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ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL
Sendo n F 0C E ℕ , chama-se fatorial de n o número representado por n! , assim definido:
0! = 1 1! = 1 n! = n. (n – 1). (n – 2)......
2. 1, para n > 1.
Propriedade:
n! = n. (n-1)! (F 02 2 n ≥1)
Exemplos:
2! = 3! = 4! = 5! = 6! =
EXERCÍCIOS DE SALA
- (UnB) Julgue os itens.
j Se (x + 7)! = 1, então x = –6. k Se x = 2, então (x – 1)! = 1. l 2 0!^ = 1. m (0! + 0! + 0!)! = 6.
- Resolva as equações: )a (2x + 5)! = 5040
)b
- O produto 2. 4. 6. 8. .... 20 é igual a: )a 2. 10! )b )c (^2 10) .10! )d 20! – 10!
)e n.d.a.
4. (UFS – 2001)
Em uma excursão há 12 casais, cada qual de uma nacionalidade diferente da dos demais. Algumas dessa 24 pessoas serão sorteadas ao acaso, uma por uma. Para, com certeza, garantir a formação de um casal de mesma nacionalidade, o menor número de pessoas que deverão ser sorteadas será
(A) 12 (B) 13 (C) 15 (D) 16 (E) 20
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE
CONTAGEM
O cálculo combinatório baseia-se em dois princípios fundamentais, que estudaremos a seguir.
Considere, por exemplo, uma lanchonete onde são vendidos três tipos de sanduíches e dois tipos de doces.
Vamos responder às perguntas:
a) de quantas maneiras distintas uma pessoa poderá escolher uma dessas comidas? b) quantas são as opções para quem vai comer um sanduíche e um doce?
Indicaremos por D = {d (^) 1 , d 2 } o “conjunto dos doces” e por S = {s (^) 1 , s 2 , s (^) 3 } o “conjunto dos sanduíches”.
Notamos que:
a) Escolher uma comida significa escolher um elemento de S ou um elemento de D. A pessoa poderá escolher qualquer uma das (3+2) 5 comidas. b) O esquema a seguir, denominado árvore das
possibilidades , fornece todas as possibilidades para que ela escolha um sanduíche e um doce.
Obtivemos um total de 6 possibilidades. Esses problemas ilustram os dois princípios fundamentais de contagem : o princípio aditivo e o princípio multiplicativo. Generalizando:
Sendo A um conjunto com m elementos e B um conjunto com p elementos, A e B disjuntos, valem os seguintes princípios:
a) Aditivo: Para a escolha de um elemento de A ou um elemento de B existem m+p possibilidades. b) Multiplicativo: Para a escolha de um elemento de A e um elemento de B existem m.p possibilidades.
EXERCÍCIOS DE SALA
- (Univ. Federal Bahia) Existem 5 ruas ligando os supermercados S 1 e S 2 e 3 ruas ligando os supermercados S 2 e S 3. Para ir de S 1 a S 3 , passando- se por S 2 , o número de trajetos diferentes que podem ser utilizados é: a) 15 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3
- (UnB) Uma pessoa joga simultaneamente 3 dados de cores diferentes. As cores dos dados são
amarela, vermelha e branca. Calcule o número de casos possíveis em que o dado vermelho apresenta o mesmo resultado que o branco.
- (UnB) Um rapaz está em dúvida quanto a 4 algarismos consecutivos do telefone da namorada. Sabe quais são esses algarismos, mas não se lembra da ordem em que aparecem. Sabendo-se que os algarismos são todos distintos, ache a quantidade de números errados que poderá compor?
- Quantos números naturais de 5 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
- (Fuvest) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais? a) 5 9 b) 9 F 0B 4 8 4 c) 9 F 0B 4 8 4 d) 8 5 e) 9 5
ARRANJOS SIMPLES
Dado um conjunto A com n elementos, chamamos de arranjos simples dos n elementos, tomados p a p , cada um dos agrupamentos ordenados que podem ser formados contendo, sem repetição, p elementos de A. O número de arranjos simples pode ser obtido pelo princípio
PERMUTAÇÕES SIMPLES COM
ELEMENTOS REPETIDOS
O número de permutações simples de n elementos, dos quais há F 0 6 1 repetições^ de^ um^ elemento,^ F 0 6 2 repetições de um segundo elemento, ..., F 06 7 repetições de um outro elemento é dado por:
Exemplo
Uma partícula desloca-se sobre uma reta, percorrendo 1m para a esquerda ou para a direita a cada movimento. Calcule de quantas maneiras diferentes a partícula pode realizar uma seqüência de 6 movimentos, terminando na posição de partida.
