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Universidade Federal de Vi¸cosa
Centro de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
a
Lista - MAT 137 - Introdu¸c˜ao `a ´Algebra Linear 2012/I
- Escreva cada um dos sistemas abaixo na forma matricial:
(a)
2 x + 8 y = 18
2 x + 2 y − 3 z = 3
x + 2 y + 7 z = 12
, (b)
2 x 1 + 3 x 2 + x 4 = − 2
4 x 1 + 5 x 2 +3x 3 +3x 4 = − 2
− 2 x 1 − 6 x 2 +7x 3 +7x 4 = − 16
8 x 1 + 9 x 2 +5x 3 +21x 4 = − 66
(c)
8 x + 12 y − 4 z = − 36
6 x + 5 y + 7 z = 11
2 x + y + 6 z = 16
, (d)
4 x 1 +2x 2 +x 3 = 6
− 4 x 1 − 6 x 2 +x 3 +3x 4 = 13
8 x 1
+16x 2
− 3 x 3
− 4 x 4
20 x 1
+10x 2
+4x 3
− 3 x 4
- Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o M´etodo da Matriz Inversa:
(a)
8 x + 12 y − 4 z = − 36
6 x + 5 y + 7 z = 11
2 x + y + 6 z = 16
, (b)
2 x − y − 3 z = 5
3 x − 2 y + 2 z = 5
5 x − 3 y − z = 16
- Resolva os seguintes sistemas utilizando o M´etodo de Gauss:
(a)
2 x − 3 y = 7
3 x + 5 y = 1
, (b)
2 x + 3 y − z = 1
3 x + 5 y + 2 z = 8
x − 2 y − 3 z = − 1
- Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
(i) uma ´unica solu¸c˜ao; (ii) infinitas solu¸c˜oes; (iii) nenhuma solu¸c˜ao:
(a)
x + y − z = 1
2 x + 3 y + kz = 3
x + ky + 3 z = 2
, (b)
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
(c)
x + 2 y + kz = 1
2 x + ky + 8 z = 3
, (d)
x + y + kz = 2
3 x + 4 y + 2 z = k
2 x + 3 y − z = 1
- Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado admita solu¸c˜ao
n˜ao-trivial:
(a)
x − y − z = 0
x − 2 y − 2 z = 0
2 x + ky + z = 0
, (b)
2 x − 5 y + 2 z = 0
x + y + z = 0
2 x + kz = 0
- Determine os valores reais de a e b para que o sistema linear
x + y − 2 z = 0
2 x + y + z = b
x + ay + z = 0
tenha:
(a) uma ´unica solu¸c˜ao; (b) infinitas solu¸c˜oes; (c) nenhuma solu¸c˜ao:
- Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado seja compat´ıvel.
(a)
− 4 x + 3 y = 2
5 x − 4 y = 0
2 x − y = k
, (b)
a 1
− 3 a 1 + 4 a 2 = k
2 a 1 − a 2 = − 7
- Considere a matriz A =
λ 0 1
1 λ − 1 0
0 0 λ + 1
, encontre os valores reais de^ λ^ para os quais o sistema ho-
mogˆeneo AX = 0 admite apenas a solu¸c˜ao trivial.
- Sejam
A =
,^ X^ =
x 1
x 2
x 3
,^ B 1 =
,^ B 2 =
,^ B 3 =
(a) Determine, se poss´ıvel, a inversa de A.
(b) Utilize o item (a) para resolver a equa¸c˜ao matricial AX = B k
para k = 1, 2 , 3.
- Determine a condi¸c˜ao que os n´umeros reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo,
o sistema dado tenha solu¸c˜ao.
(a)
x + 2 y − 3 z = a
2 x + 6 y − 11 z = b
x − 2 y + 7 z = c
, (b)
x + 2 y − 3 z = a
3 x − y + 2 z = b
x − 5 y + 8 z = c
(c)
x − 2 y + 4 z = a
2 x + 3 y − z = b
3 x + y + 2 z = b
, (d)
3 x − 7 y = a
x + y = b
5 x + 3 y = 5 a + 2b
x + 2 y = a + b − 1
(e)
x + 2 y = a
− 3 x + 4 y = b
2 x − y = c
, (f )
−a + 3 b = x
2 a − b = y
− 2 a + b = z
3 a + b = t
- Considere o sistema linear
ax + by = e
cx + dy = f
Mostre que:
(a) se ad − bc ̸= 0, ent˜ao o sistema tem uma ´unica solu¸c˜ao, dada por
x =
de − bf
ad − bc
e y =
af − ce
ad − bc
(b) se ad − bc = 0 e
a
c
b
d
e
f
, ent˜ao o sistema n˜ao tem solu¸c˜ao.
(c) se ad − bc = 0 e
a
c
b
d
e
f
, ent˜ao o sistema tem infinitas solu¸c˜oes.
- Dado o sistema linear S :
2 x + 3 y − z = 0
x − 4 y + 5 z = 0
(a) Verifique que x 1 = 1, y 1 = −1 e z 1 = −1 ´e uma solu¸c˜ao de S;
(b) Verifique que x 2
= −2, y 1
= 2 e z 1
= 2 tamb´em ´e uma solu¸c˜ao de S;
(x)
x + 3 y + 2 z + 3 t − 7 w = 14
2 x + 6 y + z − 2 t + 5 w = − 2
x + 3 y − z + 2 w = − 1
- Determine k, nos seguintes casos, de acordo com o que se pede.
