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Pré-Cálculo
Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Parte 12
Pré-Cálculo 1
A função quadrática
Pré-Cálculo 2
A função quadrática
y = f (x) = a · x 2
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo y.
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b^2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o eixo x.
A função quadrática
y = f (x) = a · x 2
(5) Se ∆ = b^2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo x em dois pontos de abscissas:
x 1 =
−b −
2 · a
a x 2 =
−b +
2 · a
(6) Se ∆ = b^2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo x no ponto de abscissa:
x 1 = −
b
2 · a
A função quadrática
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo 5
Completamento de quadrados
Pré-Cálculo 6
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v )^2 = u^2 + 2 (u)(v ) + v 2 e (u − v )^2 = u^2 − 2 (u)(v ) + v 2.
x^2 − 8 x + 15 =
x 2 − 2 (x) ( 4 ) +?
x 2 − 2 (x) ( 4 ) + 16
x − 4
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x^2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4 ) 2 − 1 = 0
⇔ (x − 4 )
2 = 1
(x − 4 )
2
⇔ |x − 4 | = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v ) 2 = u 2
- 2 (u)(v ) + v 2 e (u − v ) 2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
− x 2
x 2 − 2 (x) ( 1 ) +?
x 2 − 2 (x) ( 1 ) + 1
x − 1
Pré-Cálculo 13
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x 2
- 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1 ) 2 = 0
⇔ (x − 1 ) 2 = 0
(x − 1 ) 2 =
⇔ |x − 1 | = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Pré-Cálculo 14
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v )^2 = u^2 + 2 (u)(v ) + v 2 e (u − v )^2 = u^2 − 2 (u)(v ) + v 2.
x^2 + 2 x + 4 =
x 2
x 2
x + 1
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x^2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1 ) 2
⇔ (x + 1 ) 2 = − 3.
Moral: como (x + 1 ) 2 ≥ 0 para todo x ∈ R e − 3 < 0, segue-se que a equação x 2
- 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6 = 0.
a x^2 + b x + c = a
x 2
b
2 a
−? + c
= a
x 2
b
2 a
b^2
4 a^2
−? + c
= a
x 2
b
2 a
b^2
4 a^2
b^2
4 a
= a
x 2
b
2 a
b 2
4 a^2
b 2
4 a
− c
= a
x 2
b
2 a
b^2
4 a^2
b^2 − 4 ac
4 a
= a
x +
b
2 a
4 a
Pré-Cálculo 17
A forma canônica do trinômio
Pré-Cálculo 18
A forma canônica do trinômio
Forma canônica do trinômio: se a 6 = 0, então
a x
2
+ b x + c = a
x +
b
2 a
b
2
− 4 ac
4 a
Aplicação: raízes de uma equação
quadrática
Escalas em Gráficos
Pré-Cálculo 25
Cuidado!
Se os eixos coordenados são desenhados com escalas diferentes, distorções podem aparecer!
1 x
1
y
0 1 x
1
y
0
(escalas iguais para os eixos) (escalas diferentes para os eixos)
Pré-Cálculo 26
Cuidado!
Um círculo é desenhado como uma elipse.
1 x
1
y
0
Cuidado!
Um quadrado é desenhado como um retângulo.
1 x
1
y
0
Cuidado!
Ângulos são distorcidos.
1 x
1
y
0
Pré-Cálculo 29
Contudo, escalas diferentes podem ser necessárias!
y = f (x) = 1000 x^2
1 x
1
y
0
Pré-Cálculo 30
Transformações de Funções
Transformações de funções
Objetivo:
dado o gráfico de uma função y = f (x) e uma constante c, obter os gráficos das funções
y = f (x + c), y = f (x) + c, y = c · f (x), y = f (c · x),
y = f (|x|) e y = |f (x)|.
Moral
Somar uma constante c a variável independente x de uma função f tem o efeito geométrico de transladar horizontalmente para a direita (quando c < 0) ou para a esquerda (quando c > 0) o gráfico de f.
f (x) = x^2 g(x) = f (x + 2 ) = (x + 2 )^2
f (x) = x^2 g(x) = f (x − 2 ) = (x − 2 )^2
Pré-Cálculo 37
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por g(x) =
x + 2.
Relembremos o gráfico da função definida por f (x) =
x:
Pré-Cálculo 38
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por g(x) =
x + 2.
Note que g(x) =
x + 2 = f (x + 2 ), portanto o gráfico de g é o de f , transladado 2 unidades para a esquerda:
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por g(x) =
x + 2.
O domínio de f (x) =
x é [ 0 , +∞), logo o domínio de g(x) =
x + 2 é [− 2 , +∞).
Caso g(x) = f (x) + c
Pré-Cálculo 41
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c
Se f está definida no intervalo [ 1 , 3 ] e c = 1, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (x) + 1?
x ∈ domínio de g ⇔ x ∈ domínio de f ⇔ x ∈ [ 1 , 3 ].
