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d) Uma empresa tem gasto mensal de 1100 reais com cada funcionário contratado. Usando as variáveis x e y para representar as grandezas funcionários e gasto mensal, respectivamente, escreva a função matemática que modela este fenômeno.
Exemplo: A função f : [0,1] , f ( x ) = x^2 , é a função que associa cada ponto x entre 0 e 1 ao valor f ( x ) = x^2. Já a função g : [1,1] , f ( x ) = x^2 , é a função que associa cada ponto x entre 1 e 1 ao valor f ( x ) = x^2. A função g é bem diferente da função f , apesar de as duas terem a mesma relação de função. Por exemplo, se for pedido para se determinar o ponto x do domínio cujo valor associado é 1, a resposta para a função f é única, pois f (1) = 1. Já para a função g , o problema não é tão simples, uma vez que temos g (1) = 1 e g (1) = 1, ou seja, a resposta não é única.
As funções podem ser classificadas nos mais variados tipos. Alguns exemplos de classificação são: crescente , decrescente , constante , injetiva (ou injetora), sobrejetiva (ou sobrejetora), bijetiva (ou bijetora) e limitada. Como este é um primeiro estudo sobre o assunto, não vamos nos deter neste tipo de classificação de funções. Mas, este conteúdo será muito importante para o curso de Cálculo. Numa segunda oportunidade, na disciplina de Pré-Cálculo ou de Cálculo, é importante estudar esta parte também.
O Plano Cartesiano 2
Um recurso importantíssimo em um estudo de funções é a noção de gráfico de função, conceito definido a partir do conjunto 2. O 2 é definido pelo conjunto (^2) = {( x , y ) | x , y }.
Exemplos de elementos de 2 são: (1, 0), (0, 0), (3, 6), ( 2 , 2) e (, 1). O 2 possui uma representação gráfica muito útil. Numa folha, desenhamos duas retas perpendiculares, uma horizontal e outra vertical. A horizontal é chamada eixo x. A vertical eixo y. O ponto de interseção é chamado centro ou origem, e denotado por O.
y
x O
A representação geométrica dos elementos de 2 se dá da seguinte forma: dado ( a , b ) 2 , a partir da origem O , andamos a unidades na direção do eixo x , e depois b unidades na direção do eixo y. Aí, marcamos o elemento no papel. Por exemplo, os elementos A = (1, 1), B = (2, 1) e C = (0, 2) podem ser visualizados como
C
B A
Atividade 8: a) Tente identificar, numa representação gráfica do 2 , o conjunto {( x , y ) 2 | y = 1}. b) Tente identificar, numa representação gráfica do 2 , o conjunto {( x , y ) 2 | x = y }. c) Tente identificar, numa representação gráfica do 2 , o conjunto {( x , y ) 2 | x = 2}. d) Numa representação gráfica do 2 , identifique que objetos os seguintes elementos representam: (0,0); {( x , y ) 2 | y = 0}; e {( x , y ) 2 | x = 0}.
Gráfico
O gráfico de uma função f : X , y = f ( x ), é o conjunto dos pontos do plano cartesiano 2 formado por
Graf( f ) = {( x , f ( x )) ; x Dom( f )} O gráfico de uma função permite uma interpretação geométrica e, portanto, facilita a análise da relação entre as grandezas envolvidas na função.
cujos gráficos são dados a seguir (na próxima unidade, falaremos sobre gráfico deste tipo de função).
Só pelo aspecto do gráfico, vemos que, inicialmente, PA tem o preço menor. Contudo, vemos que PB passa a ter um preço menor quando o número de mercadorias é grande. Os dois fornecedores cobram o mesmo preço quando PA = PB , isto é, quando 5 m + 25 = 2 m + 60, donde m 0 = 35/3 = 11 + 2/3. Outro termo relacionado com função é o seguinte. Seja f uma função. O conjunto dos valores de f é denominado imagem de f :
Im( f ) = { y | x Dom( f ) e f ( x ) = y } = { f ( x ) | x Dom( f )}
Exemplo: Para a função f : , f ( x ) = x^2 , temos Im( f ) = [0, +), pois todo número real positivo, ou igual a 0, possui uma raiz e os números negativos não possuem raiz real.
Uma ótima maneira de se analisar o conjunto imagem de uma função é pelo seu gráfico. Ainda falaremos melhor sobre isto.
Atividade 10: a) Determine a imagem da função a partir de seu gráfico.
i)
Preço PA PB 60
25
m 0 Mercadorias
ii)
iii) b) Para cada item de (a), determine, caso exista, o valor máximo e mínimo que a função atinge. c) O desenho a seguir representa o gráfico de uma função f : . Baseando-se na figura, resolva a inequação f ( x ) ≤ 0.
Taxa de variação
Um conceito importante na análise entre duas variáveis é o de taxa de variação média. Esta ideia é naturalmente usada para se avaliar velocidade média. Por exemplo, um carro que fez um percurso de 15 km em 3 h (talvez por causa do trânsito), o fez com uma velocidade média de
Então, o objeto atinge o solo em 5 segundos e a distância percorrida a cada segundo é
t = 0 d = 0 t = 1 d = 5 t = 2 d = 20 t = 3 d = 45 t = 4 d = 80 t = 5 d = 125 Pelos resultados acima, vemos que, de segundo para segundo, a variação da distância percorrida aumenta cada vez mais (no 1o^ segundo: y = 5m; no 2o^ segundo: y = 15m; no 3o^ segundo: y = 25m; etc.). Intuitivamente, vê-se que o objeto cai com uma velocidade cada vez maior. Em função destes dados, podemos ver que a velocidade média, que coincide com a noção de taxa variação média entre d e t , é dada por
v med =^125500 2 1
2 1
t t
d d t d = 25.
Atividade 11:
a) Dada a relação de função, y = 5 x^2 , calcule a taxa de variação média de y com relação a x entre 1 e 4, e depois entre 4 e 7.
b) Calcule a taxa de variação média de y = ax^2 + bx + c com relação a x entre x 1 e x 2.
c) Calcule a taxa de variação média de y = b com relação a x entre x 1 e x 2. Você já esperava este resultado?
d) Numa relação de função, o valor de y é 5 quando x = 2 e a taxa de variação média de y com relação a x entre 2 e 7 é igual a 3. Determine o valor de y quando x = 7.
Funções Partidas
Como já foi registrado aqui, uma função é um objeto complexo. Um destes elementos é uma regra que determina a relação de dependência, y = f ( x ). Contudo, a expressão matemática que define a expressão f ( x ) não precisa ser única. Ela pode variar ao longo do domínio da função. Quando isto acontece, dizemos que a função é uma função partida.