Vamos criar um exemplo de percurso possível, em que com seis movimentos se retorna ao ponto inicial, sendo E passo dado para esquerda e D passo dado para a direita:
EDEDED
EEDEDD
EEEDDD
São exemplos de percursos. Compare quais são as semelhanças e as diferenças entre esses três exemplos. Todos os exemplos são sequencias com seis elementos sendo três deles E e outros três D, o que muda de um exemplo para o outro é apenas a ordem de seus elementos. Portanto trata-se de um problema de permutação com elementos repetidos.
. Resposta: existem 20 percursos diferentes possíveis.
O modelo de PAU e BOLA
Qual o número de soluções naturais da equação x + y = 2? Observe que cada solução da equação está associada a uma das permutações, conforme o modelo a seguir: (2,0) F 0B 7^ F 0B 7^ F 0B D (1,1) F 0B 7^ F 0B D^ F 0B 7 (0,2) F 0B D^ F 0B 7^ F 0B 7 ,
em que o número de bolas antes do traço é o valor de x, e o número de bolas depois do traço é o valor de y. Portanto, o número de soluções naturais é igual à quantidade de permutações possíveis de se fazer com três símbolos, dentre os quais dois são repetidos, ou seja, soluções.
EXERCÍCIOS DE SALA
- Considere a palavra BANANA. a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos anagramas começam por A?
- Julgue os itens abaixo com relação as palavras ARACAJU, SERGIPE E ITABAIANA.
0 0 - O número de anagramas da 1a. é 840.
1 1 - O número de anagramas da 2a, em que as vogais aparecem juntas é P (^) 3,2. P 5.
2 2 - O número de anagramas da 3a. é 7560.
3 3 - O número de anagramas da 2a. que começa com vogal é menor que
4 4 - O número de anagramas da 3a. que termina com I é 1680.
16. (UFS – 2002 – adaptada)
0 0 - O número de anagramas da palavra ARACAJU, em que as vogais aparecem juntas, é 24.
17 .Determine o número de soluções naturais da equação x + y + z = 3.
- Uma mercearia tem, em seu estoque, pacotes de café de 3 marcas diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes de café. De quantas formas pode fazê-lo, de modo que ela leve pelo menos um pacote de cada marca?
COMBINAÇÕES SIMPLES
Dado um conjunto A com n elementos, chamamos de combinações simples dos n elementos, tomados p a p , cada um dos subconjuntos que podem ser formados contendo, cada um, p elementos de A. O número de combinações simples pode ser obtido pela fórmula:
em que n F 0C E IN, p F 0C E IN e n F 0B 3 p.
COMBINAÇÕES COMPLETAS
Dado um conjunto A com n elementos, chamamos de
combinações completas (com repetição) dos n elementos, tomados p a p , cada um dos grupos de p elementos que podem ser formados com elementos repetidos ou não. O número de combinações completas pode ser obtido pela fórmula:
em que n F 0C E IN e p F 0C E IN.
Exemplo 1 Quantas comissões com duas pessoas podemos formar, havendo quatro pessoas disponíveis?
Considerando que as pessoas são A, B, C e D, então as comissões serão: comissões.
A saber: F 0 7 B A,B F 0 7 D ,^ F 0 7 B A,C F 0 7 D ,^ F 0 7 B A,D F 0 7 D ,^ F 0 7 B B,C F 0 7 D , F 0 7 B B,D F 0 7 D ,^ F 0 7 B C,D F 0 7 D. Exemplo 2
Uma empresa necessita adquirir três automóveis, que deverão ser escolhidos entre quatro marcas diferentes. Determine o número de maneiras distintas que isto pode ser feito?
Considerando que as marcas de automóveis sejam A, B, C e D, então as formas de se comprar três automóveis são:
AAA
BBB
CCC
DDD
AAB
AAC
AAD
BBA
BBC
BBD
CCA
CCB
CCD
DDA
ABC
ABD
ACD
BCD
em que n F 0C E N, p F 0C E N e n F 0B 3 p.
Alguns números binomiais têm
resultado imediato:
NÚMEROS BINOMIAIS
COMPLEMENTARES
Dois números binomiais e são
complementares se p + q = n.
Propriedade:
- Dois números binomiais complementares são iguais.
RELAÇÃO DE STIFEL
Para dois números binomiais
consecutivos e , tem-se:
EXERCÍCIOS DE SALA
- Resolva a equação:.
