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Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – 2ª Prova – 23/5/2006 – Duração 100 minutos
(Não é permitido o uso de calculadoras).
g
1ª Questão (3,5 pontos) A figura mostra um
disco homogêneo, de massa m e raio 2a, que
gira livremente em torno de seu centro fixo O
com velocidade angular ω. Em um
determinado instante o ressalto A do disco, de
dimensões desprezíveis de forma a não alterar a
distribuição de massa do disco, choca-se com a
barra de massa m e comprimento 4a que está
articulada em C e inicialmente em repouso.
Sendo o coeficiente de restituição e, pede-se:
a) O diagrama de corpo livre apenas do disco
e o diagrama de corpo livre apenas da barra.
b) Determine as velocidades angulares ω′^ do
disco e Ω′ da barra após o impacto.
c) O impulso reativo em O.
d) O mínimo valor de ω para que a barra
venha a se chocar contra o disco.
2ª Questão (3,0 pontos)
1) No sistema da figura, o disco homogêneo
(massa m , raio R ) gira ao redor da barra OG
(massa desprezível, comprimento l ) com
velocidade angular constante ω; a barra OG
mantém a direção horizontal e gira com
velocidade angular constante Ω ao redor do
eixo vertical que passa pela articulação O. O
conjunto está montado dentro de um
elevador que sobe com aceleração constante
a j
r
. Usando o sistema de coordenadas
(O, x , y , z ) solidário à barra, pede-se:
a) o vetor de rotação absoluto
r
ω a do disco e a
aceleração do seu baricentro;
b) o valor de Ω para que o movimento descrito
seja possível (precessão estacionária);
c) supondo conhecido o valor de Ω determinado
no item (b), calcule as reações na articulação
O;
d) responda e justifique: o movimento descrito
será possível se o elevador descer em queda
livre?
2a
a 3a
O
A
B C G D
m, R
O
x, i
j
l G
y,
z, k
base do elevador
a
g
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3ª Questão (3,5 pontos) (baseada no EP)
Considere o pião simétrico sujeito apenas à ação da força peso, representado na figura 3.1. O eixo fixo OZ é vertical e O é uma articulação. Nestas condições a equação diferencial que descreve o movimento do pião é,
θ θ
α β θ β α θ θ sen sen
( cos )( cos ) I (^) I 3 = mgzG
Onde α = KOZ = Iφ &sin^2 θ + J cos θ ( ψ &+ φ &cos θ )e
β = KOz = J ( ψ &^ + φ &cos θ ), componentes do momento angular nas direções dos eixos OZ e Oz , respectivamente, são duas constantes que dependem apenas das condições iniciais do movimento; I e J são os momentos de inércia do pião em relação aos eixos y e z respectivamente. Os valores adotados nas simulações são: mgzG = 0. 2 Nm; I =1,0kgm^2 ;^ J = 2 I.
a) Esboce o digrama SCICOS para o problema.
- A figura 3.2 mostra os gráficos das coordenadas do centro de massa do pião em função do tempo; os itens b), c) e d) referem-se a esta figura: b) Responda e justifique: que tipo de movimento é executado pelo pião? c) Calcule aproximadamente o valor da velocidade de
precessão φ &^.
d) Sabendo que no movimento descrito ψ &^ > 0 , qual o
sentido de φ &^?
- As figuras 3.3.1 e 3.3.2 mostram os gráficos de θ e θ &
em função do tempo; sabendo que os dois movimentos descritos nestas figuras têm mesmos valores iniciais de φ e φ &^ , responda e justifique: e) Em qual figura é apresentado o movimento que tem o maior valor inicial de ψ &^?
Figura 3.3.
Z
z
y
X x
Y
O
ψ &
φ &
θ
θ φ
zG
mg
Figura 3.
Figura 3.
Figura 3.3.
-1.5 0 1 2 3 4 5 6
-0.
0
1
θ &
θ
t
-0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-0.
0
Z G
X G
Y G
t
-1 0 1 2 3 4 5 6
-0.
