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Universidade Federal de Vi¸cosa
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas
Departamento de Matem´atica
a
Lista - MAT 137 - Introdu¸c˜ao `a ´Algebra Linear 2020/I
- Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens, 4 × 3 , 4 × 5 , 3 × 5 , 2 × 5 e 3 × 5.
Determine quais das seguintes express˜oes matriciais s˜ao poss´ıveis e determine a respectiva ordem.
(a) AE + B
T ; (b) C(D
T
T (CB).
- Determine a ordem das matrizes A, B, C, D e E, sabendo-se que AB
T tem ordem 5 × 3 , (C
T
tem ordem 4 × 6 e E
T C tem ordem 5 × 4.
- Seja a matriz A =
. Determine:
(a) A ordem de A;
(b) Os elementos a 23 , a 35 e a 43.
- Sejam as matrizes A, B, C, D e E que verificam ABCDE = EDCBA. Sabendo que C ´e uma
matriz de ordem 3 × 2 , quais s˜ao as ordens das outras quatro matrizes?
- Sejam as matrizes A =
, B^ =
C = AB e D = BA. Determine os elementos c 32 e d 43 , sendo (cij ) = C e (dij ) = D.
- Determine a matriz quadrada A = (aij ), de ordem 4 cujos elementos s˜ao dados por:
aij =
2 i − 3 j, se i < j
i
2
− 3 i + 4j, se i > j
- Seja a matriz A =
[
]
. Determine:
(a) A
2 ; (b) A
3 ; (c) A
31 ; (d) A
42 .
- Sejam A = (aij ) 70 × 5
e B = (bij ) 5 × 27
matrizes definidas por:
aij =
i, se i = j
i + j + 2 se i 6 = j
e bij =
j − 2 , se i < j
i/j se i ≥ j
Se D = AB, calcule o elemento d 35 , 2 , sendo D = (dij ).
- Determine n´umeros reais x e y tais que
[
x
3 y
2
y
2 x
2
]
[
−x 3 y
4 y 2 x
]
[
]
- Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z n´umeros reais tais que a matriz A seja sim´etrica.
(a) A =
[
− 2 x
]
, (b) B =
8 x + 3 − 10
y − 2 2 z 9
,^ (c)^ C^ =
8 x
2
y + x z + 3x 11
- Considere as matrizes:
A =
, B^ =
[
]
, C =
[
]
, D =
, E^ =
Quando poss´ıvel, calcule o que se pede.
(a) 4E − 2 D; (b) 2A
T
T − 3 D
T )
T ; (d) (BA
T − 2 C)
T .
- Diz-se que uma matriz B ´e uma raiz quadrada de uma matriz A se B
2 = A.
(a) Encontre duas ra´ızes quadradas de A =
[
]
(b) Existem quantas ra´ızes quadradas distintas de A =
[
]
? Justifique.
(c) Na sua opini˜ao qualquer matriz 2 × 2 tem pelo menos uma raiz quadrada? Justifique.
- Sejam A, B matrizes em Mn(IR). Se AB = BA, mostre que:
(a) (A ± B)
2 = A
2 ± 2 AB + B
2 ; (b) (A − B)(A + B) = A
2 − B
2 ;
(c) (A − B)(A
2
2 ) = A
3 − B
3 .
- Seja A matriz em Mn(IR). Mostre que:
(a) As matrizes AA
T , A + A
t e
(A + A
T ) s˜ao sim´etricas,
(b) A matriz
(A − A
T ) ´e antissim´etrica,
- Verifique que se A ´e uma matriz m × n, ent˜ao os tra¸cos de AA
T e A
T A est˜ao definidos. Em seguida
prove que tr(AA
T ) = tr(A
T A).
- Mostre que se A
T A = A, ent˜ao A ´e sim´etrica e A = A
2 .
- Suponha que A ´e uma matriz quadrada e que D ´e uma matriz diagonal tal que AD = I. O que se
pode afirmar sobre a matriz A? Justifique.
- Considere a matriz A =
a 11 0 · · · 0
0 a 22 · · · 0
. . .
0 0 · · · ann
, onde a 11 a 22 ...ann 6 = 0. Determine A
− 1 , a inversa
de A, se existir.
- Prove que se A ´e invers´ıvel e AB = AC, ent˜ao B = C.
- E poss´´ ıvel ter AB = I e B n˜ao ser inversa de A? Justifique sua resposta.
- Seja A uma matriz quadrada de ordem n, mostre que:
(a) Se A satisfaz a igualdade A
2 − 3 A + I = 0, ent˜ao A
− 1 = 3I − A.
