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EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DAS REGRAS DE PROBABILIDADES
Qual a probabilidade de retirar um rei ou um às de um baralho de 52 cartas, numa única tentativa?
De 300 estudantes, 100 estão matriculados em contabilidade, 80 em estatística. Estes dados incluem 30estudantes que estão matriculados em ambas as disciplinas. Qual a probabilidade de que um estudante aleatoriamente escolhido esteja matriculado em contabilidade ou em Estatística?
O seguinte grupo de pessoas está em uma sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18. Os eventos são definidos:
- A: a pessoa tem mais de 21 anos
- B : A pessoa tem menos de 21 anos
- C: A pessoa é um rapaz
- D: a pessoa é uma moça )a Qual a probabilidade de uma pessoa aleatoriamente escolhida ser moça com mais de 21 anos? )b Qual a probabilidade de ser rapaz ou ter menos de 21 anos?
- Uma pesquisa de mercado mostrou que 80% das casas pesquisadas tinham um aparelho de TV à cores e que 30% das casas pesquisadas tinham um forno de microondas. Como a pesquisa mostrou também que 20% das casa pesquisadas tinham os dois. Pede-se calcular a porcentagem de casas que não tem nenhum dos dois.
Casas pesquisad as
Micro Nã o- Mic ro
Total
TV 0,2 0,
Não-TV
Total 0,3 1,
- O gerente do departamento de atendimento de uma revendedora de carros, agrupou as reclamações dos clientes no último mês em : cliente atendido, exigente e normal conforme registrado na tabela abaixo: Client e
E
xi g e nt e
Normal Total
Atend ido
Não- atend ido
Total 2 0
Escolhendo aleatoriamente um cliente, pede-se calcular a probabilidade de que: a) o cliente tenha sido atendido sabendo que é exigente b) Não tenha sido atendido
Lançando um dado, seja A o evento sair o número 3 e B o evento sair um número ímpar. Qual a probabilidade de sair o número 3 dado que saiu um número ímpar?
Sabendo que no lançamento de 3 moedas aconteceram menos que duas coroas, pede-se determinar a probabilidade que sejam todas caras
milhas. Determinada marca de carro está no mercado há 4 anos e dos 1.000 carros vendidos nos primeiros 6 meses, 200 tinham defeitos que foram consertados sob o critério de dois anos, 100 sob o critério de 20.000 milhas e 50 foram qualificados sob os dois critérios. Qual é a probabilidade de um conserto ser necessário sob a garantia?
- Numa fábrica temos 100 máquinas. Algumas dessas máquinas são novas (N0 e outras velhas (V) e alumas são da firma K e outras da firma L. Est ad o
Fir m a
K L T
o t a l Nova (N) 35 3 0
Velha (V) 25 1 0
Total 60 4 0
Um operário entra na fábrica e pega uma máquina da firma L. Qual a probabilidade dela ser velha?
- Considere 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos, 100 são homens e 150 mulheres. 110 cursam física e 140 cursam química Sexo física Química total Homem 40 60 100 Mulher 70 80 150
Total 110 140 250
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química dado que é mulher?
19) Suponhamos que existam, num certo mercado, duas fábricas de
lâmpadas. A fábrica A produz 500 lâmpadas, das quais 25%
apresentam defeitos e a fábrica B produz 550 lâmpadas, das quais
26% são defeituosas; vamos supor também que as 1050 lâmpadas
são vendidas por um único vendedor. Por fim suponhamos que um
cliente vai comprar uma lâmpada sem especificar marca e que estas
foram dispostas ao acaso nas prateleiras.
a) Qual a probabilidade de receber uma lâmpada defeituosa?
b) Qual a probabilidade de, tendo recebido uma lâmpada perfeita, ela
ser da marca B?
20) EM UM DETERMINADO BAIRRO RESIDENCIAL, 60% DAS RESIDÊNCIAS
ASSINAM O JORNAL A, 80% ASSINAM O JORNAL B E 50% ASSINAM
AMBOS OS JORNAIS. SE UM LAR É SELECIONADO ALEATORIAMENTE:
A) QUAL A PROBABILIDADE DE ASSINAR AO MENOS UM DOS
JORNAIS?
B) QUAL A PROBABILIDADE DE ASSINAR EXATAMENTE UM DOS DOIS
JORNAIS?
21) SUPONHA QUE TODOS OS INDIVÍDUOS QUE COMPRARAM UMA
DETERMINADA CÂMERA DIGITAL, 60% INCLUEM UM CARTÃO DE
MEMÓRIA OPCIONAL NA COMPRA, 40% INCLUEM UMA PILHA EXTRA E
30% INCLUEM AMBOS.
