Números Complexos e Polinômios, Notas de aula de Matemática

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N´umeros Complexos

e

Polinˆomios

Profo^ Haroldo Aires

5 de maio de 2018

Sum´ario

Os N´umeros Complexos

1.1 Conjuntos dos n´umeros complexos

O conjunto dos n´umeros complexos C pode ser definido como o conjunto de pares ordenados de n´umeros reais (a, b) em que est˜ao definidas certas opera¸c˜oes.

z ∈ C ⇔ z = (a, b), com a ∈ R e b ∈ R Os elementos de C s˜ao chamados de n´umeros complexos e definidos de modo que seja poss´ıvel realizar as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, al´em de possibilitar o c´alculo da raiz de ´ındice par de n´umeros negativos. Uma vez que R ´e subconjunto de C, as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de n´umeros reais, quando realizadas em C, n˜ao sofrem altera¸c˜oes.

1.1.1 Representa¸c˜ao alg´ebrica de um n´umero complexo

Todo n´umero complexo z = (a, b) pode ser representado algebricamente. Um n´umero complexo z pode ser representado da seguinte maneira: z = a + bi

com a ∈ R, b ∈ R e i^2 = −1, em que i ´e a unidade imagin´aria. Note que um n´umero complexo z, escrito em sua forma alg´ebrica, possui duas partes: z = a + bi

sendo a a parte real (R) e bi a parte imagin´aria (Im). Em um n´umero complexo, caso a:

• parte imagin´aria seja nula (b = 0), dizemos que o n´umero ´e real: z = a + 0i ⇒ z = a 3

• parte real seja nula (a = 0) e a parte imagin´aria seja n˜ao nula (y 6 = 0), dizemos que o n´umero ´e imagin´ario puro: z = 0 + bi ⇒ z = bi

Exemplo 1.1.

• z = 2 + 5i: Re(z)=2, Im(z) = 5
• z = − 6 i: Re(z)=0, Im(z) = −6 (n´umero imagin´ario puro)
• z =^12 : Re(z) = 0 (n´umero real)

A unidade imagin´aria i ´e que indica a raiz de ´ındice par de um n´umero negativo no conjunto C.

Exemplo 1.2.

Na equa¸c˜ao x^2 + 9 = 0, temos:

x^2 + 9 = 0 ⇒ x^2 = − 9 ⇒ x = ±√− 9 ⇒ x = ±

9(−1) ⇒ x = ±

9 i^2 ⇒ x = ± 3 i

x 1 = 3i e x 2 = − 3 i EXERC´ICIOS RESOLVIDOS

R 1.1. (UEPB-PB) Em C, o conjunto solu¸c˜ao da equa¸c˜ao x^2 − 6 x + 10 = 0 ´e igual a:

a) S = { 3 i, − 3 i} b) S = {3 + i, 3 − i}

c) S = {i − 3 , i + 3} d) S = {3 + 1, − 3 − i}

e) S = { 3 − i, − 3 − i}

Resolu¸c˜ao Utilizando a f´ormula resolutiva, temos:

a = 1; b = −6; c = 10

∆ = (−6)^2 − 4 · 1 · 10 = − 4 x = −(−6)^ ±

4 i^2 2 =

6 ± 2 i 2 x 1 = 3 + i e x 2 = 3 − i

Portanto, S = {3 + i, 3 − i}, ou seja, a alternativa correta ´e b.

• z 2 = 3 + 4i ⇒ z 2 = 3 − 4 i
• z 3 = −5 + 2i ⇒ z 3 = − 5 − 2 i
• z 4 = −i ⇒ z 4 = i

Na pr´atica, para obter o conjugado de um n´umero complexo, trocamos o sinal do coeficiente da parte imagin´aria. Observa¸c˜oes: sendo z = a + bi, temos:

1 a) z + z ´e sempre real, pois z + z = a + bi + a − bi = 2a 2 a) z − z ´e sempre imagin´ario puro, pois z − z = a + bi − (a − bi) = a + bi − a + bi = 2bi. 3 a) zz ´e sempre real n˜ao negativo, pois zz = (a+bi)(a−bi) = a^2 −abi+abi−b^2 i=a^2 −b^2 i^2 = a^2 +b^2. Propriedades

1 a) Se z = a + bi, ent˜ao z = a − bi ⇒ z = a − bi = a + bi:

z = z

2 a) O conjugado da soma ´e igual `a soma dos conjugados:

z 1 + z 2 = z 1 + z 2

3 a) O conjugado do produto ´e igual ao produto dos conjugados: z 1 z 2 = z 1 z 2

4 a) O conjugado de uma potˆencia ´e igual `a potˆencia do conjugado:

zn^ = zn^ (n ∈ N)

1.2.3 Divis˜ao de n´umeros complexos

Dados dois n´umeros complexos z 1 = a + bi e z 2 = c + di, para obter a forma alg´ebrica do quociente z z^12 , z 2 6 = 0, multiplicamos o numerador e denominador da fra¸c˜ao por z (conjugado do denominador). Este procedimento, al´em de n˜ao alterar o valor de z z^12 , permite eliminar a parte imagin´aria do denominador (pois z 1 z 2 ´e real), obtendo, desse modo, a forma alg´ebrica. Observe os exemplos.