- Resolva as equações:
- A soma S é igual a:
S =
)a )b )c )d )e n.d.a.
TAREFÃO
Assunto: Fatorial e Princípio Fundamental da Contagem.
- Julgue os itens a seguir.
F 0 7 5 Uma sala tem dez portas. Existem 1023 maneiras diferentes dessa sala poder ser aberta. F 0 7 6 A quantidade de números ímpares de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 é 144. F 0 7 7 As novas placas dos veículos são formadas por três letras seguidas por quatro algarismos, como, por exemplo, GYK 0447. O número de placas diferente que podem ser construídas é, em milhões de placas, aproximadamente igual a 150.
F 0 7 8 Uma prova de Matemática contém 30 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão cinco alternativas. Se todas as questões forem respondidas ao acaso, o número de maneiras de preencher a folha de respostas é de 5 30.
F 0 7 9 Diante do caixa eletrônico de um banco, Mariana não conseguia lembrar-se da sua senha de seis dígitos. Lembrava-se apenas, dos dois primeiros (mês do seu nascimento) e dos dois últimos (sua idade atual). Supondo que levou cerca de um minuto em cada tentativa de completar a senha e que esgotou todas as alternativas distintas possíveis, somente acertando na última, Mariana retirou os reais desejados após cerca de 1h40min.
- Da análise combinatória pode-se afirmar que:
F 0 7 5 No^ sistema^ de^ numeração existem 2 240 números ímpares formados por 4 algarismos distintos.
F 0 7 6 Com os elementos do conjunto {2, 4, 5, 6, 7, 8} podem-se formar 120 números de 3 algarismos distintos começados por um algarismo par.
F 0 7 7 Existem^1680 números^ entre 10000 e 20000 formados com algarismos distintos de 1 a 9.
F 0 7 8 A equação^ tem duas^ soluções no campo real.
F 0 7 9 Se (3x – 2)! = 1, então x = 1 ou x = 2/3.
- (UnB) Seja a o último algarismo da soma 1! + 2! + 3! + ... + 99!. Calcule p(a) em que p(x) = x^5 – 3x 3 – 6x 2 – 12x + 1.
- (UnB) Para ir de um acampamento A para um acampamento B, um escoteiro dispõe de 4 trilhas diferentes, enquanto que para ir de B ao acampamento C existem 6 trilhas distintas (qualquer trajeto de A até C, ou vice-versa, passa necessariamente por B). Com base nisso, julgue os itens.
F 0 7 5 Se um escoteiro pretende ir de A até C e voltar a A sem utilizar, no percurso de volta, qualquer trecho do trajeto utilizado na ida, então ele dispõe de 360 maneiras distintas de fazer esse percurso.
F 0 7 6 Se o escoteiro deseja fazer o percurso de ida e volta de A a C, podendo repetir na volta a mesma trilha entre B e C usada na ida, mas não a trilha usada para ir de A a B, então número possível de tais trajetos é 576.
- (GV) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco, mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é: )a 1680 )b 1344 c) 720 d) 224 e) 136
6 .(UnB) Em um condomínio foram construídas duas fileiras paralelas de casas, com a mesma planta, cada fileira contendo 7 casas. Decidiu-se utilizar 4 cores para a pintura externa das casas, sendo que cada casa deveria ser pintada de uma só cor e casas vizinhas não poderiam ser pintadas com a mesma cor. Sendo n o número de maneiras diferentes de pintar esse conjunto de casas, calcular. Observação: casas vizinhas são os subconjuntos de 4 casas próximas formando um retângulo.
- (IME) Seja um barco com 8 lugares, numerados como no diagrama a seguir. Há 8 remadores possíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: os remadores A e B só podem ocupar posições ímpares e o remador C, posição par. Os remadores D, E, F, G e H podem ocupar quaisquer posições. Quantas configurações podem ser obtidas com o barco totalmente guarnecido?
- Uma placa de automóvel é formada por duas letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas podem ser confeccionadas com as letras A, B, C, D e os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
- Em um ônibus há cinco lugares vagos. Duas pessoas tomam o
- O horário de uma classe, num certo dia da semana, deve conter 8 aulas, sendo 2 de História, 2 de Matemática, 2 de Português e 2 de Física, todas de assuntos diferentes (por exemplo, das duas aulas de História, uma é de História Geral e a outra de História do Brasil). Determine de quantas maneiras pode ser feito o horário desse dia, se a primeira e a última aula devem ser de matérias de exatas (Física ou Matemática).