A) DADO QUE O INDIVÍDUO SELECIONADO COMPROU UMA PILHA
EXTRA, A PROBABILIDADE DE COMPRA DE UM CARTÃO OPCIONAL
É:
22) APENAS 1 EM 1000 ADULTOS É ACOMETIDO POR UMA DOENÇA RARA
PARA O QUAL FOI DESENVOLVIDO UM TESTE DE DIAGNÓSTICO. O
TESTE FUNCIONA DE TAL FORMA QUE SE O INDIVIDUO TIVER A
DOENÇA, O RESULTADO SERÁ POSITIVO EM 99% DAS VEZES E SE NÃO
A TIVER, SERÁ POSITIVO EM APENAS 2% DAS VEZES. SE UM
INDIVIDUO SELECIONADO ALEATORIAMENTE FOR TESTADO E O
RESULTADO FOR POSITIVO, QUAL A PROBABILIDADE DELE TER A
DOENÇA?
apresentaram a não-conformidade A, 800 a B e 200 apresentaram ambas. Qual a probabilidade de que um produto não conforme tomado ao acaso, seja destruído?
- Com referência à tabela abaixo, qual a probabilidade de que uma família aleatoriamente escolhida tenha uma renda familiar: 5).)a entre 8.000 e 12. 5).)b (^) menos do que 13. 5).)c um dos dois extremos: menos de 8000 ou pelo menos 30. Renda familiar anual de 500 famílias
Categoria níveis de renda
nro de famílias
1 menos de
5 30.000 e mais
- De 100 pessoas que solicitaram emprego de programador de computadores , durante o ano passado, em uma grande empresa, 40 possuem experiência anterior (W) e 30 possuem um certificado profissional (C). Vinte dos candidatos possuíam tanto experiência anterior como certificado profissional e foram incluídos nas contagens dos dois grupos. 6).)a Elaborar um diagrama de Venn para descrever estes eventos 6).)b Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência ou certificado (ou ambos)? 6).)c Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência ou certificado mas não ambos? 6).)d Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha certificado dado que ele tenha alguma experiência anterior 6).)e Aplicar um teste para determinar se a posse de certificado e experiência anterior são eventos independentes.
Suponhamos que um aluno bastante otimista estime que a probabilidade de receber um conceito final A em Estatística é de 0.60 e a probabilidade de um B é de 0.40. É claro que ele não pode receber os dois conceitos, uma vez que eles são mutuamente exclusivos. 7).)a Determinar a probabilidade condicional de que obtenha um B dado que de fato tenha recebido um A 7).)b Aplicar um teste para demonstrar que tais eventos são dependentes
Em geral, a probabilidade de que um possível cliente faça uma compra quando procurado por um vendedor é 0.40. Se um vendedor seleciona do arquivo, aleatoriamente, três clientes e faz contato com os mesmos, qual a probabilidade de que os 3 façam compras?
Os clientes da empresa A podem escolher pagar suas contas por ano ou por biênio. O pagamento pode ser feito por cartão de crédito, com cheque ou com dinheiro. A inadimplência dos pagamentos é dado na tabela a seguir:
Pagamentos Nro de clientes cartão de crédito
Cheque dinheiro total
por ano 15 52 10 77 por biênio 18 108 20 146 Total 33 160 30 223
Calcule a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso: 9).)a pagar com cartão ou por biênio 9).)b pagar com cartão e por biênio 9).)c pagar anualmente com cheque, ou anualmente a dinheiro ou por biênio com cartão de crédito
- O gerente do departamento de atendimento de uma revendedora de carros agrupou as reclamações dos clientes no último mês em : Cliente atendido e não-atendido, e cliente exigente e normal, conforme a tabela abaixo:
Cliente exigente normal Atendido 3 56
15) A qualidade de CDs foi avaliada em termos da resistência a arranhão e
adequação das trilhas. Os resultados de 1000 CDs foram: Resistência a arranhão
Adequação das trilhas Aprovado Reprovado Alta 700 140 Baixa 100 60
Se um CD for selecionado ao acaso desse lote de 1000 CDs, qual é a probabilidade de ele:
a) Ter resistência a arranhão alta e ser aprovado na avaliação das trilhas?
b) Ser aprovado na avaliação das trilhas ou ter resistência a arranhão alta?
c) Ser aprovado na avaliação das trilhas dado que tem resistência a
arranhão alta?
d) Ter resistência a arranhão alta dado que foi aprovado na avaliação das
trilhas?
16) Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 0,4 e P(AUB) =0,7. Seja P(B) = p.
Para que valor de p, A e B serão mutuamente excludentes? Para que valor de p , A e B serão independentes?
17) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco
clientes (A,B,C,D e E). Registros anteriores indicam que dos pedidos de determinado tipo de processamento, realizados através de uma consulta, cerca de 10% vêm do cliente A, 15% do B, 15% do C, 40% do D e 20% do E. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0,5% do cliente C, 2% do cliente D e 8% do cliente E.
a) Qual a probabilidade do sistema apresentar erro?
b) Qual a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente E,
sabendo-se que apresentou erro?
18) Um sistema automático de alarme contra incêndio utiliza três células
sensíveis ao calor que agem independentemente uma das outras. Cada
célula entra em funcionamento com probabilidade 0,8 quando a temperatura atinge 60^0 C. Se pelo menos uma das células entrar em funcionamento, o alarme soa. Calcular a probabilidade do alarme soar quando a temperatura atingir 60^0 C.
19) Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam futebol e 30% praticam
natação. Dentre os que praticam futebol, 20% praticam também natação. Que porcentagem de estudantes não praticam nenhum dos dois esportes?
20) Um professor de geologia tem dois assistentes formados que o auxiliam em
sua pesquisa. A probabilidade de o mais velho dos dois estar ausente em um dia qualquer é 0,08, a probabilidade de o mais moço dos dois estar ausente é 0,06 e a probabilidade de ambos estarem ausentes em um dia qualquer é 0,02. Determine a probabilidade de ausência de um, ou de outro, ou de ambos, em um dia qualquer.
21) As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando
cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se for
marcado apenas um pênalti no jogo e o técnico escolhe
aleatoriamente o cobrador, qual a probabilidade de que esse pênalti
resulte em gol? Sabendo agora que o pênalti foi convertido, qual a
probabilidade de que o jogador C foi o cobrador?
22) UMA CADEIA DE LOJAS DE VÍDEO VENDE 3 MARCAS DIFERENTES DE
VÍDEO CASSETE. DESSAS VENDAS,50% SÃO DA MARCA 1, 30%
MARCA 2 E 20% MARCA 3. CADA FABRICANTE OFERECE UM ANO DE
GARANTIA. É SABIDO QUE 25% DA MARCA 1, 20% DA MARCA 2 E 10%
DA MARCA 3 EXIGEM REPARO NA GARANTIA.
A) QUAL A PROBABILIDADE DE QUE UM COMPRADOR SELECIONADO
AO ACASO COMPRE UM VÍDEO DA MARCA 1 E PRECISE DE REPARO
DURANTE A GARANTIA?
B) QUAL A PROBABILIDADE DE QUE UM COMPRADOR POSSUA UM
APARELHO QUE NECESSITE DE REPARO DURANTE A GARANTIA?
C) SE UM CLIENTE VOLTAR À LOJA COM UM VÍDEO QUE PRECISA DE
REPARO EM GARANTIA, QUAL A PROBABILIDADE DE SER DA
MARCA 1?
23) NA LINHA DE PRODUÇÃO DE UMA FÁBRICA, EM MÉDIA 4 PEÇAS SÃO
DEFEITUOSAS A CADA CEM PRODUZIDAS.UM INSPETOR DE
QUALIDADE SORTEIA ALEATORIAMENTE CINCO PEÇAS E VERIFICA A
QUANTIDADE DE DEFEITUOSAS.
28)..ii menos que 2 caras
A companhia de aviação VASPAM afirma que 95% dos seus vôos chegam no horário. Se dos registros de vôos dos últimos 3 meses for retirada uma amostra de 10 vôos, pede-se calcular a probabilidade de que: 5).)d pelo menos 8 vôos chegam no horário 5).)e entre 7 e 9 vôos chegam no horário
(^) A montadora de carros sabe que no transporte de carros entre a fábrica e a concessionária, 3% dos carros transportados sofrem alguma varia na sua pintura. Se uma concessionária receber 50 carros pede-se calcular a probabilidade de que: 6).)f nenhum dos carros transportados sofra avaria na pintura 6).)g 2 ou mais carros sofram avaria na pintura
Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito?
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Em sua empresa há um grande número de computadores; a maior parte é do mesmo tipo. Espera-se da experiência com computadores dessa mesma marca , modelo, idade e especificação , que o número médio anual de defeitos seja 0,08. Se um computador for escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que ele não apresente defeito no próximo ano?
Em média 5 pessoas por hora realizam transações em um setor de serviços especiais de um banco comercial. Supondo que a chegada de tais pessoas está distribuída de maneira independente e de forma igual em todo período de interesse , qual a probabilidade de que mais de 10 pessoas queiram fazer transações no setor de serviços especiais durante uma hora específica?
Uma companhia de seguros está considerando a inclusão da cobertura de uma doença relativamente rara na área geral de seguros médicos. A probabilidade de que um indivíduo selecionado aleatoriamente venha contrair a doença é 0.001, sendo que 3000 pessoas são incluídas no grupo segurado. Qual a probabilidade de que nenhuma das 3000 pessoas do grupo contraia a doença?
