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UFPA C´alculo 1
Nenhuma pesquisa feita pelo ser humano pode ser chamada realmente de ciˆencia se ela n˜ao puder ser demonstrada mate- maticamente.^1
Analise
NOC¸ ˜OES INICIAIS SOBRE S´ERIES
NUM´ERICAS
Na aula anterior estudamos certas seq¨uˆencias que tinham a particula- ridade de que seus termos gerais eram representados por somas. Relem- bremos algumas delas.
Exemplo 1. Comecemos com a seq¨uˆencia dada por
Sn = 1 + r + r^2 +... + rn,
em que r ´e um n´umero real, e observemos que as parcelas desta soma s˜ao termos de uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao r. Como j´a foi visto
Sn = 1 + r + r^2 +... + rn^ = 1 − rn+ 1 − r , se r 6 = 1.
Supondo que |r| < 1 a seq¨uˆencia acima converge para (^1) −^1 r , ou seja, a medida que n cresce a soma Sn aumenta o n´umero de parcelas de modo que fazer n → +∞ seria, grosso modo, considerar uma soma com um n´umero infinito de parcelas, de modo que ´e razo´avel pensar em fazer
nlim→∞ Sn^ = lim n→∞(1 +^ r^ +^ r^2 +^...^ +^ rn) = lim n→∞
∑^ n
j=
rj^ =
∑^ ∞
j=
rj
que ´e, de maneira ainda pouco rigorosa, um tipo de soma com a qual trabalharemos nesta aula e a seguinte. Assim, poder´ıamos escrever
∑^ ∞
n=
rn^ =
1 − r
desde que |r| < 1. Isto nos diz que podemos ”somar”uma quantidade infinita de parcelas mas o resultado desta opera¸c˜ao pode ser algo finito.
Vejamos um outro exemplo.
Exemplo 2. Consideremos a seq¨uˆencia (Sn) dada por
Sn = 1 +
n (^1) Leonardo da Vinci
2 C´alculo UFPA
vista no exemplo 4 da Aula 3 e fa¸camos as seguintes estimativas:
1 +
e prosseguindo desta maneira, obtemos
1 +
2 n^
1 + n ·
Como lim n · 12 = ∞ tem-se, por compara¸c˜ao, que a seq¨uˆencia (Sn) tende para +∞. Neste caso, a ”soma”de uma quantidade infinita de parcelas ´e infinita, muito embora as parcelas tendam a zero. Neste caso, diz-se que a s´erie
1 +
n
∑^ ∞
n=
n
´e divergente e a sua soma ´e +∞.
Exemplo 3. No exemplo 1 ”somamos”infinitas parcelas o que resultou em algo finito. No exemplo 2 tivemos um resultado infinito. Vejamos um outro exemplo em que nenhuma destas coisas ocorre. Consideremos a seq¨uˆencia cujos termos s˜ao somas dadas por
S 1 = 1, S 2 = 1 − 1 , S 3 = 1 − 1 + 1, S 4 = 1 − 1 + 1 − 1 ,....
Na nota¸c˜ao de soma infinita podemos escrever
∑^ ∞
n=
(−1)n+1.
Pode-se observar que
S 1 = S 3 = S 5 = · · · = 1
ao passo que S 2 = S 4 = S 6 = · · · = 0
de modo que a seq¨uˆencia (Sn) diverge pois ela possui duas subsequˆencias convergindo para limites distintos. Assim, a ”soma infinita”
n=1(−1)n+ nem possui valor finito nem resulta em +∞.
Para concluir este exemplo, convidamos o leitor a analisar criticamente o que ser´a feito abaixo e identificar as falhas nos argumentos.
Consideremos a ”soma”
S = 1−1+1−1+1−1+· · · = (1−1)+(1−1)+(1−1)+· · · = 0+0+0+· · · = 0.