(b) Se A ´e tal que A
n+ = 0, ent˜ao (I − A)
− 1 = I + A + A
2
n .
- Decida se a afirma¸c˜ao dada ´e (sempre) verdadeira ou (`as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando
um argumento l´ogico matem´atico ou um contra exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de A for constitu´ıda somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira
coluna de qualquer produto AB.
(b) ( ) Se a primeira linha de A for constitu´ıda somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira
linha de qualquer produto AB.
(c) ( ) Se a soma de matrizes AB +BA estiver definida, ent˜ao A e B devem ser matrizes quadradas.
(d) ( ) Se A ´e uma matriz quadrada com duas linhas idˆenticas, ent˜ao A
2 tem duas linhas idˆenticas.
(e) ( ) Se A ´e uma matriz quadrada e A
2 tem uma coluna constitu´ıda somente de zeros, ent˜ao
necessariamente A tem uma coluna constitu´ıda somente de zeros.
(f) ( ) Se AA
T ´e uma matriz singular (n˜ao invers´ıvel), ent˜ao A n˜ao ´e invers´ıvel.
(g) ( ) Se A ´e invers´ıvel e AB = 0, ent˜ao necessariamente B ´e a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes invers´ıveis ´e sempre uma matriz invers´ıvel.
(i) ( ) Se A ´e uma matriz quadrada tal que A
4 = 0, ent˜ao
(I − A)
− 1 = I + A + A
2
3 .
- Seja A uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante ´e igual a − 3 , pede-se:
(a) O determinante da matriz P dada por P = 4A
− 1 A
T .
(b) Decidir se P ´e ou n˜ao invers´ıvel.
(c) O determinante da matriz B obtida de A ap´os serem realizadas as seguintes opera¸c˜oes:
L 3 ←→ L 2 ; L 1 −→ L 1 + 2L 5 ; L 4 −→ − 3 L 4.
(d) Decidir se a matriz Q = AA
T ´e ou n˜ao invers´ıvel.
- Calcule o determinante da matriz A =
(a) Desenvolvendo-o pela segunda linha (usando cofatores).
(b) Usando opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz.
- Dadas as matrizes A =
e B =
, determine:
(a) det(AB); (b) A
− 1 ; (c) B
− 1 ; (d) (BA)
− 1 ; (e) det(C), onde CA
T = 2BC
2 .
- Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que det Q 6 = 0 e Q
3
2 = 0. Determine o valor de
det Q.
- Dada a matriz A =
, determine:
(a) det A utilizando as opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de A;
(b) det A
T ; (c) det(A
2 ); (d) det (A
− 1 ) ; (e) det(−A); (f ) det
3 AA
T
- Seja a matriz A =
(a) Determine o polinˆomio p(x) = det(xI 3 −A), onde I 3 ´e a matriz identidade de ordem 3 e x ∈ IR.
(b) Verifique que p(A) = 0, onde 0 ´e a matriz nula de ordem 3.
(c) Use o ´ıtem anterior para calcular a inversa de A.
- Calcule os seguintes determinantes:
- Sem calcular diretamente, verifique que
b + c a + c a + b
a b c
- Nos casos abaixo, determine A
− 1 , utilizando opera¸c˜oes elementares, se esta existir.
(a) A =
;^ (b)^ A^ =
[
]
(c) A =
; (d) A =
- Calcule o determinante da matriz abaixo e determine sua inversa, se esta existir;
B =
- Decida se a afirma¸c˜ao ´e (sempre) verdadeira ou (`as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um
argumento l´ogico matem´atico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) det(2A) = 2 det(A).
(b) ( ) det(I + A) = 1 + det(A).
(c) ( ) N˜ao existe matriz real quadrada A tal que det(AA
T ) = − 1.
(d) ( ) Se det(AA
T ) = 4, ent˜ao det(A) = 2.
(e) ( ) Se det(A) 6 = 0 e AB = 0, ent˜ao B ´e invers´ıvel.
(f) ( ) Se A ∈ Mn(IR) e n ´e par, ent˜ao det(A) = det(−A).
(g) ( ) Se A
100 ´e invers´ıvel, ent˜ao 3A tamb´em o ´e.
(h) ( ) Se a diagonal principal da matriz quadrada A consiste de zeros, ent˜ao det A = 0.
- A tiragem di´aria na cidade de Mimosa dos jornais: Dia a Dia, Nossa Hora, Acontece e Ur-
gente, durante o ano de 2002 est´a representada na seguinte tabela:
Dia a Dia Nossa Hora Acontece Urgente
Dias Uteis´ 400 600 450 650
Feriados 350 550 500 600
S´abados 350 600 500 650
Domingos 450 500 400 700
Determine:
(a) A tiragem de cada jornal em Mimosa em 2002, sabendo-se que 2002 tivemos 52 s´abados, 52
domingos, 12 feriados e 249 dias ´uteis.