0
1
θ &
θ
t
2ª Questão (3,0 pontos)
- No sistema da figura, o disco homogêneo (massa m , raio R ) gira ao redor da barra OG (massa desprezível, comprimento l ) com velocidade angular constante ω; a barra OG mantém a direção horizontal e gira com velocidade angular constante Ω ao redor do eixo vertical que passa pela articulação O. O conjunto está montado dentro de um elevador que sobe com aceleração constante a j
r
. Usando o sistema de coordenadas (O, x , y , z ) solidário à barra, pede-se: a) o vetor de rotação absoluto
r
ω a do disco e a aceleração do seu baricentro;
b) o valor de Ω para que o movimento descrito seja possível (precessão estacionária); c) supondo conhecido o valor de Ω determinado no item (b), calcule as reações na articulação O; d) responda e justifique: o movimento descrito será possível se o elevador descer em queda livre?
abs i j
r r^ r ω =ω +Ω (0,5)
a (^) G,arr a j r r = ; a (^) G,rel^2 Li r r = −Ω ; a (^) G,cor 0 r r = Ë a (^) G^2 Li aj
r r^ r = −Ω + (0,5)
TMA pólo em O: H O m( vG vO) MO
&r^ r r r = ∧ +
( ) [ ][ ] { } mL j
mR i 2
mR H mG O v i j k J mLv k^2
2 2 O O O abs O
r (^) r r r r r r r^ r Ω
= − ∧ + ω = + ω + +
k 2
mR H mLak mLv i
2 O O
&r^ r r^ r = + Ω − ωΩ
M (^) O mgL k
r r =−
k m[ ( v j Lk) v j] ( mgLk)
mR mLv i mLa O O
2 O
r r r r r r = −Ω ∧ + −
Ω + − ωΩ
resolvendo para a direção (^) k
r :
ω
R
2 Lg a (1,0)
TMB: m ( 2 L^ i aj) XOi ( YO mg) j ZOk
r r r r r − Ω + = + − + (0,5)
Ë X O = −mΩ^2 L Ë YO = m(a +g) Ë ZO = 0
Caso em queda livre, a = -g ⇒ Ω= 0 e assim não há precessão. (0,5)
m, R
O
ω
x, (^) i
j
l G
y,
z, k
Ω
base do elevador
a
g
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Questão 3 (3,5 pontos) Baseada no 2º Exercício computacional. Considere o pião simétrico sujeito apenas à ação da força peso, representado na figura 3.1. O eixo fixo OZ é vertical e O é uma articulação. Nestas condições a equação diferencial que descreve o movimento do pião é,
θ θ
θ α β θ β α θ sen sen
( cos)( cos) I (^) I 3 = mgzG &&+ − −
onde (^) α = KO Z = Iϕ & (^) sin 2 θ + J cos θ ( ψ &+ ϕ &cos θ ) e β = KOz = J ( ψ & + ϕ &cos θ ), componentes do momento angular nas direções dos eixos OZ e Oz , respectivamente, são duas constantes que dependem apenas das condições iniciais do movimento; I e J são os momentos de inércia do pião em relação aos eixos y e z respectivamente. Os valores adotados nas simulações são:
mgzG = 0. 2 Nm; I =1,0kgm^2 ; J = 2 I. a) Esboce o diagrama SCICOS para o problema.
- A figura 3.2 mostra os gráficos das coordenadas do centro de massa do pião em função do tempo; os itens a), b) e c) referem-se a esta figura. b) Responda e justifique: que tipo de movimento é executado pelo pião? c) Calcule aproximadamente o valor da velocidade de precessão ϕ &^. d) Sabendo que no movimento descrito (^) ψ &^ > 0 , qual o sentido de ϕ &? - As figuras 3.3.1 e 3.3.2 mostram os gráficos de (^) θ e θ &^ em função do tempo; sabendo que os dois movimentos descritos nestas figuras têm mesmos valores iniciais de ϕ e ϕ &^ , responda e justifique: e) Em qual figura é apresentado o movimento que tem o maior valor inicial de (^) ψ &^?
Figura 3.3.
Z z
y
X x
Y
O
ψ &
φ &
θ
θ φ
zG
mg
Figura 3.
Figura 3.
Figura 3.3.
-1.5 0 1 2 3 4 5 6
-0.
0
1
θ &
θ
t
-1 0 1 2 3 4 5 6
-0.
0
1
θ &
θ
t
-0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-0.
0
Z G
X G
Y G
t
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e) Os gráficos mostram que o período de nutação é menor no movimento descrito na figura 3.3. 2, indicando que neste caso, a “rigidez giroscópica” é maior. Como essa “rigidez” é proporcional a (^) ψ & ,
o maior valor inicial de (^) ψ & corresponde ao movimento descrito na figura3.3.2. (0,5)