4 C´alculo UFPA
Vejamos alguns exemplos ilustrativos
Exemplo 4. Consideremos o n´umero decimal
0 , 999...
que pode ser visto como sendo a s´erie
0 , 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + · · ·
e que pode ser reescrita como
9 10
[
]
em que o termo entre colchetes ´e familiar ao leitor. Basta que ele recorde da soma dos termos de uma s´erie geom´etrica com raz˜ao 0 < r < 1. No presente caso tem-se que r = 101. Deste modo,
o que confirma exatamente aquilo que esper´avamos, ou seja,
0 , 999... = 1.
Mais geralmente, dado r pertencente ao intervalo (− 1 , 1) tem-se que
∑^ ∞
n=
rn^ =
1 − r
sendo que nos outros casos em que |r| ≥ 1 a s´erie geom´etrica diverge.
Exemplo 5. Vejamos uma outra situa¸c˜ao que tamb´em recai em uma s´erie geom´etrica. Consideremos a d´ızima peri´odica d = 0, 215626262... e determinemos a sua geratriz. Neste caso tem-se
d = 0, 215 + 0, 00062 + 0, 0000062 + 0, 000000062 +...
de modo que
d =
e da´ı
d =
[
]
UFPA C´alculo 5
em que o termo entre colchetes ´e um s´erie geom´etrica cuja raz˜ao ´e 1012. Logo,
d =
e ent˜ao d =
que ´e a geratriz da d´ızima peri´odica em estudo.
Exemplo 6. Consideremos, agora, a s´erie
1 1 · 2
n(n + 1)
conhecida como S´erie Telesc´opica. Observando que
1 n(n + 1)
n
n + 1
pode-se escrever a soma parcial sn como
sn =
n(n + 1)
n
n + 1
n + 1
Deve-se notar que nesssa soma os termos 12 e −^12 , 13 e −^13 ,... , (^1) n e − (^1) n se cancelam, sobrando apenas 1 e − (^) n^1 +1. De modo que
lim sn = lim
[
n(n + 1)
]
= lim
[
n + 1
]
Portanto, a s´erie telesc´opica converge e
∑^ ∞
n=
n(n + 1)
Antes de prosseguirmos com mais exemplos, estabeleceremos alguns resultados ´uteis, alguns dos quais s˜ao consequˆencias imediatas das pro- priedades satisfeitas por sequˆencias.
Teorema 1. Se λ 6 = 0, ent˜ao a s´erie
∑^ ∞
n=
λan converge se, e somente se,
∑^ ∞
n=
an convergir.
UFPA C´alculo 7
Observa¸c˜ao 2. A convergˆencia( ou a divergˆencia) de uma s´erie n˜ao ´e alterada se adicionarmos ou suprimirmos um n´umero finito de termos na parte inicial da s´erie. Por exemplo, se suprimirmos os primeiros k termos
de uma s´erie
∑^ ∞
n=
an e se a soma dos termos suprimidos for igual a c, ent˜ao
cada nova soma parcial Tn possui a forma Sn+k − c. Mas lim(Sn+k − c) existe se, e somente se, lim Sn+k existir, e lim Sn+k existe se, e somente se, lim Sn existir.
A partir de agora usaremos simplesmente a nota¸c˜ao
an para designar
a s´erie
∑^ ∞
n=
an deixando claro que em alguns casos, como o leitor deve ter
percebido, os ´ındices representados na s´erie podem come¸car com n = 0,
ou seja, podemos ter
∑^ ∞
n=
an.
O Teste de Cauchy para seq¨uencias ´e traduzido na linguagem das s´eries como
Teorema 4. (Teste de Cauchy para S´eries.)A s´erie
an converge se, e somente se, dado > 0, existir n 0 ∈ N tal queI ∣∣ ∣ ∣∣
∑^ m
j=n
aj
∣∣ < ^ para todos^ m^ ≥^ n^ ≥^ n 0.
O leitor deve reler o Teste de Cauchy para seq¨uencias e observar que o teorema acima ´e conseq¨uˆencia imediata dele, observando que a con- vergˆencia(ou divergˆencia) de uma s´erie ´e simplesmente a convergˆencia(ou divergˆencia) de uma seq¨uencia de somas parciais.