(b) A estimativa de tiragem total de cada jornal em Mimosa para o ano de 2005, sabendo-se que
a previs˜ao ´e que at´e o final deste ano(2005) a tiragem tenha um aumento de 60% em rela¸c˜ao
`a 2002.
- Uma construtora est´a fazendo o or¸camento de 65 estabelecimentos rurais sendo estes divididos em:
20 de alvenaria, 30 mistos e 15 de madeira. A tabela abaixo descreve a quantidade de material
utilizado em cada tipo de constru¸c˜ao.
Tipo de constru¸c˜ao/ T´abuas Tijolos Telhas Tinta M˜ao-de-obra
Material (unidade) (mil) (mil) (litros) (dias)
Alvenaria 50 15 6 70 25
Madeira 500 1 5 20 30
Misto 200 8 7 50 40
Pede-se:
(a) Determinar, utilizando o produto de matrizes, a matriz A que descreve quantas unidades de
cada componente ser˜ao necess´arias para cumprir o or¸camento.
(b) Dar o significado do produto de matrizes AB, sendo A a matriz obtida no ´ıtem (a) e B a matriz
obtida pela tabela abaixo
Valor da Compra Transporte
(a unidade em reais) (a unidade em reias)
T´abuas 12 0,
Tijolos 100 20
Telhas 300 10
Tinta 3 0,
M˜ao-de-obra 40 1,
- Considere os adubos I,II,III e IV com caracter´ısticas e pre¸cos descritos nas tabelas abaixo:
(d) ( ) Dada a equa¸c˜ao matricial X
2
- 2X = 0, onde X ´e uma matriz quadrada de ordem n, n˜ao
singular. Ent˜ao esta equa¸c˜ao tem ´unica solu¸c˜ao.
(e) ( ) Se A, B ∈ Mn(IR) s˜ao tais que AB = 0 (matriz nula), ent˜ao BA tamb´em ´e a matriz nula.
(f) ( ) Se A, B ∈ Mn(IR) s˜ao tais que AB = 0 (matriz nula), ent˜ao A = 0 ou B = 0.
(g) ( ) A soma de duas matrizes sim´etricas de mesma ordem ´e uma matriz sim´etrica.
(h) ( ) O produto de duas matrizes sim´etricas de mesma ordem ´e uma matriz sim´etrica.
Nas afirmativas abaixo, A, B e C s˜ao matrizes de ordens apropriadas para as opera¸c˜oes indi-
cadas.
(i) ( ) Se AC = BC e C ´e invers´ıvel, ent˜ao A = B.
(j) ( ) Se AB = 0 e B ´e invers´ıvel, ent˜ao A = 0.
(k) ( ) Se AB = C e duas das matrizes s˜ao invers´ıveis, ent˜ao a terceira tamb´em ´e.
(l) ( ) Se AB = C e duas das matrizes s˜ao singulares (n˜ao invers´ıveis), ent˜ao a terceira tamb´em
´e.
- Uma mensagem contendo caracteres pode ser associada a uma matriz M fazendo uma corres-
pondˆencia entre cada caracter da mensagem e cada elemento da matriz atrav´es da tabela abaixo:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
V W X Y Z.! , -
Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar a matriz 3 × 3
P U X
A − V
I D A
,^ que que tem matriz mensagem associada^ M^ =
De modo geral, para transmitir uma mensagem de forma segura vamos utilizar a matriz chave
C =
, sendo^ C^ uma matriz invers´ıvel e codificamos a mensagem fazendo o produto
M · C =
, onde^ M^ ´e a matriz da mensagem.
Transmitimos esta nova mensagem (na pr´atica, envia-se a cadeia de n´umeros − 5 87 61
− 29 112 53 5 13 14). O receptor receber´a a matriz M · C e tem a tabela de corres-
pondˆencia entre caracteres e n´umeros. Para decodificar a mensagem ele deve efetuar a multiplica¸c˜ao
(M · C) · C
− 1 = M.
(a) Se vocˆe ´e o receptor e recebeu a mensagem codificada:
Utilizando a mesma matriz chave traduza a mensagem original.
(b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda vocˆe substituir a
matriz chave por
. Vocˆe tranmite a mensagem “CRETINO!!” a ele (codificada,
naturalmente!). Por que n˜ao ser´a poss´ıvel a ele decodificar sua mensagem?