Pré-Cálculo 42
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c
(Ir para o GeoGebra)
Transformações de funções: g(x) = f (x) + c
(Ir para o GeoGebra)
Caso g(x) = f (c · x)
Pré-Cálculo 49
Transformações de funções: g(x) = f (c · x)
Se f está definida no intervalo [ 2 , 4 ] e c = 0 .4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c · x) = f ( 0. 4 · x)?
x ∈ domínio de g ⇔ c · x ∈ domínio de f ⇔ 2 ≤ c · x ≤ 4 (c > 0) ⇔ 2 /c ≤ x ≤ 4 /c ⇔ x ∈ [ 2 /c, 4 /c] ⇔ x ∈ [ 5 , 10 ].
Se f está definida no intervalo [ 2 , 4 ] e c = 4, qual é o domínio natural (efetivo) de y = g(x) = f (c · x) = f ( 4 · x)?
x ∈ domínio de g
(c > 0) ⇔ x ∈ [ 2 /c, 4 /c] ⇔ x ∈ [ 1 / 2 , 1 ].
Pré-Cálculo 50
Transformações de funções: g(x) = f (c · x)
(Ir para o GeoGebra)
Transformações de funções: g(x) = f (c · x)
(Ir para o GeoGebra)
Moral
Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para 0 < c < 1) ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f.
fHxL=senHxL (^) g 2 HxL=fHxê 2 L g 1 HxL=fH2xL
Π 4
Π 2
3 Π 4 Π^
3 Π 2 2 Π^3 Π^4 Π
x
1
y
Pré-Cálculo 53
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por i(x) =
2 x + 2 − 1.
Relembremos o gráfico da função definida por h(x) =
x + 2 − 1, da atividade anterior:
Pré-Cálculo 54
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por i(x) =
2 x + 2 − 1.
Note que i(x) =
2 x + 2 − 1 = h( 2 x), portanto o gráfico de i é o de h, comprimido horizontalmente à metade (fator 1/2):
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por i(x) =
2 x + 2 − 1.
O domínio de h é [− 2 , +∞), logo o domínio de i é dado por [− 2 / 2 , +∞) = [− 1 , +∞).
Moral
Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < c < 1) verticalmente o gráfico de f.
fHxL=senHxL
g 2 HxL=fHxLê 2
g 1 HxL=2 fHxL
Π 2 Π^
3 Π 2 2 Π
x
1
2
y
Pré-Cálculo 61
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por j(x) = 3
2 x + 2 − 3.
Relembremos o gráfico da função definida por i(x) =
2 x + 2 − 1, da atividade anterior:
Pré-Cálculo 62
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por j(x) = 3
2 x + 2 − 3.
Note que j(x) = 3 (
2 x + 2 − 1 ) = 3 i(x), portanto o gráfico de j é o de i, expandido verticalmente:
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por j(x) = 3
2 x + 2 − 3.
O domínio de j é o mesmo de i, dado por [− 1 , +∞).
Caso g(x) = −f (x)
Pré-Cálculo 65
Transformações de funções: g(x) = −f (x)
Multiplicar uma função f por −1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo-x o gráfico de f. M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M
Pré-Cálculo 66
Caso g(x) = f (−x)
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por `(x) = − 3
2 x + 2 + 3.
Relembremos o gráfico da função definida por j(x) = 3
2 x + 2 − 3, da atividade anterior:
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por m(x) = − 3
− 2 x + 2 + 3.
Note que m(x) = − 3
2 (−x) + 2 + 3 = (−x), portanto o gráfico de m é o de, refletido com relação ao eixo y:
Pré-Cálculo 73
Atividade
Esboçar o gráfico da função definida por m(x) = − 3
− 2 x + 2 + 3.
O domínio de ` é [− 1 , +∞), logo o de m é (−∞, 1 ].
Pré-Cálculo 74
Caso g(x) = |f (x)|
Transformações de funções: g(x) = |f (x)|
g(x) = |f (x)| =
+f (x), se f (x) ≥ 0 , −f (x), se f (x) < 0.
f (x) = x^2 − 1 g(x) = |f (x)| = |x^2 − 1 |
Caso g(x) = f (|x|)
Pré-Cálculo 77
Transformações de funções: g(x) = f (|x|)
g(x) = f (|x|) =
f (+x), se x ≥ 0 , f (−x), se x < 0.
f (x) = x^3 − 3 x^2 + 2 x + 1 g(x) = f (|x|) = |x|^3 − 3 |x|^2 + 2 |x| + 1
Pré-Cálculo 78
Exercício resolvido
Exemplo: esboce o gráfico de y = 4 − |x − 2 |
y = f (x) = |x| y = g(x) = f (x − 2 ) = |x − 2 |
y = h(x) = −g(x) = −|x − 2 | y = l(x) = h(x) + 4 = 4 − |x − 2 |