Deve-se observar que ainda n˜ao temos testes gerais para an´alise da convergˆencia de s´eries. Come¸caremos, a partir de agora, a introduzir v´arios crit´erios que nos garantir˜ao se uma determinada s´erie converge ou n˜ao.
Teorema 5. Consideremos a s´erie
an em que an ≥ 0 para todo n ∈ N e que exista um n´umero positivo K tal que
sn =
∑^ n
j=
aj ≤ K
para todo n ∈ N. Ent˜ao a s´erie
an ´e convergente.
Demonstra¸∑ c˜ao. Inicialmente relembremos que a convergˆencia da s´erie an ´e equivalente `a da convergˆencia da seq¨uˆencia das somas parciais (sn). Desde que os termos da s´erie s˜ao n˜ao-negativos tem-se que
sn =
∑^ n
j=
aj ≤ sn+1 = sn + an+
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e como, por hip´otese, a seq¨uˆencia (sn) ´e limitada, ent˜ao ela ´e convergente, o que conclui a demonstra¸c˜ao do teorema.
Vejamos, a seguir, o Teste da Compara¸c˜ao
Teorema 6. (Teste da Compara¸c˜ao)Sejam (an) e (bn) seq¨uˆencias tais que 0 ≤ an ≤ bn, para todo n ∈ N. Se a s´erie
∑ bn^ convergir, ent˜ao a s´erie an converge.
Demonstra¸c˜ao. Sejam Sn e sn as somas parciais
Sn =
∑^ n
j=
bj
e
sn =
∑^ n
j=
aj
de modo que, em virtude de 0 ≤ an ≤ bn, para todo n ∈ N, tem-se
0 ≤ sn ≤ Sn.
Como
bn converge, existe K > 0 tal que Sn ≤ K, para todo n ∈ N e da´ı, como conseq¨uˆencia da compara¸c˜ao acima, obt´em-se
0 ≤ sn ≤ Sn ≤ K,
para todo n ∈ N, de modo que a seq¨uˆencia (sn) ´e n˜ao-decrescente e lim- itada superiormente. Pelo teorema anterior ela ´e convergente, ou seja, a s´erie
an converge.
Corol´ario 3. Sejam (an) e (bn) seq¨uˆencias tais que 0 ≤ an ≤ bn, para todo n ∈ N. Se a s´erie
an divergir, ent˜ao a s´erie
bn diverge.
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao deste corol´ario ´e imediata e ser´a deixada como exerc´ıcio.
Exemplo 8. Como aplica¸c˜ao do teste acima, estudemos a s´erie ∑ (^1) √ n
e a comparemos com a s´erie harmˆonica ∑ (^1) n
Observando que
n ≤ n, para todo n ∈ N, obt´em-se 1 n
n
para todo n ∈ N, e usando o corol´ario 3, conclu´ımos que
n diverge pois a s´erie harmˆonica diverge.
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Exerc´ıcio 12. Mostre que a s´erie
1 2
diverge.
Exerc´ıcio 13. Para cada uma das s´eries abaixo, determine os valores de x para os quais ela converge.
(a)
(5x)n
(b)
(x − 1)n
(c)
∑ (x 4
)n
(d)
∑ (x− 2 3
)n
Exerc´ıcio 14. Verifique se a s´erie
∑ 3 n^ + 4n 5 n
converge e, em caso afirmativo, calcule sua soma.
Exerc´ıcio 15. Mostre que a s´erie
∑ (^1) √ n +
n − 1
diverge.
Exerc´ıcio 16. Se (an) e (bn) forem seq¨uˆencias com termos n˜ao-negativos e se
a^2 n e
n convergirem, ent˜ao^
anbn convergir´a.
Exerc´ıcio 17. Use fra¸c˜oes parciais para mostrar que
∑^ ∞
n=
(n + 1)(n + 2)
Exerc´ıcio 18. Se
an, an > 0, for convergente, ent˜ao
a^2 n ´e conver- gente. Falso ou verdadeiro? Justifique.
Exerc´ıcio 19. Se
an, an > 0, for convergente, ent˜ao
an ´e conver- gente. Falso ou verdadeiro? Justifique.
