Função do 2º
grau ou função
quadrática
A função quadrática é expressa da seguinte
forma:
f(x) = ax² + bx + c
É considerada função de 2º grau, pois sua
solução contém duas raízes, entretanto, existem
diversas relações que podem ser feitas entre as
raízes, a função e seu gráfico, que é uma
parábola.
Primeiramente vamos levar em consideração
que X1 e X2 são as raízes dessa função, mas, o
que são as raízes?
As raízes de uma função f(x) são os valores de x,
tais quais f(x) = 0, ou seja, ao substituir x por
essa valor, caso a equação resulte em 0, esse
valor ´r uma raiz. Em um gráfico, geralmente
f(x) refere-se ao eixo das ordenadas (Y),
portanto, é o ponto onde a curva corta o eixo X.
Vamos agora conhecer os termos de uma função
quadrática e suas soluções:
f(x) = ax² + bx + c
A solução geral dessa função é dada pela fórmula
de Bhaskara:
𝑥 = −𝑏±√
2𝑎 ,onde
= 𝑏2− 4𝑎𝑐.
E X1 e X2 são os resultados da fórmula de
Bhaskara.
Em alguns casos podemos utilizar as relações de
soma e produto das raízes:
• S = X1 + X2 = −𝑏
𝑎
• P = X1*X2 = 𝑐
𝑎
Há vários exercícios em que se pede a soma ou
produto das raízes, portanto, essas relações
podem ser bem úteis e, ainda, podem ajudar a
encontrar as raízes de fato.
Aqui tem uma tabela com relações entre as
fórmulas e os sinais das raízes:
Sinal de P = 𝑐
𝑎
Sinal de S =
−𝑏
𝑎
Sinal das
raízes
+
+
0 < X1 X2
+
-
X1 X2 < 0
-
+
X1 < 0 < X2 e
|X1| < |X2|
-
-
X1 < 0 < X2 e
|X1| > |X2|
-
0
X1 < 0 < X2 e
|X1| = |X2|
0
+
X1 = 0 < X2
0
-
X1 < 0 = X2
0
0
X1 = X2 = 0
Agora, as relações entre os valores e os gráficos:
• Se a > 0, a parábola tem concavidade
voltada para cima
• Se a < 0, a parábola tem concavidade
voltada para baixo
• Se > 0, a parábola corta o eixo x em
dois pontos distintos: (X1; 0) e (X2; 0).
Lembre-se que um ponto no gráfico é
dado por (X; Y).
• Se = 0, a parábola corta o eixo X em
um único ponto, o qual pode ser
determinado por (−𝑏
2𝑎; 0), onde −𝑏
2𝑎 é a
única raiz real da equação, ou seja, a
função só possui uma raiz real.
• Se < 0, a parábola não corta o eixo X,
pois isso indica que haverá um número
negativo dentro da raiz e,
consequentemente, não existe uma raiz
real para a função.
• O valor c indica o ponto que a parábola
corta o eixo das ordenadas.
Uma outra característica dos gráficos é o ponto
de mínimo ou máximo de uma função.
Sabendo que a função é dada por f(x) = ax² + bx
+ c, e que f(x) = y. E agora que, ponto mínimo é
o ponto mais baixo da parábola quando a > 0 e,
ponto máximo é o ponto mais alto da parábola
quando a < 0.
Podemos definir os valores de X e Y para os
pontos de máximo ou mínimo a partir dos
coeficientes a, b e c da função:
X = −𝑏
2𝑎 ; F(x) = Y = −∆
4𝑎
