ANÁLISE COMBINATÓRIA

1. Introdução

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda o

número de maneiras que um acontecimento pode ocorrer, sem que

haja a necessidade de desenvolvermos todas as possibilidades.

As técnicas de contagem permitem resolver problemas de

genética, loteria esportiva e em muita das outras áreas da ciência

aplicada, como a medicina, a engenharia e a estatística.

2. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

O princípio fundamental da contagem é uma regra que nos

permite determinar o número de possibilidades de ocorrência de um

acontecimento.

A regra que utilizamos para chegar a esse resultado é

enunciada da seguinte maneira:

Se um ACONTECIMENTO pode ser analisado em etapas

sucessivas e INDEPENDENTES de modo que:

… nº de possibilidades na 1ª etapa

… nº de possibilidades na 2ª etapa

… nº de possibilidades na 3ª etapa

… nº de possibilidades na k – ésima etapa

então é o número de possibilidades de ocorrência do

ACONTECIMENTO.

Exercícios de Aula

1) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando

por São Paulo. Sabendo que existem 5 roteiros diferentes

entre São Paulo e Recife e 4 roteiros entre Porto Alegre e São

Paulo. De quantas maneiras diferentes essa pessoa pode

fazer a sua viagem?

2) Uma pessoa lança uma moeda e um dado simultaneamente.

Quantas combinações distintas de resultados existem?

3) Mariana tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes

ela pode se vestir com essas roupas?

4) Com os algarismos 1, 2, 5, 6, 7 e 9:

a) Quantos números de três algarismos podem-se formar?

b) Quantos números de três algarismos distintos podem-se

formar?

c) Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?

5) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 5 e 8:

a) Quantos números de 3 algarismos distintos podem-se formar?

b) Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?

c) Quantos números maiores que 300 e menores que 1000, com

algarismos distintos, podem-se ser formados

6) (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si; todas elas

devem ser usadas para pintar as letras da palavra FATEC,

cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as

únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos

pode ser feito isso?

7) As placas de automóveis são compostas de três letras e

quatro algarismos. Quantas placas podemos formar utilizando

apenas as cinco vogais (A, E, I, O e U) e os algarismos pares

(0, 2, 4, 6 e 8), sendo que as letras devem ser distintas?

Desafios

8) (ITA – SP) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos

formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que

contenham apenas 2 das letras a, b e c?

9) (ESPM – SP) No teto de um salão há 6 lâmpadas que são

comandadas por 6 interruptores independentes uns dos

outros. Existem N maneiras diferentes desse salão estar

iluminado por essas lâmpadas. Qual o valor de N?

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

1. Introdução

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda o número de maneiras que um acontecimento pode ocorrer, sem que haja a necessidade de desenvolvermos todas as possibilidades.

As técnicas de contagem permitem resolver problemas de genética, loteria esportiva e em muita das outras áreas da ciência aplicada, como a medicina, a engenharia e a estatística.

2. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

O princípio fundamental da contagem é uma regra que nos permite determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento.

A regra que utilizamos para chegar a esse resultado é enunciada da seguinte maneira:

Se um ACONTECIMENTO pode ser analisado em etapas sucessivas e INDEPENDENTES de modo que:

… nº de possibilidades na 1ª etapa … nº de possibilidades na 2ª etapa … nº de possibilidades na 3ª etapa : … nº de possibilidades na k – ésima etapa

então é o número de possibilidades de ocorrência do ACONTECIMENTO.

Exercícios de Aula

1) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando

por São Paulo. Sabendo que existem 5 roteiros diferentes entre São Paulo e Recife e 4 roteiros entre Porto Alegre e São Paulo. De quantas maneiras diferentes essa pessoa pode fazer a sua viagem?

2) Uma pessoa lança uma moeda e um dado simultaneamente.

Quantas combinações distintas de resultados existem?

3) Mariana tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes

ela pode se vestir com essas roupas?

4) Com os algarismos 1, 2, 5, 6, 7 e 9:

a) Quantos números de três algarismos podem-se formar?

b) Quantos números de três algarismos distintos podem-se

formar?

c) Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?

5) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 5 e 8:

a) Quantos números de 3 algarismos distintos podem-se formar?

b) Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?

c) Quantos números maiores que 300 e menores que 1000, com

algarismos distintos, podem-se ser formados

6) (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si; todas elas

devem ser usadas para pintar as letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso?

7) As placas de automóveis são compostas de três letras e

quatro algarismos. Quantas placas podemos formar utilizando apenas as cinco vogais (A, E, I, O e U) e os algarismos pares (0, 2, 4, 6 e 8), sendo que as letras devem ser distintas?

Desafios

8) (ITA – SP) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos

formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham apenas 2 das letras a , b e c?

9) (ESPM – SP) No teto de um salão há 6 lâmpadas que são

comandadas por 6 interruptores independentes uns dos outros. Existem N maneiras diferentes desse salão estar iluminado por essas lâmpadas. Qual o valor de N?

10) Uma senha de computador é composta de duas etapas: na

primeira etapa o usuário deve digitar duas letras entre as 26 do alfabeto. Caso obtenha êxito no acerto da senha ele deverá passar para segunda etapa onde deve digitar três algarismos distintos. Qual o numero máximo de tentativas diferentes que o usuário deve fazer para descobrir a senha?

3. Permutação

Permutação é o tipo de agrupamento ordenado em que entram todos os elementos em cada grupo.

Se não existirem elementos repetidos na permutação teremos que a permutação (Pn) de n elementos será:

Exercícios de Aula

11) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem formar

uma fila indiana?

12) Quantos são os anagramas da palavra ANEL?

13) Sejam os anagramas da palavra BONECA.

a) Quantos são ao total?

b) Quantos começam por uma consoante?

c) Quantos possuem uma seqüência alternada de vogais e

consoantes?

d) Quantos possuem as letras B e N juntas e nessa ordem?

e) Quantos possuem as letras B e N juntas e em qualquer ordem?

f) Quantos possuem as letras N, E e C juntas e nessa ordem?

g) Quantos possuem as letras N, E e C juntas e em qualquer ordem?

h) Quantos possuem as vogais em ordem alfabética?

i) Qual a posição ocupada pelo anagrama CBOENA, se

colocados todos eles em ordem alfabética?

14) Colocados em ordem crescente todos os números de 4

algarismos distintos formados utilizando-se dos algarismos 3, 5, 6 e 9. Qual a posição ocupada pelo número 6935?

15) (PUC-SP) Quantos anagramas da palavra ALUNO têm as

vogais em ordem alfabética é?

• Permutação com elementos repetidos

Caso existam elementos repetidos entre aqueles a serem permutados, devemos excluir aquelas permutas iguais dividindo pelo número de vezes fatorial de cada elemento repetido. Assim teremos:

= número total de elementos , , , … = número de vezes que aparece cada elemento

Exercício de Aula

16) Considere os anagramas da palavra ALAGOAS:

a) Quantos são ao total?

Utilizando-se de fórmula podemos dizer que a combinação de n elementos tomados p a p será dado por:

Exercícios de Aula

23) Queremos preparar uma salada de frutas que contenha três

frutas diferentes, escolhidas entre um grupo de oito frutas diferentes (em que duas delas são banana e maça). Calcule quantas saladas diferentes podemos preparar.

a) Ao total;

b) Tal que a banana seja uma dessas frutas;

c) Sem utilizar a maça como uma das frutas;

d) Sem misturar banana com maça;

24) Quantos triângulos podemos formar utilizando como vértices

8 pontos distintos marcados sobre uma circunferência?

25) Quantos triângulos podemos formar utilizando como vértices

3 pontos colocados sobre uma reta r e 5 pontos colocados sobre uma reta s (distinta de r)?

26) A diretoria de uma firma é constituída por sete diretores

brasileiros e quatro japoneses. Desejamos formar uma comissão com seis pessoas escolhidas entre os membros da diretoria. Calcule quantas comissões distintas podemos formar:

a) Ao total;

b) Com exatamente três brasileiros;

c) Com exatamente quatro japoneses;

d) Apenas de brasileiros;

e) Pelo menos um japonês.

27) Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 são

matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:

a) Nenhum membro seja matemático?

b) Todos os matemáticos participem da comissão?

c) Haja exatamente um matemático na comissão?

d) Pelo menos um membro da comissão seja matemático?

28) Um químico possui dez tipos de substâncias. De quantos

modos possíveis poderá associar seis destas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas por que produzem mistura explosiva?

29) (Faap-SP) Um indivíduo faz relação de nomes de 11 pessoas

amigas. Calcular de quantas maneiras ele poderá convidar cinco dessas pessoas para jantar, sabendo-se que na relação há um único casal inseparável.

30) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em três

salas, A, B e C, de modo que em A fiquem 4 pessoas, em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas?

31) De quantas maneiras podemos dividir 15 pessoas para formar

três times de basquete (5 pessoas por time)?

32) De quantos modos podemos arrumar 12 livros distintos (5 de

matemática, 4 de física e 3 de química) em uma estante, sendo

que os livros de uma mesma matéria devem estar juntos e os livros de química devem estar em uma ordem fixa?

Análise combinatória, Notas de estudo de Matemática

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

1. Introdução

2. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

1) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando

2) Uma pessoa lança uma moeda e um dado simultaneamente.

3) Mariana tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes

4) Com os algarismos 1, 2, 5, 6, 7 e 9:

a) Quantos números de três algarismos podem-se formar?

b) Quantos números de três algarismos distintos podem-se

c) Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?

5) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 5 e 8:

a) Quantos números de 3 algarismos distintos podem-se formar?

b) Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?

c) Quantos números maiores que 300 e menores que 1000, com

6) (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si; todas elas

7) As placas de automóveis são compostas de três letras e

8) (ITA – SP) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos

9) (ESPM – SP) No teto de um salão há 6 lâmpadas que são

10) Uma senha de computador é composta de duas etapas: na

3. Permutação

11) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem formar

12) Quantos são os anagramas da palavra ANEL?

13) Sejam os anagramas da palavra BONECA.

a) Quantos são ao total?

b) Quantos começam por uma consoante?

c) Quantos possuem uma seqüência alternada de vogais e

d) Quantos possuem as letras B e N juntas e nessa ordem?

e) Quantos possuem as letras B e N juntas e em qualquer ordem?

f) Quantos possuem as letras N, E e C juntas e nessa ordem?

g) Quantos possuem as letras N, E e C juntas e em qualquer ordem?

h) Quantos possuem as vogais em ordem alfabética?

i) Qual a posição ocupada pelo anagrama CBOENA, se

14) Colocados em ordem crescente todos os números de 4

15) (PUC-SP) Quantos anagramas da palavra ALUNO têm as

• Permutação com elementos repetidos

16) Considere os anagramas da palavra ALAGOAS:

a) Quantos são ao total?

23) Queremos preparar uma salada de frutas que contenha três

a) Ao total;

b) Tal que a banana seja uma dessas frutas;

c) Sem utilizar a maça como uma das frutas;

d) Sem misturar banana com maça;

24) Quantos triângulos podemos formar utilizando como vértices

25) Quantos triângulos podemos formar utilizando como vértices

26) A diretoria de uma firma é constituída por sete diretores

a) Ao total;

b) Com exatamente três brasileiros;

c) Com exatamente quatro japoneses;

d) Apenas de brasileiros;

e) Pelo menos um japonês.

27) Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 são

a) Nenhum membro seja matemático?

b) Todos os matemáticos participem da comissão?

c) Haja exatamente um matemático na comissão?

d) Pelo menos um membro da comissão seja matemático?

28) Um químico possui dez tipos de substâncias. De quantos

29) (Faap-SP) Um indivíduo faz relação de nomes de 11 pessoas

30) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em três

31) De quantas maneiras podemos dividir 15 pessoas para formar

32) De quantos modos podemos arrumar 12 livros distintos (5 de

33) Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De

34) Quantas soluções naturais possuem as equações:

a)

b)