• Sendo z 1 = 2 + 3i e z 2 = 4 + 3i, temos: z 1 z 2 =

2 + 3i 4 + 3i =

2 + 3i 4 + 3i ·^

4 − 3 i 4 − 3 i =

8 − 6 i + 12i − 9 i^2 16 − 9 i^2 =

17 + 6i 16 + 9 =

25 ·^ i

• Sendo z 1 = 3 + 4i e z 2 = 2 − i, temos: z 1 z 2 =

3 + 4i 2 − i =

3 + 4i 2 − i ·^

2 + i 2 + i =

6 + 3i + 8i + 4i^2 4 − i^2 =

2 + 11i 4 + 1 =

5 ·^ i EXERC´ICIOS RESOLVIDOS

R 1.2. Efetue:

a) (^2) 1 +^ −^ ii b) (^1) 2 +^ −^ ii + 1 3 + − 2 ii

Resolu¸c˜ao:

R 1.3. Sendo zz = −i, z 6 = 0, z = a + bi, calcule a + b.

Resolu¸c˜ao:

R 1.4. (Fuvest-SP) Determine os valores de x tais que a parte real de xx^ −+^ ii seja negativa.

Resolu¸c˜ao:

Exemplo 1.4.

Calculando i^50 e i^107 , temos:

• i^50 =⇒ 50 = 4 · 12 + 2 → resto, portanto i^50 = i^2 = − 1
• i^107 =⇒ 4 · 26 + 3 → resto, portanto i^107 = i^3 = −i EXERC´ICIOS RESOLVIDOS

R 1.5. Calcule i

(^243) − i 28 i^13. Resolu¸c˜ao:

R 1.6. Calcule o vig´esimo termo da PG cujo primeiro termo ´e 1 + i e cuja raz˜ao ´e i.

Resolu¸c˜ao:

R 1.7. Calcule o valor da express˜ao y = i + i^2 + i^3 + i^4 + · · · + i^1001.

Resolu¸c˜ao:

EXERC´ICIOS PROPOSTOS

P 1.5. Calcule:

a) i^100 − i^200 b) i^107 c) i

(^33) − i 100 i^12 P 1.6. (MACK-SP) Calcule o valor da express˜ao y = i · i^2 · i^3 · i^4 · ... · i^1000.

P 1.7. Numa PG cujo primeiro termo ´e 1 − i e cuja raz˜ao ´e i, o d´ecimo termo vale:

a) 1 − i b) 1 + i

c) − 1 − i d) −1 + i

e) 2i

P 1.8. Numa PG de raz˜ao i, o vig´esimo termo ´e 1 + i. Qual ´e o seu primeiro termo?

P 1.9. A express˜ao y = i + 2i + 3i + 4i + ... + 100i

1.4 Representa¸c˜ao gr´afica de um n´umero complexo

Para representar o n´umero complexo z = a + bi num plano, marcamos o coeficiente da parte real no eixo Ox e o coeficiente da parte imagin´aria no eixo Oy. Veja:

R −→ eixo real (Ox) Im −→ eixo imagin´ario (Oy) P(a, b) −→ imagem geom´etrica ou afixo do complexo z = a + bi Por exemplo, se z 1 = 2 + 3i e z 2 = −2 + i, P 1 (2, 3) ´e o afixo de z 1 e P 2 (− 2 , 1) ´e o afixo de z 2. Ent˜ao, a representa¸c˜ao desses n´umeros ´e:

EXERC´ICIOS RESOLVIDOS

R 1.8. Represente graficamente e determine o m´odulo e o argumento dos seguintes n´umeros com- plexos:

a) z = 2 + 2√ 3 i b) w = 1 − i

c) u = −√3 + i d) v = 3i

Resolu¸c˜ao: a) z = 2 + 2√ 3 i (^)   

a = 2 b = 2√ 3

• Representa¸c˜ao gr´afica:
• M´odulo: |z| =

22 + (2√3)^2 = √4 + 12 = 4

• Argumento

sin θ = (^) |bz| =^2

Como 2 + 2√ 3 i est´a no 1o^ quadrante

0 < θ < π 2

, ent˜ao θ = π 3.

