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Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Terceira Prova – 28 de junho de 2006
Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (3,0 pontos)
A barra AB de comprimento 2 L , do mecanismo da figura ao lado, é articulada em C na bucha que desliza sem atrito ao longo da barra DE. Usando o Princípio do Trabalho Virtual, determine o momento M necessário para manter o mecanismo em equilíbrio quando submetido à força F , perpendicular à parede e aplicada no ponto A. (O mecanismo está sobre um plano horizontal sem atrito)
2ª Questão (3,0 pontos)
Um disco de massa m e raio R está articulado no ponto A. A barra OC , de massa m e comprimento L está articulada em O. Uma mola une a periferia do disco ao ponto C da barra. A extremidade C da barra está presa a um amortecedor viscoso linear. O momento M está aplicado na barra (considere a mola sem deformação na posição da figura e ângulo φ pequeno). Pede-se determinar:
a) A energia cinética do sistema b) A energia potencial do sistema c) A função de dissipação de Rayleigh do sistema d) As equações de movimento do sistema pelo método de Lagrange para as coordenadas φ e θ.
3ª Questão (4,0 pontos) Baseada no 3º Exercício Programa.
A figura mostra um volante homogêneo de massa M = 1 , 0 kg e raio R = 0 , 1 m desbalanceado pela adição
de uma massa concentrada m = 0 , 05 kg na sua periferia. Uma mola linear de constante elástica
K = 23. 625 N / m e um amortecedor viscoso linear de constante de amortecimento C = 10 Ns / m estão
conectados ao centro O do volante, que pode se movimentar apenas na direção vertical y. O volante gira sob a ação de um torque acionador que varia em função da velocidade angular θ &^ segundo a expressão
( )
op
T T
ω
θ θ
& (^0 1) , onde T 0 é o torque de partida do motor e ω (^) op = 1800 rpm é a sua velocidade de
operação quando desconectado do volante.
B
A
E
C
F D M
L
L
θ
A
k
O
c
m
g
θ φ
M
R L m
B C
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θ &
m θ
T ( θ &)
y
x
g
G
O
K C
d
volante
Considere que o volante está inicialmente em repouso na posição y = 0 e que g = 9 , 81 m / s^2.
As equações diferenciais que descrevem o movimento do sistema são:
^ ( )
θ θ θ θ
θθ θ θ cos cos
cos 2 md y J T m gd
my md Ky Cy md sin mg t Z t
t t t t O
&& &&^ &
onde M m
mR d MR J (^) ZO mR
= + , = 2
2 (^2) e m M m t = +
A freqüência natural do sistema composto pelo volante e pela
mola é s
rad m
K t
ω (^) nat = = 150 , 0.
Pede-se:
a) De que forma as equações acima devem ser reescritas para que possam ser integradas utilizando o SCICOS? Reproduza o diagrama SCICOS empregado para integrar as equações o obter os
gráficos de θ &(^ t ), y ( t )e T ( t ).
b) Foram feitas simulações adotando T 0 (^) = 14 , 0 Nm e T (^) 0 = 6 , 0 Nm. Considerando o gráfico mostrado na figura 3, a qual valor de T 0 ele corresponde? Faça um gráfico mostrando o
comportamento de T ( t )correspondente
a este valor de T 0.
Figura 3 : θ &(^ t )correspondente a T 0 =?
c) Faça um gráfico de T ( t ) e um gráfico de θ &(^ t ) que ilustrem a ocorrência do fenômeno denominado
“sincronização de freqüência” ou “efeito de Sommerfeld ” no sistema estudado; indique claramente o valor de T 0 e o valor de θ &^ correspondente a t →∞.
