Função Quadrática - Resumo Teórico, Resumos de Matemática

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INSTITUTO FEDERAL DE PERNAMBUCO

CAMPUS CARUARU

Monitor: Lucas Dias

FUNC¸ ˜AO QUADR ´ATICA

Caruaru, PE

1 Resumo Te´orico

1.1 Defini¸c˜ao

Fun¸c˜ao Quadr´atica ou fun¸c˜ao polinomial do segundo grau ´e uma fun¸c˜ao onde existem uma vari´avel elevado ´a um expoente 2, ou seja, por defini¸c˜ao:

f (x) = ax^2 + bx + c , onde a,b e c s˜ao constantes reais e a 6 = 0

1.2 Resolu¸c˜ao

Para resolvermos (acharmos as ra´ızes) equa¸c˜ao 2º grau utilizamos uma das mais famosas f´ormulas da matem´atica conhecida como Equa¸c˜ao de bhaskara desenvolvida pelo ma- tem´atico hindu Sri Dhara s´eculos atr´as.

x = (−b) ±

b^2 − 4 ac 2 a

Demonstra¸c˜ao:

ax^2 + bx + c = 0 ⇒ ax^2 + bx + c a

a

⇒ x^2 + bx a

b^2 4 a^2

b^2 4 a^2

c a

(x + b 2 a

)^2 =

b^2 − 4 ac 4 a^2

(x + b 2 a

)^2 =

b^2 − 4 ac 4 a^2 ⇒ |x + b 2 a

b^2 − 4 ac | 2 a|

x = −b ±

b^2 − 4 ac 2 a

C.Q.D

OBS : em alguns livros ´e comum fazer ∆ = b^2 − 4 ac

1.3 Estudo do Descriminante

Atrav´es do estudo do descriminante da equa¸c˜ao podemos determinar a quantidade de solu¸c˜oes reais de uma equa¸c˜ao do segundo grau. (uma fun¸c˜ao do segundo grau SEMPRE tem 2 ra´ızes por´em somente em um ´unico caso que essas ra´ızes s˜ao reais)

∆ > 0 = 2 ra´ızes reais ∆ = 0 = Ra´ız ´unica ∆ < 0 = Nehuma ra´ız real

1.4 Gr´afico

O gr´afico de uma fun¸c˜ao quadr´atica ´e uma figura geom´etrica conhecida como par´abola ela pode ser definida como uma sec¸c˜ao vertical inclinada de um cone como mosta a figura:

∆ = 0 = o Gr´afico Corta o eixo Ox 1 vez ∆ < 0 = o Gr´afico Corta o eixo Ox nenhuma vez

OBS: as demosntra¸c˜oes formais dessas propriedades exigem um conhecimento b´asico de c´alculo 1 (derivadas), ent˜ao vamos deixar de lado no momento.Mas o aluno pode observar essas propriedades utilizando o geogebra e realizando a troca de sinais do coeficientes.

1.4.2 M´aximos e M´ınimos

E p´^ ´ ossivel observando o gr´afico da fun¸c˜ao quadr´atica que se o coeficiente a > o a fun¸c˜ao quadr´atica admite um valor m´ınimo por´em quando o coeficiente a < 0 a fun¸c˜ao admite um valor m´aximo. E de extrema importˆ´ ancia pr´atica e te´orica determinar qual os pontos coordenadas desses m´aximo e m´ınimos que tamb´em s˜ao chamados de v´ertices da parabola e representadas dessa maneira V(Xv,Yv). Podemos descobrir esses pontos atrav´es das seguintes equa¸c˜oes:

Xv = −b 2 a Demonstra¸c˜ao: Pela geometria da par´abola sabemos que o v´ertice esta localizado exa- tamente no meio dela , tamb´em ´e de conhecimento geom´etrico que o Xv da par´abola ´e igual ao ponto m´edio das ra´ızes. (no estudo da geometria an´alitica o ponto m´edio ´e o obtida pela m´edia aritm´etrica dos pontos extremos).

