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Números complexos
1. O resultado da expressão
3 + 2 𝑖
1 − 4 𝑖
na forma 𝑥 + 𝑦𝑖 é
a)
11
17
14
17
b)
11
15
14
15
c)
11
17
14
17
d)
11
15
14
15
e) 3 −
1
2
2. Se 𝑖 é a unidade imaginária, então 2 𝑖
3
2
- 3 𝑖 + 2 é um número complexo que pode ser
representado no plano de Argand-Gauss no __________ quadrante.
a) primeiro
b) segundo
c) terceiro
d) quarto
3. Considere os números complexos 𝑧 1
= 1 + 5 𝑖 e 𝑧
2
Assinale o que for correto.
1
1
1
2
1
2
1
2
𝑧 1
𝑧 2
23
25
11
25
1
1
4. Sendo 𝑖 a unidade imaginária tal que 𝑖
2
=– 1 , são dados os números complexos 𝑧
1
= 9 + 3 𝑖 e 𝑧
2
𝑖. Ao calcular corretamente o produto 𝑧
1
2
, obtemos o número
a) 21 − 6 𝑖.
b) − 18 − 6 𝑖.
c) − 18 + 3 𝑖.
d) 18 − 3 𝑖.
e) − 21 + 3 𝑖.
5. Considere o número complexo 𝑧 =
1 +𝑎𝑖
𝑎−𝑖
, onde 𝑎 é um número real e 𝑖 é a unidade imaginária, isto é,
2
= − 1. O valor de 𝑧
2016
é igual a
a) 𝑎
2016
b) 1.
c) 1 + 2016 𝑖.
d) 𝑖.
6. O número complexo 𝑍 = 1 + 𝑖 representado na forma trigonométrica é
a) 2
1
2 (𝑐𝑜𝑠 45 ° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 45 ° ).
b) 2 (𝑐𝑜𝑠 90 ° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 90 ° ).
c) 4 (𝑐𝑜𝑠 60 ° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 60 ° ).
d) 4 (𝑐𝑜𝑠 60 ° − 𝑖𝑠𝑒𝑛 60 ° ).
e) 2 (𝑐𝑜𝑠 90 ° − 𝑖𝑠𝑒𝑛 90 ° ).
7. Sejam 𝑥 e 𝑦 números reais tais que 𝑥 + 𝑦𝑖 = √ 3 + 4 𝑖, onde 𝑖 é a unidade imaginária. O valor de 𝑥𝑦 é
igual a
a) − 2.
b) − 1.
c) 1.
d) 2.
8. O módulo do número complexo 𝑧 = 𝑖
2014
1987
é igual a
a) √
b) 0.
c) √
d) 1.
9. Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 um número complexo, tal que 4 𝑧 − 𝑧𝑖 + 5 = − 1 + 10 𝑖. Assim, o módulo do complexo 𝑧
é
a) √ 2
b) 2 √ 2
c) 3 √
d) 4 √ 2
10. Seja o número complexo 𝑧 =
𝑥+𝑦𝑖
3 + 4 𝑖
, com x e y reais e 𝑖
2
Se 𝑥
2
2
= 20 , então o módulo de z é igual a:
a) 0
b) √ 5
c)
2 √
5
5
d) 4
e) 10
gabarito comentado
Resposta da questão 1:
ANULADA
Questão anulada no gabarito oficial.
Lembrando que 𝑖
2
= − 1 , temos
2
2
3 2i 3 2i 1 4i
1 4i 1 4i 1 4i
3 12i 2i 8i
1 16i
5 14
i.
17 17
=
− − +
=
−
= − +
2
2
1
2 ⋅ (𝑐𝑜𝑠 45 ° + 𝑖𝑠𝑒𝑛 45 ° )
Resposta da questão 7:
[D]
Elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, vem
2
2
2
2
Portanto, temos 2 𝑥𝑦 = 4 se, e somente se, 𝑥𝑦 = 2.
Resposta da questão 8:
[A]
Como 𝑖
4
2
2
2
= 1 , vem
2014 1987
4 503 2 4 496 3
4 503 2 4 496 3
z i i
i i
(i ) i (i ) i
1 i.
+ +
= −
= −
= −
= − +
Portanto,
2
2
Resposta da questão 9:
[B]
Sendo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, vem
4z zi 5 4(a bi) (a bi)i 5
4a 4bi ai b 5
(4a b 5) (4b a)i.
− + = + − + +
= + − + +
= + + + −
Logo, deve-se ter
Portanto,
2
2
Resposta da questão 10:
[C]
Sabendo que |
𝑧
1
𝑧
2
|𝑧
1
|
|𝑧
2
|
, com 𝑧
2
≠ 0 , obtemos |𝑧| =
|𝑥+𝑦𝑖|
| 3 + 4 𝑖|
√𝑥
2
+𝑦
2
√ 3
2
2
√
20
√
25
2 √
5
5
Polinomios
1. Sabendo-se que uma das raízes da equação algébrica 2 𝑥
3
2
− 72 𝑥 − 35 = 0 é −
1
2
, a soma das
outras duas raízes é igual a
a) − 3.
b) 3.
c) − 2.
d) 1.
e) 2.
2. (As raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥
4
− 1 são
a) {𝑖; −𝑖; 0 }.
b) { 1 ; − 1 ; 0 }.
c) { 1 ; − 1 ; 𝑖; −𝑖}.
d) {𝑖; −𝑖; 1 + 𝑖; 1 − 𝑖}.
e) {𝑖; −𝑖; − 1 + 𝑖; − 1 − 𝑖}.
3. O polinômio 𝑝(𝑥) = 6 𝑥
4
3
2
- 104 𝑥 − 48 possui 4 raízes reais, sendo que − 4 é a única raiz
negativa. Sabendo que o produto de duas das raízes desse polinômio é − 4 , a diferença entre as duas
maiores raízes é
a)
1
8
b)
1
6
c)
1
4
d)
1
2
4. Considere 𝑃(𝑥) = 2 𝑥
3
2
- 𝑐𝑥, tal que 𝑃( 1 ) = − 2 e 𝑃( 2 ) = 6. Assim, os valores de 𝑏 e 𝑐 são,
respectivamente,
a) 1 e 2
b) 1 e − 2
c) − 1 e 3
d) − 1 e − 3
Resposta da questão 4:
[D]
Tem-se que
3
2
e
3
2
Portanto, resolvendo o sistema formado por essas equações, encontramos 𝑏 = − 1 e 𝑐 = − 3.
Resposta da questão 5:
[D]
Tem-se que
5
3
2
3
2
2
Logo, como 𝑟(𝑥) = 3 𝑥
2
2
- 3 𝑥 = 0 ⇔ 3 𝑥(𝑥 + 1 ) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = − 1.
Portanto, segue que a solução real, não nula, da equação 𝑟(𝑥) = 0 pertence ao intervalo [− 1 , 0 ].