R 1.9. Represente, no plano, todos os n´umeros complexos de m´odulo 1.

Resolu¸c˜ao: Sendo z = x + yi, vamos determinar todos os complexos em que |z| = |x + yi| = 1. Assim: √ x^2 + y^2 = 1 ⇒

x^2 + y^2

= 1^2 ⇒ x^2 + y^2 = 1 que s˜ao pontos de uma circunferˆencia de centro C(0,0) e raio r = 1.

EXERC´ICIOS PROPOSTOS

P 1.10. Determine os m´odulos e os argumentos dos seguintes complexos:

a) 1 + i b) 3 c) 2i d) √3 + i

P 1.11. Sendo z 1 = 3 + 2i e z 2 = 2 + 3i, calcule:

a) |z 1 + z 2 | b) |z 1 − z 2 | c) |z 1 z 2 |

P 1.12. (MACK-SP) Sendo z um n´umero complexo n˜ao-nulo, determine o argumento de z para que z^2 seja imagin´ario puro.

1.5 Forma trigonom´etrica ou polar

Dado um n´umero complexo z = a + bi, z 6 = 0, temos:

cos θ = (^) |az| ⇒ a = |z| · cos θ (1)

EXERC´ICIOS PROPOSTOS

P 1.13. Passe para a forma trigonom´etrica:

a) 2 − 2 i b) 2√2 + 2√ 2 i

c) −i d) -

e) − 2 √ 3 − 2 i

P 1.14. (FEI-SP) Dado z =^4 3 + 4^ −^3 ii , determine:

a) seu argumento e seu m´odulo; b) a forma trigonom´etrica

P 1.15. (UFPA) O n´umero complexo √2 + √ 2 i, na forma trigonom´etrica, ´e:

a) 2

cos π 6 + i · sin π 6

b) 2

cos π 4 + i · sin π 4

c) 2

cos π 3 + i · sin π 3

d) 2

cos^34 π + i · sin^34 π

e) 2

cos^54 π + i · sin^54 π

1.6 Opera¸c˜oes na forma polar

1.6.1 Multiplica¸c˜ao

Dados dois n´umeros complexos z 1 = |z 1 |(cos θ 1 + i · sin θ 1 ) e z 2 = |z 2 |(cos θ 2 + i · sin θ 2 ), temos:

z 1 · z 2 = |z 1 |(cos θ 1 + i · sin θ 1 ) · |z 2 |(cos θ 2 + i · sin θ 2 ) = = |z 1 ||z 2 |(cos θ 1 · cos θ 2 + i · cos θ 1 · sin θ 2 + i · sin θ 1 · cos θ 2 + i^2 · sin θ 1 · sin θ 2 ) = = |z 1 ||z 2 |[(cos θ 1 · cos θ 2 − sin θ 1 · sin θ 2 ) + i(sin θ 1 · cos θ 2 + sin θ 2 · cos θ 1 )] = = |z 1 ||z 2 |[cos(θ 1 + cos θ 2 ) + i · (sin θ 1 + sin θ 2 )]

Ent˜ao: z 1 z 2 = |z 1 ||z 2 |[cos(θ 1 + cos θ 2 ) + i · (sin θ 1 + sin θ 2 )]

1.6.2 Divis˜ao

Dados z 1 = |z 1 |(cos θ 1 + i · sin θ 1 ) e z 2 = |z 2 |(cos θ 2 + i · sin θ 2 ), temos: z 1 z 2 =^

|z 1 |(cos θ 1 + i · sin θ 1 ) |z 2 |(cos θ 2 + i · sin θ 2 ) =^

|z 1 |(cos θ 1 + i · sin θ 1 ) |z 2 |(cos θ 2 + i · sin θ 2 ) ·^

cos θ 2 + i · sin θ 2 ︸^ cos θ^2 +︷︷^ i ·^ sin^ θ^2 ︸ conjugado do denominador

= ||zz^1 | 2 | · cos^ θ^1 ·^ cos^ θ^2 −^ i^ ·^ cos^ θ^1 ·^ sin^ θ^2 +^ i^ ·^ sin^ θ^1 ·^ cos^ θ^2 −^ i

(^2) · sin θ 1 · sin θ 2 cos^2 θ 2 − i^2 · sin^2 θ 2

= ||zz^12 || · (cos^ θ^1 ·^ cos^ θ^2 + sin^ θ^1 ·cos^ sin 2 θθ^2 ) +^ i(sin^ θ^1 ·^ cos^ θ^2 −^ cos^ θ·^ sin^ θ^2 ) ︸ 2 +︷︷^ · sin^2 θ^2 ︸ 1 = ||zz^12 || [cos(θ 1 − cos θ 2 ) + i · sin(θ 1 − θ 2 )]