(a) De modo que o sistema linear
− 4 x 1
5 x 1
− 4 x 2
2 x 1
− x 2
= k
admita solu¸c˜ao.
(b) De modo que o sistema linear homogˆeneo
2 x 1
− 5 x 2
x 1
2 x 1
tenha uma solu¸c˜ao distinta da solu¸c˜ao trivial.
(c) Que torne o sistema linear
3 x 1 + 5 x 2 + 12 x 3 − x 4 = − 3
x 1
− x 4
2 x 2
2 x 3
incompat´ıvel.
- Decida se a afirma¸c˜ao dada ´e (sempre) verdadeira ou (`as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um
argumento l´ogico matem´atico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se o sistema linear AX = 0 admite as solu¸c˜oes X 1 e X 2 , ent˜ao tamb´em admite k 1 X 1 + k 2 X 2 como
solu¸c˜ao, quaisquer que sejam os n´umeros reais k 1 e k 2.
(b) ( ) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que o sistema linear AX = 0 tenha somente a solu¸c˜ao
trivial ´e que det A ̸= 0.
(c) ( ) Todo sistema linear homogˆeneo admite a solu¸c˜ao trivial.
(d) ( ) Se X 1 e X 2 s˜ao solu¸c˜oes do sistema linear AX = 0, ent˜ao X 1 − X 2 ´e solu¸c˜ao de AX = 0.
(e) ( ) Se C ´e uma matriz invert´ıvel tal que CA = CB, ent˜ao os sistemas lineares AX = b e BX = b s˜ao
equivalentes.
(f) ( ) Se A ´e uma matriz tal que A
T A = A, ent˜ao os sistemas lineares AX = b e A
2 X = b s˜ao equivalentes.
- Uma refinaria de petr´oleo processa dois tipos de petr´oleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de
enxofre. Cada tonelada de petr´oleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no
setor de refinaria; j´a o petr´oleo com alto teor s˜ao necess´arios 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no
setor de refinaria. Se o setor de mistura est´a dispon´ıvel por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas
toneladas de cada tipo de combust´ıvel devem ser processadas de modo que os dois setores n˜ao fiquem ociosos?
- Um fabricante de pl´astico produz dois tipos de pl´astico: o normal e o especial. Para produzir uma tonelada
de pl´astico normal s˜ao necess´arias duas horas na f´abrica A e 5 horas na f´abrica B; j´a na produ¸c˜ao de uma
tonelada de pl´astico especial s˜ao necess´arias 2 horas na f´abrica A e 3 horas na f´abrica B. Se a f´abrica A
funciona 8 horas por dia e a f´abrica B funciona 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de pl´astico
devem ser produzidas diariamente para que as duas f´abricas se mantenham totalmente ocupadas?
- Um nutricionista est´a elaborando uma refei¸c˜ao que contenha os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento
A cont´em 2 unidades de prote´ına, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada grama do alimento
B cont´em 3 unidades de prote´ına, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. J´a o alimento no alimento
C encontramos 3 unidades de prote´ına, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refei¸c˜ao deve
fornecer exatamente 25 unidades de prote´ına, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos
gramas de cada tipo de alimento devem ser utilizados?
- Um cooperativa produz trˆes tipos de ra¸c˜ao: X, Y e Z, utilizando farelo de soja, gordura animal e milho.
Cada quilograma da ra¸c˜ao A cont´em 100 g de farelo de soja e 200 g de milho e n˜ao cont´em gordura animal;
cada quilograma da ra¸c˜ao B cont´em 300 g de farelo de soja, 100 g de gordura animal e 400 g de milho; cada
quilograma da ra¸c˜ao C cont´em 200 g de farelo de soja, 200 g de gordura animal e 100 g de milho.
Sabendo que a disponibilidade destes produtos na cooperativa nos meses de abril, maio e junho foi dada como
na tabela abaixo. Pede-se para determinar qual a quantidade de cada tipo de ra¸c˜ao foi produzido em cada
um destes meses.
Quant./ Mˆes Farelo de Soja Gordura Animal Milho
(em tonelada)
Abril 1 1,5 2
Maio 1,3 2 1,
Junho 1 1,4 1,
- Num torneio de triatlon as competi¸c˜oes: nado, corrida e ciclismo foram pontuadas com pesos x, y e z,
respectivamente. A tabela abaixo apresenta a pontua¸c˜ao dos quatro primeiros colocados em cada categoria e
sua respectiva classifica¸c˜ao final.
Nado Corrida Ciclismo Classifica¸c˜ao
Geral
Atleta 1 7,5 9 9 8,
Atleta 2 8 7 9 8
Atleta 3 9 7,5 8,5 7,
Atleta 4 7,5 8 8 7,
O terceiro atleta alegou que se as classifica¸c˜oes dos 1
◦ , 2
◦ e 4
◦ atletas estivessem corretas, ent˜ao sua classifia¸c˜ao
estaria incorreta. Sabendo que a classifica¸c˜ao geral foi obtida pela m´edia ponderada da pontua¸c˜ao de cada
uma das competi¸c˜oes e supondo que o terceiro atleta est´a correto determine:
Quant./mˆes P C G
Dezembro 15 10 14
Janeiro 13 5 17