Xv = r1 + r 2 2

r1 = (−b) +

2 a e r2 = (−b) −

2 a

Xv =

− 2 b 2 a 2

Xv = −b 2 a

C.Q.D

Para o Yv temos a seguinte express˜ao:

Y v =

4 a

Demonstra¸c˜ao: Observe que estamos estudando fun¸c˜oes isso significa que o Y v na verdade seria apenas a imagem de Xv, ou seja, f (Xv) = Y v:

f (Xv) = a(− 2 ab )^2 + b(− 2 ab ) + c

Y v = ab^2 4 a^2

−b^2 2 a

• c

Y v = ab^2 − 2 ab^2 + 4a^2 c 4 a^2

Y v = −b^2 + 4ac 4 a

4 a

C.Q.D

1.5 Formas da fun¸c˜ao quadr´atica

A fun¸c˜ao quadr´atica pode ser escrita de 3 maneiras interessantes al´em da usual j´a apresentada, essas duas formas s˜ao as:

1.6 Forma Polinomiial

Esta forma adv´em da teoria polinˆomios especificamente da parte de rela¸c˜oes de Girard que ser´a estudado no 6º Per´ıodo, mas ´e bem simples e vale a pena aprender:

f (x) = a[x^2 − Sx + P ] , onde S= Soma das ra´ızes e P= Produto das ra´ızes

S = −b a e P = c a

Demonstra¸c˜ao da Soma:

S = r1 + r 2

r1 = (−b) +

2 a

e r2 = (−b) −

2 a

S = (−b) +

2 a

(−b) −

2 a

− 2 b 2 a

−b a

C.Q.D

1.7 Estudo do sinal

Para iniciar esse estudo ´e necess´ario ter em mente que uma par´abola sempre divide o plano cartesiano em 3 regi˜oes onde o sinal dessas popde variar de acordo com o Determinante e sinal do coeficiente a, para melhorar a visualiza¸c˜ao observe a seguinte imagem:

Tendo essa divis˜ao em mente, podemos analisar o sinal de acordo com as varia¸c˜oes dos coeficientes da fun¸c˜ao e resumir da seguinte forma:

2.9 Equa¸c˜ao de Bhaskara

x = (−b) ±

2 a

∆ = b^2 − 4 ac

2.10 Descriminante

∆ > 0 ⇒ 2 ra´ızes ∆ = 0 ⇒ 1 ra´ız ∆ < 0 ⇒ Nenhuma ra´ız

2.11 Imagem da fun¸c˜ao

Im = {x ∈ R|x ≤ Y v} Para a < 0 Im = {x ∈ R|x ≥ Y v} Para a > 0

2.12 V´ertice da fun¸c˜ao

Xv = −b 2 a e Y v =

4 a

V´ertice(Xv,Yv) =( −b 2 a

4 a

2.13 Forma Polinomial

f (x) = a[x^2 − Sx + P ]

2.14 Soma e Produto de ra´ızes

S =

−b a e P = c a

2.15 Forma Fatorada

f (x) = a(x − r1)(x − r2)

2.16 Forma canˆonica

f (x) = a[(x + Xv)^2 + Y v]

2.17 Solu¸c˜oes de inequa¸c˜oes

2.17.1 Caso 1 (a > 0; ∆ > 0)

Solu¸c˜ao = {x ∈ R|r 1 < x < r 2 } Para f (x) < 0 Soluc¸˜ao = {x ∈ R|r 1 < x ∪ x > r 2 } para f (x) > 0

2.17.2 Caso 2 (a > 0; ∆ = 0)

Soluc¸˜ao = {x ∈ R|x 6 = r} Para f (x) > 0 Solu¸c˜ao = {} Para f (x) < 0

2.17.3 Caso 3 (a > 0; ∆ < 0)

Soluc¸ao˜ = {x ∈ R|x = R} Para f (x) > 0 Solu¸c˜ao = {} Para f (x) < 0

2.17.4 Caso 4 (a < 0; ∆ > 0)

Solu¸c˜ao = {x ∈ R|r 1 < x < r 2 } Para f (x) > 0 Soluc¸˜ao = {x ∈ R|r 1 < x ∪ x > r 2 } para f (x) < 0