Ent˜ao, z 1 z 2 =^

|z 1 | |z 2 | [cos(θ^1 −^ cos^ θ^2 ) +^ i^ ·^ sin(θ^1 −^ θ^2 )] EXERC´ICIOS RESOLVIDOS

R 1.12. Dados z 1 = 2

cos 10 π + i · sin 10 π

e z 2 = 3

cos^910 π+ i · sin^910 π

, determine z 1 z 2. Resolu¸c˜ao:

R 1.13. Sendo z 1 = 4

cos π 3 + i · sin π 3

e z 2 = 2

cos π 6 + i · sin π 6

, obtenha z z^12. Resolu¸c˜ao:

Polinˆomios

2.1 Polinˆomio

Dados os n´umeros complexos an, an− 1 , ..., a 2 , a 1 e a 0 , chamamos de polinˆomio ou fun¸c˜ao polinomial na vari´avel x a fun¸c˜ao f : C → C tal que:

f (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 (n ∈ N)

em que anxn, an− 1 xn−^1 , ..., a 2 x^2 , a 1 x e a 0 s˜ao os termos e an, an− 1 , ..., a 2 , a 1 , a 0 s˜ao os coefici- entes do polinˆomio. Vejamos alguns exemplos:

• P (x) = 3x^3 + 2x^2 + 7x − 3 termos: 3x^3 , 2 x^2 , 7 x, − 3 coeficientes: a 3 = 3, a 2 = 2, a 1 = 7, a 0 = − 3
• P (x) = 2x^4 + 3x^2 + x + 5 termos: 2x^4 , 3 x^2 , x, 5 coeficientes: a 4 = 2, a 3 = 0, a 2 = 3, a 1 = 1 e a 0 = 5 Express˜oes cujos expoentes n˜ao sejam n´umeros naturais n˜ao s˜ao polinˆomios. Por exemplo:
• x^3 + x^2 + √x = x^3 + x^2 + x 12 (^12 ∈/ N)
• 2 x−^3 + 2x−^2 + x (− 3 ∈/ N e − 2 ∈/ N)

2.1.1 Grau

Grau de um polinˆomio P (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + ... + apxp^ + ... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 ´e n se, e somente se, an 6 = 0. Indicamos por gr(P ) o grau de P (x).

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CAP´ITULO 2. POLIN OMIOSˆ Profo^ Haroldo Aires

veja:

• P (x) = 4x^3 + x − 1: gr(P ) = 3
• Q(x) = 7x^5 + 3x^2 − x: gr(G) = 5
• A(x) = 4x^4 + x^3 − 1: gr(A) = 4
• B(x) = x + 1: gr(B) = 1
• C(x) = 5: gr(C) = 0

2.1.2 Valor num´erico

O valor num´erico do polinˆomio P (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 , para x igual a um n´umero qualquer α ∈ C, ´e P (α) = anαn^ + an− 1 αn−^1 + ... + a 2 α^2 + a 1 α + a 0. Isto ´e, para opter P (α), basta substituir x por α em P (x). Veja:

• O valor num´erico de P (x) = x^3 + x^2 − 3 x + 4, para x = 2, ´e: P (2) = 2^3 + 2^2 − 3 · 2 + 4 = 8 + 4 − 6 + 4 = 10
• O valor num´erico de P (x) = x^3 − 6 x^2 + 6x − 1, para x = 1, ´e: P (1) = 1^3 − 6 · 12 + 6 · 1 − 1 = 1 − 6 + 6 − 1 = 0 Observa¸c˜oes: 1 a) Quando P (α) = 0, α ´e raiz de P (x): 2 e 3 s˜ao ra´ızes de P (x) = x^2 − 5 x + 6 ⇒

P (2) = 2^2 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P (3) = 3^2 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

2 a) Como 1n^ = 1, ∀n ∈ N, P (1) ´e a soma dos coeficientes de P (x): P (x) = 5x^4 + 3x^3 − 2 x^2 − 4 x + 1 ⇒ P (1) = 5 · 14 + 3 · 13 − 2 · 12 − 4 · 1 + 1 = 3 Portanto, a soma dos coeficientes de P (x) = 3. 3 a) P (0) ´e igual ao termo independente de P (x): a) P (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 ⇒ ⇒ P (0) = an · 0 n^ + an− 1 · 0 n−^1 + ... + a 2 · 02 + a 1 · 0 + a 0 = 0 + 0 + ... + 0 + 0 + a 0 = a 0 b) Para determinar o termo independente da express˜ao (x^2 − x + 1)^23 , basta fazer: P (x) = (x^2 − x + 1)^23 ⇒ P (0) = (0^2 − 0 + 1)^23 = 1^23 = 1 (termo independente de P (x))