ritmo em que os grilos cantam depende da temperatura: quando está quente, eles cricrilam mais do que em qual- quer outro tempo. A tabela abaixo mostra co- mo o ritmo e a temperatura estão relacionados.

(*) A relação entre graus Farenheit (F) e graus Celsius (C) é dada pela equação: F = C x 1,8 + 32

Temperatura em Graus Farenheit (*) 50 60 70 80 Número de cricrilos em 15s 10 20 30 40

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Matemática Elementar III – Funções

TEMA 02

FUNÇÕES INJETIVAS E SOBREJETIVAS

Seja S o conjunto das pessoas que moram na rua A, e seja N o conjunto dos inteiros posi- tivos. Se s é um dos residentes da rua A, defi- nimos f(s) como sendo o número da residência de s na rua A. Portanto, se o Sr. Silva mora na casa de número 25 da rua A,

f (Sr. Silva) = 25. Observe que, se Maria é a esposa do Sr. Silva, então f(Maria) = 25.

Consideramos o conjunto S das pessoas resi- dentes na rua A e N o conjunto dos inteiros positivos. Suponha que o sistema da identifi- cação da polícia seja perfeito, de modo que cada pessoa tenha sua carteira de identidade

com o respectivo número, independente se é homem, mulher, criança. Definimos a função

g : S → N por g(s) = número da carteira de

identidade da pessoa s. Observe que, quais- quer duas pessoas distintas, s 1 e s 2 , são tais

que g(s 1 ) ≠ g(s 2 ). Observe, então, que esta

função aqui definida é distinta da função f

definida acima, quanto a esse aspecto. Lá, f(Sr. Silva) = f(Maria). Isto é, dois elementos distin- tos de S podem ter a mesma imagem. Aqui, ocorre que elementos distintos de S têm ima- gens distintas. Nesse caso, dizemos, então, que g é injetiva ( ou injetora).

Assim, h : S → T é injetiva (ou injetora ) se, e

somente se, para todo par

s 1 , s 2 ∈ S, com s 1 ≠ s 2 ⇒ h(s 1 ) ≠ h(s 2 ).

Ou, equivalentemente, dizemos que h é injetiva se, e somente se, para todo par

s 1 , s 2 ∈ S, com h(s 1 ) = h(s 2 ) ⇒ s 1 = s 2

Exemplos

Exemplo 1 :

Sejam os conjuntos A= { 0, 1, 2, 3}, B= {2, 4,

6, 8, 10} e f: A → B uma função, definida por

f(x) = 2x + 2.

Observe, no diagrama de flecha, que elemen- tos distintos do conjunto A estão em corres- pondência com elementos distintos do con- junto B. Então, a função é injetora.

Exemplo 2 Mostre que a função polinomial do 1.o^ grau é injetiva. Solução: Seja f uma função polinomial do 1. o^ grau, de-

finida por f(x) = ax+b, onde, a, b ∈ R e a ≠ 0

Dizemos que f é injetiva ⇔ ∀ x 1 , x 2 ∈IR, com

f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇒ x1= x 2

Sendo assim,

f(x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ ax 1 + b = ax 1 +b ⇒ ax 1 = ax 2

⇒ x1 = x 2

∴ f é injetiva

Exemplo 3 : Sejam N conjunto dos inteiros positivos e T con- juntos dos inteiros positivos ímpares. Definimos

f : N → T por f(n) = 2n − 1, para cada n ∈ N.

Assim, f(1) = 2.1 − 1 = 2 − 1 = 1 f(10) = 2.10 − 1 = 20 − 1 = 19 f(35) = 2.35 − 1 = 70 − 1 = 69 f define uma função de N em T. Observe que, como no Exemplo 2 , f é injetiva, ou seja,

∀n,m ∈ N, se f(n) = f(m), então

2n − 1 = 2m − 1 ⇒ 2n = 2m ⇒ n = m.

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Matemática Elementar III – Funções

Exemplo 4 :

A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é

injetora, pois sempre que tomamos dois va- lores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x) (Veja o exemplo 2 ).

Exemplo 5 :

A função f:IR → IR definida por f(x) = x² + 5

não é injetora, pois para x = 1, temos f(1) = 6 e para x = −1, temos f(−1) = 6. Mostraremos, a seguir, que a função f do exemplo 3 possui uma propriedade que a fun- ção do Exemplo 1 não possui. De fato, seja x qualquer inteiro positivo ímpar; podemos es- crever x como sendo x = 2r – 1 para algum inteiro positivo r. Agora, f(r) = 2r − 1 = x. Isso significa dizer que qualquer elemen- to de T aparece como imagem de um elemen- to de N. Esta propriedade de f é muito impor- tante, e dizemos que f é uma função sobrejeti- va (ou sobrejetora ).

