A força F e o momento M , conhecidos, são aplicados ao balancim articulado em B, conforme mostrado na figura. A mola com rigidez k , presa em A, na parte circular de raio R do balancim, não está deformada quandoθθ θθ = 0°. A posição do baricentro do balancim coincide com a articulação B. Pede-se, em função dos dados do problema e utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais , determinar a posição θθθθ de equilíbrio do sistema.

2ª Questão (4,0 pontos)

O vagão de massa M suporta um pêndulo composto de comprimento L e massa m. O vagão pode deslocar-se horizontalmente e suas rodas, de massa desprezível, rolam sem escorregar. A posição do vagão é dada por x e θθθθ fornece a inclinação do pêndulo. Usando x e θθθθ como coordenadas generalizadas deste sistema, pede-se:

a) escreva a energia cinética T do sistema; b) escreva a energia potencial V do sistema; c) utilizando o método de Lagrange , deduza as equações que regem a dinâmica do sistema.

g

M

m

L θ

x

L F

M θ

k

R

A

B

C

Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5355 Fax: (0xx11) 3813 1886

Departamento de Engenharia Mecânica

3 a^ Questão (3,0 pontos)

Considere o Exercício Computacional número 2, no qual é analisado o comportamento dinâmico do sistema mostrado na Figura ao lado. Pede-se:

a) Dentre os diagramas A2 e B2, qual simula corretamente o comportamento dinâmico do sistema? Justifique claramente.

b) No item “f”, analisou-se uma situação na qual o parâmetro α = M/m = 2 e condições iniciais (t = 0): x ( 0 )= 0 ; x ˇ ( 0 )= 0 ;θ ( 0 )= 30 o ;θˇ( 0 )= 0. Esboce os gráficos de x(t) e θ(t), descreva os movimentos, interpretando-os. Faça comentários acerca de conservação de energia e da fase relativa entre os movimentos.

1/s 1/s

1/s

Mux

Scifunc Mux

Scifunc

1/s

Mux

Tetapp (^) Tetap Teta

1/s 1/s xpp^ xp^ x

1/s

Mux

Scifunc Mux

Scifunc

1/s

Mux

Tetapp (^) Tetap Teta

xpp (^) xp x

x

y

C

m

g

M

R

A2 B

Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5355 Fax: (0xx11) 3813 1886

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2ª Questão - Resolução (4,0 pontos)

O vagão de massa M suporta um pêndulo composto de comprimento L e massa m. O vagão pode deslocar-se horizontalmente e suas rodas, de massa desprezível, rolam sem escorregar. A posição do vagão é dada por x e θθθθ fornece a inclinação do pêndulo. Usando x e θθθθ como coordenadas generalizadas deste sistema, pede-se:

a) escreva a energia cinética T do sistema; b) escreva a energia potencial V do sistema; c) utilizando o método de Lagrange , deduza as equações que regem a dinâmica do sistema

2 2 2 2 G

G

L

v x x Lcos

(cos i sen j) 2

L

xi 2

L

v xi

= + θ θ+ θ

= +θ τ= +θ θ + θ

ˇ ˇˇ^ ˇ

2

2 2 2 2 2 12

mL 2

L)

m(x x Lcos 2

Mx 2

T = ˇ + ˇ +ˇθˇ θ+ θˇ + θˇ

(^2) mL 2 2 6

mx Lcos 2

x 2

(M m) T + θ θ+ θ

= − cos θ 2

L

V mg (1,0)

= + + θ θ− θ θ ∂

= + + θ θ ˇ ∂

sen 2

mL cos 2

mL ) (M m)x x

(T V)

dt

d cos 2

mL (M m)x x

(T V) ˇˇ ˇ 2

x

(T V)

sen 0 2

mL cos 2

mL (M + m)xˇˇ + θˇˇ θ− θˇ^2 θ= (1,0)

= θ− θ θ+ θ ∂θ

= θ+ θ ˇ ∂θ

mL x sen 2

mL xcos 2

mL )

(T V)

dt

d 3

mL xcos 2

(T V) mL^22

=− θ θ− θ ˇ ∂θ

sen 2

mgL x sen 2

(T V) mL ˇ ˇ sen 0 2

mgL 3

mL xcos 2

mL 2 ˇˇ (^) θ + θˇˇ+ θ = (1,0)

g

M

m

L θ

x

Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5355 Fax: (0xx11) 3813 1886

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3ª Questão - Resolução (3,0 pontos)

Considere o Exercício Computacional número 2, no qual é analisado o comportamento dinâmico do sistema mostrado na Figura ao lado. Pede-se: a) Dentre os diagramas A2 e B2, qual simula corretamente o comportamento dinâmico do sistema? Justifique claramente. b) No item “f”, analisou-se uma situação na qual o parâmetro α = M/m = 2 e condições iniciais (t = 0): x ( 0 )= 0 ; x ˇ ( 0 )= 0 ;θ ( 0 )= 30 o ;θˇ( 0 )= 0. Esboce os gráficos de x(t) e θ(t), descreva os movimentos, interpretando-os. Faça comentários acerca de conservação de energia e da fase relativa entre os movimentos.

Resolução:

a) O diagrama A2 simula corretamente o sistema pois as equações dependem apenas de θ e θˇ

b) Para as seguintes condições iniciais: x (0) = 0; x ˇ(^0 )= 0 ; θ(0) = 30°, θˇ(^0 )= 0 , α = 2; obtêm-se o

gráfico de θ(t) (linha contínua) e x (t) (linha pontilhada) mostrado na figura:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.

0

tempo (s)

Podemos notar que o pêndulo, sob a ação gravitacional, põe-se a oscilar entre as posições angulares ± 30° (± π/6 radianos), com média nula. Ao iniciar o movimento o pêndulo transfere energia ao disco acelerando-o, e colocando-o em oscilação periódica, em torno de uma média não nula. Notem que, como não existe dissipação de energia, as amplitudes dos movimentos se mantêm e as oscilações ocorrem em oposição de fase (180°).