- (UnB) Determine quantos números de 5 algarismos, que não sejam maiores que 47193, podem-se obter permutando os algarismos 1, 3, 4, 7 e 9.
- (Taubaté) De quantas maneiras diferentes podem ser dispostos em seqüência, na prateleira de uma estante, 3 livros de História, 3 de Matemática e 1 de Geografia, de modo que em cada extremidade se tenha um livro de História?
a) 720 b) 36 c) 81 d) 126 e) n.d.a.
- O número de anagramas da palavra ESCOLA, que não apresentam juntas duas vogais nem duas consoantes, é:
a) 72 b) 36 c) 48 d) 12 e) 46
- (UnB) Com 3 consoantes e 3 vogais colocadas alternadamente, quantos anagramas de 6 letras, começados por consoantes, podemos
formar? Observação : considere as 6 letras diferentes.
- Em quantos anagramas da palavra BIJETORA as vogais e as consoantes estão intercaladas?
Assunto: Permutação com Repetição
- Uma pessoa encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Cada passo que dá corresponde a uma unidade de medida. Se pode andar apenas para Leste ou para Norte, quantos percursos diferentes poderá fazer para atingir o ponto (3, 4)?
- Uma pastelaria vende pastéis de carne, de queijo, de palmito e de frango. De quantas maneiras uma pessoa pode comprar 8 pastéis, sendo pelo menos um de cada sabor?
- Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna?
- Dos anagramas da palavra Garrafa, quantos começam por consoante?
- (ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO apresentam as vogais em ordem alfabética?
Assunto: Combinação e Números
Binomiais
- (UnB) Cada pedra de “um jogo de dominó” é constituída de dois números. As peças são simétricas, ou seja, o par de números não é ordenado.
Quantas peças diferentes podem ser formadas usando os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?
- (UnB) Sete pessoas trabalham num setor de uma fábrica que funciona em três turnos diários. No primeiro turno trabalham 2 pessoas, no segundo trabalham 2 e no terceiro
- Calcule de quantas maneiras pode- se fazer a escala do dia, sabendo-se que as duas únicas mulheres da equipe não podem trabalhar no período noturno e que cada pessoa só pode trabalhar em um turno.
- (UnB) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Determinar quantos triângulos serão obtidos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos.
30 .(UnB) Ao final de uma festa, ocorrem 28 apertos de mão para as despedidas. Considere que cada participante despediu-se de todos os demais. Calcule o número de pessoas que estavam presentes.
- (Fuvest) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, 3, …, até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas as apostas que acertarem pelo menos 4 dos 6 números sorteados. Um grupo de amigos resolveu participar do jogo, escolhendo 15 números e fazendo os jogos possíveis de serem realizados com esses 15 números. Realizado o sorteio, verificaram que exatamente 4 dos 6 números sorteados estavam entre os 15 que eles escolheram. Qual foi o número de prêmios que esses amigos ganharam?
- Julgue os itens a seguir.
F 0 7 5 Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. O número total de lutas que podem ser realizadas, entre os inscritos, é 66.
F 0 7 6 Em^ uma^ reunião^ social^ havia^ n pessoas e cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo-se que houve ao todo 66 apertos de mão, podemos afirmar que n é um múltiplo de 6.
F 0 7 7 Num campeonato de futebol, em que participam 20 times, foram formados 4 grupos com 5 times cada. Suponha que, em cada grupo, cada time deve jogar uma vez com todos os outros. De cada grupo saem dois classificados que formam dois novos grupos de 4 times cada. Novamente, cada time deve jogar com todos os outros do seu grupo. Os vencedores de cada grupo disputarão a partida final. Então o número total de jogos realizados foi 53.
- Resolva as equações:
- Resolva as equações: a)
b)
c) d)
- Julgue os itens a respeito do Triângulo de Pascal.
0 0 - Se S = , então S = 1024.
1 1 - Se S = , então S = F 0E D 11 F 0F D.
2 2 - Com n bolas esféricas de mesmo tamanho, forma-se uma pilha semelhante a um tetraedro regular. Se para a base usa-se um triângulo eqüilátero com 18 bolas de lado, a soma dos algarismos de n é igual 6.
3 3 - A soma dos números binomiais de uma mesma coluna,
)32 VVV
)33 S =
)34 a) S =
b) S = ∅
c) S = { 5, 8}
d) S = { -2, 4}
35) FVVVV