Então, uma função f :S → T é sobrejetiva (ou

sobrejetora ) se, para qualquer t ∈ T, existe um

elemento s ∈ S tal que, f (s) = t.

Equivalentimente,dizemos que f é sobrejetiva se, e somente se, o conjunto imagem da fun- ção f é igual ao contradomínio da função f.

Exemplo 6 :

A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é

sobrejetora, pois todo elemento de IR é ima- gem de um elemento de IR pela função, ou

seja, ∀ y ∈ IR existe ∈ IR tal que

f(x) = f( ) = y.

Exemplo 7 :

Mostre que a função f: IR → IR+ definida por

f(x) = x^2 é sobrejetiva. Solução:

Basta mostrar que ∀ b ∈ IR+ , ∃ a ∈ IR tal que

f(a) = b. Tome a =. Sendo assim f(a) = a^2 = ( )^2 = b,

para qualquer b ∈ IR+.

Então, concluímos que f é sobrejetiva.

Exemplo 8 :

A função f:IR → IR definida por f(x) = 2 x^ não é

sobrejetora, pois o número −1 é elemento do contradomínio IR e não é imagem de nenhum elemento do domínio.

Exemplo 9 : Para qualquer conjunto não vazio podemos

definir i : S → S por i(s) = s, para cada s ∈ S.

Esta função aplica cada elemento de S sobre ele próprio. A função i é chamada função iden- tidade. Algumas vezes, notamos a função iden- tidade por id. É fácil ver que a função identidade é injetiva e sobrejetiva.

Para refletir

Definimos f : Z → N por:

(i) f(n) = 1, se n é para todo inteiro negativo. (ii) f(0) = 101 (iii) f(n) = n, se n é inteiro positivo. A função f é injetiva? É sobrejetiva?

Reforçando : Dizemos que uma função é sobrejetora (ou

sobrejetiva) se, para qualquer t ∈ T, existe um

elemento s ∈ S tal que, f (s) = t, equivalente-

mente, se o conjunto imagem for igual ao con- junto C(f), ou seja, Im(f) = C(f).

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UEA – Licenciatura em Matemática

Sendo assim, temos que a função g tem uma inversa, que vamos denotar por g−^1 a qual vamos determinar.

Fazendo g(x)= = y, temos = y ⇒

y(x − 2) = x + 1 ⇒ yx − 2 = x + 1 ⇒

yx − x = 1 + 2y ⇒ x(y − 1) = 1 + 2y ⇒ x =

Portanto g−^1 (y) =

Para refletir Quando podemos dizer que duas funções f e g são iguais? Duas funções f e g são iguais se, e somente

se, f(x) = g(x), para todo x ∈ D(f), D(f) = D(g)

e C(f) = C(g).

Para refletir Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi- tivos e

f : IR+ → IR+uma função, tal que f(x) =1/x,

para cada x ∈ IR+. A função f é injetiva? É

sobrejetiva?

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UEA – Licenciatura em Matemática

UNIDADE II

Funções Compostas

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TEMA 04

FUNÇÕES COMPOSTAS

No estudo de funções, há um caso muito inte- ressante que vale a pena estudar pela sua oportunidade de generalização e conseqüente utilidade.

Sejam S um conjunto não-vazio e f, g duas fun-

ções definidas de S para S, isto é, f,g: S → S. Se

s ∈ S, então g(s) ∈ S e, como qualquer ele-

mento de S, pode ser aplicado pela função f,

resultando no elemento f(g(s)) ∈ S. A partir

dessa observação, podemos definir a chama- da função composta , denotada por fog , defini-

da como fog: S → S, tal que (fog) (x) = f(g(x)),

para cada x ∈ S.

Observe o diagrama de flecha abaixo:

Sendo h, g e f funções, definimos assim a função h por gof, ou seja, h = gof

TEMA 05

FUNÇÃO COMPOSTA E SUA LINGUAGEM

FORMAL

Considerando as funções f: A → B e g: B → C,

temos que a função composta de g com f é a

função gof: A → C, sendo (go f) (x) = g (f(x)).