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Resolução da 2ª Questão (3,0 pontos)
Um disco de massa m e raio R está articulado no ponto A. A barra OC , de massa m e comprimento L está articulada em O. Uma mola une a periferia do disco ao ponto C da barra. A extremidade C da barra está presa a um amortecedor viscoso linear. O momento M está aplicado na barra (considere a mola sem deformação na posição da figura e ângulo φ pequeno). Pede-se determinar: a) A energia cinética do sistema b) A energia potencial do sistema c) A função de dissipação de Rayleigh do sistema d) As equações de movimento do sistema pelo método de Lagrange para as coordenadas φ e θ. Resolução:
Disco: 2
2 2 disco Az 4
mR J 2
E = θ&^ = θ& Barra: 2
2 2 barra Oz 6
mL J 2
E = φ&^ = φ& (0,5) + (0,5)
Sistema: E (^) sistema = Edisco+Ebarra Ë 2
2 2 2 sistema (^6)
mL 4
mR E = θ& + φ&
Energia Potencial: (^ ) kR L^2 2
V = θ− φ (0,5)
Função dissipação de Rayleigh: (^ )
2 c L 2
R = φ&^ (0,5) (0,5) (para as forças generalizadas)
Coordenada θ :
0 ; Q 0
R
kR kRL ;
(T V)
(T V) mR dt
d ; 2
( T V) mR^222 = = ∂θ
=− θ+ φ ∂θ
= θ
∂θ
= θ ∂θ
& & & && & θ
kR kRL 0 2
mR (^22) θ&&+ θ− φ =
Coordenada φ :
; (T V) kRL kL ; R cL ; Q M 3
(T V) mL dt
; d 3
(T V) mL^222 = (^2) φ = ∂φ
= θ− φ ∂ ∂φ
= φ ∂ −
∂φ
= φ ∂ − ∂φ
∂ − & & & && &^ & φ
cL kL kRL M 3
mL (^222) φ&&^ + φ&+ φ− θ = (0,5) (para as equações de movimento)
A
k
O
c
m
g
θ φ
M
R L m
B C
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m θ
T ( θ &)
y
x
g
G
O
K C
d
volante
Resolução da 3ª Questão (4,0 pontos) Baseada no 3º Exercício Programa.
A figura ao lado mostra um volante (disco) homogêneo de massa M = 1 , 0 kg e raio R = 0 , 1 m desbalanceado pela adição de uma
massa concentrada m = 0 , 05 kg na sua periferia. Uma mola linear
de constante elástica K = 23. 625 Nm e um amortecedor viscoso
linear de constante de amortecimento C = 10 Nsm estão conectados ao centro O do volante, que pode se movimentar apenas na direção vertical y. O volante gira sob a ação de um torque acionador que varia em função da velocidade angular θ & segundo a expressão T ( θ &^ ) = T 0 ( 1 − θ & ωop ). T 0 é o torque de partida
do motor e ω (^) op = 1800 rpm≅ 188 , 5 rad/s é a sua velocidade de
operação quando desconectado do volante. Considere que o volante está inicialmente em repouso na posição y= 0 e que g = 9 , 81 m s^2.
As equações diferenciais que descrevem o movimento do sistema são:
^ ( )
θθ θ θ && &&^ &
&& && & & md y J mgd T
my md Cy md Ky mg t Z t
t t t t cos O cos
cos 2 sin ,
onde J Z O = ( m + M 2 ) R^2 , d = R ( m ( mt ))e mt = M + m. A freqüência natural amortecida do sistema composto
pelo volante e pela mola é ω (^) nat = Kmt = 150 , 0 rad/s.
Pede-se:
a)Descreva como devem ser transformadas as equações dinâmicas acima, para que possam ser integradas utilizando o SCICOS, desta forma evitando-se erro lógico? Reproduza o diagrama SCICOS por você elaborado, para integrar as equações e obter os gráficos de θ &^ ( t ), y ( t )e T ( t ).
Resolução É necessário isolar as acelerações à esquerda da igualdade e desacoplar as duas equações, de modo que elas sejam escritas da forma:
( ) ( )
, , , ,
, , , , 2
1 θ θ
θθ θ & &
& & &&
&& f y y
y f y y (0,5)
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Resolução
O gráfico da figura 3a corresponde a T (^) 0 = 14 , 0 Nm , pois, conforme verificado através das simulações, para
este valor de torque de partida o motor é capaz de atingir uma velocidade de rotação próxima a
ω op ≈ 188. 5 rad / s ; o gráfico de T ( t )é mostrado abaixo. (0,5)
c) Esboce um gráfico de T ( t ) e um gráfico de θ &^ ( t ) que ilustrem a ocorrência do fenômeno
denominado “sincronização de freqüência” ou “efeito de Sommerfeld” no sistema estudado. Indique claramente o valor de T 0 e o valor de θ &^ correspondente a t →∞.
Resolução
Gráficos de θ &^ ( t )e de T ( t )correspondentes a T 0 = 6 , 0 Nm. No gráfico de θ &^ ( t ), vê-se que θ & op^ situa-se entre
140 rad/s e 150 rad/s, ou seja, o motor não consegue imprimir uma velocidade angular superior à freqüência natural não amortecida do sistema volante-mola, mostrando que houve uma sincronização
entre a freqüência de rotação do motor e esta freqüência natural. No gráfico de T ( t ) observa-se que o
torque não oscila ao redor de zero, como seria verificado para θ &^ op ≈ ωop. (0,5)
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