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NÚMEROS COMPLEXOS
1. DEFINIÇÃO
No conjunto dos números reais R , temos que a^2 = a. a é sempre um número não negativo para todo a. Ou seja, não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo em R. Dessa impossibilidade surge o conjunto dos números complexos C.
Para definirmos tal conjunto inicialmente, assumimos a existência de um número complexo i tal que i^2 = - 1. Assumimos também que as operações de adição (+) e multiplicação estão definidas em C , e que essas operações satisfazem as mesmas propriedades fundamentais no conjunto dos números reais (falaremos sobre essas operações mais adiante). Podemos agora definir o conjunto dos números complexos como sendo o conjunto dos números escritos na forma:
z = a + bi ,
onde a e b são reais, sendo a chamado de parte real e b de parte imaginária. Simbolizamos as partes real e a imaginária com a seguinte notação: a = Re( z ) e b = Im( z ). Desta forma: z =Re( z )+Im( z ) i Definimos ainda que dois números complexos z 1 = a + bi e z 2 = c + di , serão iguais quando a = c e b = d.
2. OPERAÇÕES ELEMENTARES
As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o número complexo como um binômio.
Exemplo 1. Sejam z 1 = 3 + 2 i e z 2 = 1 + 5 i. Então, z 1 + z 2 = (3 + 2 i ) + (1 + 5 i ) = 4 + 7 i z 1 - z 2 = (3 + 2 i ) - (1 + 5 i ) = 2 – 3 i z 1 .z 2 = (3 + 2 i ). (1 + 5i ) = 6 +15 i +2 i + 10 i^2 = 6 + 17 i – 10 = - 4 + 17 i
Chamamos de conjugado de um número complexo z = a + bi ao número z = a − bi. Desta forma, para efetuar a divisão basta multiplicarmos os membros da fração pelo conjugado do denominador. Por exemplo, usando z 1 e z 2 dados acima, temos: ( ) ( )
i
i i
i i
i z
z 2
2
3. PLANO DE ARGAND-GAUSS
Gauss associou a cada número complexo a+b i um par ordenado (a,b) com a,b∈ R e representou cada número como um ponto no plano. Essa representação recebe o nome de “Plano de Argand- Gauss” ou “Plano Complexo”: Im b P(a,b)
a Re
Exercício 1. Utilizando as idéias de Gauss represente os seguintes números no plano: a) P 1 = 2+3 i b) P 2 = 4- i c) P 3 = -3-4 i d) P 4 = -1+2 i e) P 5 = -2 i
Im
Re
Obs.: Simbolizamos por Re o eixo dos reais, por Im o eixo dos imaginários e chamamos de afixo o ponto que representa o número.
Chamamos de módulo do complexo z a distância do afixo de z até a origem e o representamos por
z ou ρ. Chamamos de argumento do número complexo z = a + b i , com z ≠ 0, ao ângulo θ ,
0 ≤ θ < 2 π, que o eixo real forma uma semi-reta de origem O e que contém P.
Im P
θ Re O
Exercício 2. Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos: a) 4+3 i b) 2-2 i c) 3+ i d) 3 e)2 i f) a+b i
4. POTENCIAÇÃO
Recordemos as fórmulas de adição e subtração de arcos trigonométricos:
cos( ) cos cos sen sen sen( ) sen cos sen cos
a b a b a b a b a b b a
Tendo em mãos estas fórmulas, as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de números complexos na forma trigonométrica são facilmente efetuadas. Em primeiro lugar, consideremos os números complexos
z 1 = r 1 (cos a + i sen a) e z 2 = r 2 (cos b + i sen b)
Calcule z 1 .z 2 , colocando r 1 .r 2 em evidência e agrupando os termos semelhantes (lembre-se que i^2 =− 1 ).