Exemplos Exemplo 1 :

Sejam f,g: IR → IR funções definidas por

f(s) = 5s + 6 e g(s) =. Determine fog e

gof. Solução: Sendo assim, temos: (f o g) (s) = f(g(s)) = f( ) = 5( )+ 6 =

= e (gof)(x) =

g(f(x)) = g(5x + 6)= =

OBSERVAÇÃO:

De modo geral, gof ≠ fog, como no exemplo

acima, temos: (fog) (0) = f(g(0)) = f(1) = 5.1 + 6 = 11 e (gof) (0) = g(f(0)) = g(6) =

Observe que fog ≠ gof, isto é, a composição de

funções não comuta. Exemplos 2 :

Matemática Elementar III – Funções Compostas

Dadas as funções f, g, h : IR → IR definidas

por: f(x) = x+2, g(x) = x^2 – 1 e h(x) =.

Determine as funções compostas gof, fog, hof e fof. Solução: a) Vamos determinar gof : (gof)(x) = g(f (x) ) = g(x + 2) = ( x + 2)^2 – 1 = x^2 + 4x + 4 – 1= x^2 + 4x + 3 portanto (gof)(x) = x^2 + 4x + 3 b) Vamos determinar fog: (fog)(x) = f(g(x) = (x^2 – 1) = x^2 – 1 + 2 = x^2 + c) Vamos determinar hof: (hof)(x) = h(f(x)) = h(x + 2) =

d) Vamos determinar f o f: (fof)(x) = f(f(x))= f(x+2) = (x+2) + 2 = x+

Exemplo 3 :

Seja f: IR → IR uma função real.

Se f (x – 3) = x^2 – 4x + 1, determine f(x). Solução: Sendo f (x – 3) = x^2 – 4x + 1, faça

x – 3 = u → x= u + 3, logo

f(u) = (u + 3)^2 – 4. (u + 3) + = u^2 + 6u + 9 – 4u – 12+ = u^2 +2u – 2 Assim, concluímos que f(x) = x^2 + 2x – 2

Exemplo 4 : Sejam f e g duas funções reais, tais que

Imf ⊂ Dg. Se g (f(x))= x^2 – x + 1 e g(x) = ,

determine f(x). Solução: Sendo g(x) = , temos que g(f (x)) =

Dessa forma, = x^2 – x + 1 ⇒ f(x) – 1 =

= 2(x^2 – x + 1) ⇒ f(x) – 1 = 2x^2 – 2x + 2 ⇒ f(x)

= 2x^2 – 2x + 3

Exemplo 5 : Sejam f e g duas funções reais, tais que

Imf ⊂ Dg. Se g(f(x)) = x^2 – x – 3 e f(x) = 3 – x,

determine g(x). Solução:

Sendo f(x) = 3 – x ⇒ x = 3 – f(x).

Logo, substituindo x = 3 – f (x) em g(f(x)) = x^2 − x − 3, temos g(f(x)) = (3 – f(x))^2 – (3 – f(x)) – 3 g(f(x)) = 9 – 6 f(x) + (f(x))^2 – 6 + f(x) g(f(x)) = (f(x))^2 – 5 f(x) + Dessa forma, concluímos que g(x) = x^2 – 5x + 3

IMPORTANTE:

Sendo f : S → T uma aplicação bijetiva de S

sobre T, podemos definir a inversa de f , a qual vamos denotar por f−^1 , onde f−^1 é uma

aplicação de T em S (f−^1 : T → S), ou seja,

f(s) = t ⇔ f−^1 (t) = s ∀ s ∈ S e ∀ t ∈ T

Exemplo 6: Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi-

tivos e f : IR+ → IR+, tal que f(x) = , para

cada x ∈ IR+. Temos que f é injetiva e sobreje-

tiva. Quem é f−^1?

Solução: Vamos mostrar um fato surpreendente : f(x) = f−^1 (x) para cada x de IR+, ou seja,

f = f−^1. De fato, f−^1 (x) = s ⇔ f(s) = x. Sendo

f(s) = = x, concluímos que S =.

Logo, f−^1 (x) = S = = f(x)

De modo geral, se f : S → T é uma função bi-

jetiva, onde f−^1 é a inversa de f. Pergunta–se: Que função resultará de f−^1 of e fof−^1?

Se s ∈ S, então (f−^1 of)(s) = f−^1 (f(s)). Entretanto,

pela definição de f−^1 se t = f(s), então f−^1 (t) = s. Em outras palavras, (f−^1 o f) (s) = f−^1 (f(s)) = f−^1 (t) = s.

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UEA – Licenciatura em Matemática