Conjuntos Numéricos - 01, Notas de estudo de Matemática

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Conjuntos Observe a seguinte informação: Num grupo de 80 pessoas, verificou-se que 50 gostam de brigadeiro e 45 gostam de pizza. De imediato, parece uma sentença sem lógica, pois 50 + 45 = 95 e esse valor é superior ao total de pessoas. Entretanto, a afirmação não está errada. Ela diz que 50 pessoas gostam de brigadeiro, mas não disse que gostam de APENAS de brigadeiro. Algumas delas podem gostar de brigadeiro e pizza também (eu seria uma delas). Gostar de um alimento não impede que você goste de outros alimentos. As pessoas que, nesse exemplo, gostam de brigadeiro e pizza, elas se encontram na INTERSECÇÃO. Falar em intersecção, é relacionar diretamente a CONJUNTOS. Ainda nessa situação, para saber a quantidade de pessoas que participam dos dois conjuntos, temos a seguinte fórmula: n(A) + n(B) – n(A∩B) = n(A∪B) Onde n(A) → número de pessoas que estão no conjunto A. n(B) → número de pessoas que estão no conjunto B. n(A∩B) → número de pessoas que estão nos conjuntos A e B, isto é, na intersecção. n(A∪B) → número de pessoas que estão em pelo menos um dos conjuntos. O primeiro passo de um problema desse tipo é retirar do total as pessoas que NÃO participam dos conjuntos. Quando não houver, colocar zero (0). 80 – 0 = 80 Nesse exemplo, tem-se: n(A) + n(B) – n(A∩B) = n(A∪B) 50 + 45 - n(A∩B) = 80 95 - n(A∩B) = 80 n(A∩B) = 95 – 80 n(A∩B) = 15 Então, 15 pessoas gostam de brigadeiro e pizza. Para saber a quantidade de pessoas que gostam de apenas um dos alimentos, pode-se fazer: APENAS BRIGADEIRO: 50 – 15 = 35 APENAS PIZZA: 45 – 15 = 30 Exercícios:

1. No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é a) 778 b) 658 c) 120 d) 131 Resolução: Inicialmente, devemos retirar do total as pessoas que não falam nenhum desses idiomas. 979 – 321 = 658

x = 40% (alternativa A)

4. Uma editora entrevistou 200 alunos de uma escola, verificando se haviam lido os livros A e B. Concluiu-se que 102 alunos leram o livro A, 32 leram ambos e 48 não leram esses livros. Quantos leram somente o livro B? a) 152 b) 134 c) 82 d) 50 e) 30 Resolução: Inicialmente, iremos retirar do total os alunos que não leram esses livros. 200 – 48 = 152 n(A) + n(B) – n(A∩B) = n(A∪B) 102 + x – 32 = 152 x = 152 – 102 + 32 x = 82 Temos que 82 pessoas leram o livro B. Entretanto, o exercício pede as pessoas que leram SOMENTE o livro B. Se 82 pessoas leram o livro B, mas dentre elas, 32 leram os dois livros, logo: 82 – 32 = 50 leram somente o livro B. (alternativa D)
5. Numa cidade de 10.000 habitantes são consumidas cervejas de dois tipos A e B. Sabendo que 45% da população tomam cerveja A, 15% tomam os dois tipos de cerveja e 20% não tomam cerveja. Quantos são os habitantes que tomam da cerveja B? a) 3. b) 5. c) 4. d) 4. e) 2. Resolução: A porcentagem inicial é 100%. Devemos retirar a porcentagem dos habitantes que não tomam cerveja. Logo, 100% - 20% = 80%. n(A) + n(B) – n(A∩B) = n(A∪B) 45% + x – 15% = 80% x = 80 – 45% + 15% x = 50% A porcentagem dos habitantes que tomam a cerveja B é de 50%. Como há 10000 habitantes. 50% de 10000 = 5000 (alternativa B)

6. Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natação, 260 musculação e 94 estão impossibilitados de fazer esportes. Neste caso, o número de alunos que fazem só natação é? a) 116. b) 142. c) 166. d) 176. e) 194. Resolução : Inicialmente, devemos retirar do total as pessoas que estão impossibilitadas de fazer esportes. 496 – 94 = 402 A → alunos que fazem natação B → alunos que fazem musculação n(A) + n(B) – n(A∩B) = n(A∪B) 210 + 260 – x = 402 470 – x = 402 x = 68 Temos que 68 alunos fazem as duas atividades. Para saber a quantidade de alunos que fazem somente natação: 210 – 68 = 142 (alternativa B)
7. Em uma pesquisa, constatou-se que, das 345 pessoas de um determinado local, 195 jogavam tênis, 105 jogavam tênis e vôlei, e 80 não jogavam nem vôlei nem tênis. Qual é o número de pessoas que jogavam vôlei e não jogavam tênis? a) 70 b) 75 c) 105 d) 180 e) 195 Resolução : Inicialmente, devemos retirar do total as pessoas que não jogam nem vôlei e nem tênis. 345 – 80 = 265 A → pessoas que jogam vôlei B → pessoas que jogam tênis n(A) + n(B) – n(A∩B) = n(A∪B) 195 + x – 105 = 265 x = 265 – 195 + 105 x = 175 pessoas jogam tênis.

x = 20 Probabilidade = 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 P = 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑜𝑠𝑡𝑎𝑚 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝐹í𝑠𝑖𝑐𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 P = 20 50 P = 2 5 (alternativa A)

10. Em uma escola regular, um grupo de alunos do terceiro ano decidiu fazer uma pesquisa a fim de verificar a pretensão de curso superior dos estudantes do último ano do ensino regular. Diante dos dados obtidos, observaram que o grupo pesquisado era composto de 500 estudantes, no qual 150 pretendiam cursar Matemática, 80 cursar Física e 10 Matemática e Física. Pergunta-se: Se um aluno for escolhido aleatoriamente nesse grupo, a probabilidade de ele não querer estudar Matemática ou Física é: a) 2% b) 14% c) 44% d) 56% Resolução: Sabe-se que 10 pessoas pretendem cursar Física e Matemática. Há 150 pessoas que afirmaram cursar Matemática, mas, dentre elas, há pessoas que pretendem cursar Matemática e Física. Logo: 150 – 10 =140 pessoas pretendem cursar SOMENTE Matemática. De maneira semelhante, há 80 pessoas que pretendem cursar Física. Logo: 80 – 10 = 70 pessoas pretendem cursar APENAS Física. Pessoas que não querem cursar nem Matemática e nem Física 500 – 10 – 140 – 70 = 500 – 220 = 280 Probabilidade = 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 P = 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛ã𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑎𝑟 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑒𝑚 𝐹í𝑠𝑖𝑐𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 P = 280 500 (simplificando a fração por 5) P = 56 100

(alternativa D)