Agora, utilizando as fórmulas de soma e subtração de arcos dadas acima, observe que podemos escrever z 1 .z 2 de uma forma mais sucinta:
6. EXERCÍCIOS
- Obtenha o produto w = z (^) 1. z (^) 2. z 3 onde
a) z i z i
1
0 0
2
0 0
(cos sen ) (cos sen )
b) 6 (cos 43 sen 43 )
4 (cos 31 sen 31 )
3 (cos 14 sen 14 )
3
2
1
z i
z i
z i
c)
z i z i z i
1 2 3
(cos sen ) (cos sen ) cos sen
R. a) w= 3 (^2) (cos 60 0 + sen 600 )b) w = 72(cos88°+ i sen88°) c) w = 80(cos73º + i sen73º)
- Sendo z= (^2) 4 4
(cos sen )
π π
- i e utilizando a multiplicação definida acima,^ detemine z^2 , z^3 e z^4.
- Determine o módulo e o argumento do número (^) z^4 para os complexos a) z = 3(cos125°+ i sen125°) b) z = 2(cos300º + i sen300º)
R. a) ρ = 81 e θ = 140 ^ b) ρ = 16 e θ = 120 °
- Calcule as potências, dando a resposta na forma algébrica
a) ( 1 − i 3 ) 8 b) ( 3 + i )^6
R. a) -128 - 128 3 i b) -
- Dado o número complexo z = cos 45° + i sen 45° , calcule w = z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6
R. w = (-1 -
i
- Escreva as expressões abaixo na forma a + bi :
a) ( 4 − i )+ i −( 6 + 3 i ) i b)
( ) ( )^2
2
3
i
i
c) ( 4 − i ) .( 1 − 4 i ) d) i
i 4 5
R. a) 7 − 6 i b) 2
i − c) 17 i d) 41
7 − 19 i
- Calcule i^2 , i^3 , i^4 , i^5 e observe que as potências começam a se repetir depois de i^4. Comprove
este fato, mostrando que i^4 n^ + r = ir e aplique este resultado para calcular:
a) i^20 b) ( ) 12 1 + i c)
10
1
i
i d) 1 + i + i^2 ++ i^1992
R. a) 1 b) -64 c) -1 d) 1
- Sendo n um inteiro, que valores podem ter i n^ + i − n?
R. 0, 2 ou -
- Determine a real para que ai
a i
seja real.
R. ± 1
- Determine a real para que i
ai −
seja um imaginário puro.
R. 2
- Resolva em C as seguintes equações:
a) z^2 = 2 i b) z^2 − 2 z =− 1 + i c) 3
z + z
d) 3
2 = − z z
R. a) { 1 + i , − 1 − i } b) } 2
− 3 ± 3 3 i d) 2
3 ± 7 i
- Representar na forma trigonométrica:
a) 1 + 3 i b) − 1 + i c) 5 d) sen θ − i cos θ
R.a) (^)
(^) + 3
sin 3
2 cos π π i b)^
(^) + 4
3 sin 4
3 2 cos π π
i c)^2 (^ cos^0 +^ i sin^0 )d)^
(^) + 2
3 sin 2
3 cos π θ π θ i
13. Para que valores de n inteiro positivo ( 1 + i ) n é real?
R. n múltiplo de 4.
- Qual é a forma algébrica do número complexo z representado na figura abaixo?
R. − 3 + i 3
- A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. Sabendo-se que
BF = 8 , determine as formas algébrica e trigononétrica dos números complexos cujos afixos são os pontos B e D.
R. (^) B : 2 2 + i 2 2 ; D :− 2 2 + i 2 2
- Calcule, dando a resposta na forma algébrica:
a) ( − 1 + i )^6 b) ( )
8 2 + i 2 c)
12
2
−
− + i d)
100
2
− + i
R. a) 8 i b) 256 c) 5 −^12 d) 2
− + i
- Encontre as raízes sextas de 8. Represente seus afixos no plano. Qual a medida de cada um dos arcos determinados pelos afixos? Qual é a conclusão?