2.17.5 Caso 5 (a < 0; ∆ = 0)

Soluc¸˜ao = {x ∈ R|x 6 = r} Para f (x) < 0 Solu¸c˜ao = {} Para f (x) > 0

2.17.6 Caso 6 (a < 0; ∆ < 0)

Soluc¸ao˜ = {x ∈ R|x = R} Para f (x) < 0 Solu¸c˜ao = {} Para f (x) > 0

OBS: Consulte sem culpa quando estiver fazendo exerc´ıcios vai lhe ajudar a memorizar desde que vocˆe saiba qual l´ogica por tr´as da f´ormula.

3.3 N´ıvel 3

3.3.1 Quest˜ao 1) (MONITOR - ITA Adaptada) Sabendo que me uma fun¸c˜ao quadr´atica definida como f (x) = ax^2 + bx + c o coeficiente a escrito em fun¸c˜ao de m ´e dado por :

a = m^2 − 2 m m^2 − 3 m + 2

(a) Ela admite um m´ınimo para todo m tal que 12 < m < (^32)

(b) Ela admite um m´ınimo para todo m tal que 0 < m < 1

(c) Ela admite um m´aximo para todo m tal que −^12 < m < (^12)

(d) Ela admite um m´aximo para todo m tal que 12 < m < (^32)

(e) Ela admite um m´aximo para todo m tal que 0 < m < 1

3.3.2 Quest˜ao 2) (IME) Seja f: IR→IR uma fun¸c˜ao quadr´atica tal que f(x)= ax² + bx + c, a 0, para todo x pertencente `a IR. Sabendo que x1=-1 e x2=5 s˜ao ra´ızes e que f(1)=8, pede-se:

(a) Determine a, b, c

(b) Calcular f(0)

(c) Verificar se f(x) apresenta m´aximo ou m´ınimo, justificando a resposta

(d) As coordenadas do ponto extremo

(e) O esbo¸co do gr´afico

3.3.3 Quest˜ao 3) (MONITOR) Sabendo que a velocidade de um velocista ´e definida por uma fun¸c˜ao do quadr´atica, e que a maior velocidade adquirida Por este velocista ´e 6m/s e ´e alcan¸cada ap´os 1 minuto de corrida, determine a fun¸c˜ao da velocidade em fun¸c˜ao tempo durante a corrida. (considere a escala do eixo das abcissas em minutos e eixo y em m/s).

3.3.4 Quest˜ao 4 (MONITOR) Resolva o que se pede sobre a fun¸c˜ao abaixo:

f (x) = x^4 − 10 x^2 + 16 a) Seus Zeros

b) Sua forma fatorada

3.3.5 Quest˜ao 5 (ENEM - 2016) Um t´unel deve ser lacrado com uma tampa de concreto.A se¸c˜ao transversal do t´unel e a tampa de concreto tˆem contornos de um arco de par´abola e mesmas dimens˜oes.Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a ´area sob o arco parab´olico em quest˜ao.Usando o eixo horizontal no n´ıvel do ch˜ao e o eixo de simetria da par´abola como eixo vertical, obteve a seguinte equa¸c˜ao para par´abola: y = 9 − x^2

Sabe-se que a ´area sob uma par´abola como esta ´e igual a

da ´area do retˆangulo cujas dimens˜oes s˜ao, respectivamente, iguais `a base e ´a altura da entrada do t´unel.

Qual ´e a ´area da parte frontal da tampa de concreto?

(a) 18

(b) 20

(c) 36

(d) 45

(e) 54

3.3.6 Quest˜ao 6) (MONITOR) Sabendo que as ra´ızes de uma fun¸c˜ao quadr´atica somadas resulta em 5 e que o produto da mesmas d´a 6, e que f (1) = 1 se pede: (a) a fun¸c˜ao

(b) Ra´ızes

(c) Forma Polinomial

(d) Imagem e Dom´ınio

(e) Coordenadas do v´ertice (f) Forma Canˆonica