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Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Prova Substitutiva – 04 de julho de 2006
Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (4,0 pontos)
A figura mostra um disco homogêneo de raio R e peso mg
acoplado a uma barra GB de comprimento 3L e massa
desprezível. O disco gira com velocidade angular
ω constante, em torno da barra GB. O conjunto gira em torno
do eixo vertical com velocidade angular Ω constante. O ponto
O permanece fixo e a mola BD permanece sempre horizontal.
O sistema de coordenadas ( O, x, y, z ) é solidário à barra GB.
Pede-se, para α constante e expressando as respostas no
sistema de coordenadas dado:
(a) O vetor de rotação absoluto do disco;
(b) O momento que o disco aplica sobre a barra GB;
(c) A força na mola BD.
2ª Questão (3,0 pontos)
A barra de massa m e comprimento 3L encontra-se
inicialmente em repouso, como indicado na figura. Em um
dado instante, o fio CD é cortado, fazendo com que a barra
gire e, posteriormente, choque sua extremidade A com a esfera
B de massa M. Sabendo que o choque entre a barra e a esfera é
perfeitamente anelástico, determine o vetor de rotação ω ’ da
barra imediatamente após o choque.
3ª Questão (3,0 pontos)
No sistema mostrado na figura, o disco possui massa M e raio R. O
centro O do disco pode movimentar-se apenas na direção u e está
acoplado a uma mola de rigidez k e a um amortecedor viscoso linear
de constante c. A periferia do disco está ligada a uma superfície
fixa, por meio de uma segunda mola de rigidez k e um segundo
amortecedor viscoso linear de constante c. Uma força vertical F
atua em um fio acoplado ao disco. Utilizando as coordenadas
generalizadas u e θ , e assumindo que as molas têm deformação
nula quando as coordenadas u e θ valem zero, determine:
(a) A energia cinética do sistema.
(b) A energia potencial do sistema.
(c) A função dissipativa de Rayleigh do sistema
(d) As equações de movimento para as coordenadas u e θ , usando o
método de Lagrange.
2L
L
O
G
x
y
B
D
g
g
L (^) O 2L
A
B
C
D
g
k c F
O u
k c
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Resolução da 1ª Questão (4,0 pontos)
A figura mostra um disco homogêneo de raio R e peso mg
acoplado a uma barra GB de comprimento 3L e massa
desprezível. O disco gira com velocidade angular
ω constante, em torno da barra GB. O conjunto gira em torno
do eixo vertical com velocidade angular Ω constante. O ponto
O permanece fixo e a mola BD permanece sempre horizontal.
O sistema de coordenadas ( O, x, y, z ) é solidário à barra GB.
Pede-se, para α constante e expressando as respostas no
sistema de coordenadas dado:
(a) O vetor de rotação absoluto do disco;
Ω (^) abs Ωrel Ω arr
r r r = + abs i i j
r (^) r r r Ω = ω − Ω cos α + Ω sen α
abs i^ j
r (^) r r Ω = ( ω − Ω cos α ) + Ω sen α (1,0)
Aceleração do baricentro G
a (^) G = aO + Ω ∧( G − O )+ Ω ∧[ Ω ∧( G − O )]
r r &r r r
aG 0 0 [ ( 2 Li )]
r r r^ r = + + Ω ∧ Ω ∧
2 ( sen cos sen ) 2 2 aG L j i
r r^ r = Ω − α α − α (0,5)
Aplicando o TMB no disco (ver DCL ao lado)
2 Ω ( sen α ) cos α 2 2 mL − = XG + mg
2 Ω ( sen α cos α ) sen α 2 mL − = YG − mg
0 = Z G
2 Ω sen α cos α
2 2 XG =− mL − mg
2 Ω sen α cos α sen α 2 YG = − mL + mg (0,5)
(b) O momento que o disco aplica sobre a barra GB;
Aplicando o TMA no pólo G do disco
H (^) O ( G O ) mVO { i jk }[ IO ]{ ω }
r r rrr = − ∧ +
2L
L
O
G
x
y
B
D
g
O
B
YG
XG
YO
XO
G
FM cos α
FM sen α
XG
G
YG MG
MG
mg
ZG
ZG
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Resolução da 2ª Questão (3,0 pontos)
A barra de massa m e comprimento 3L encontra-se
inicialmente em repouso, como indicado na figura. Em um
dado instante, o fio CD é cortado, fazendo com que a barra
gire e, posteriormente, choque sua extremidade A com a
esfera B de massa M. Sabendo que o choque entre a barra e a
esfera é perfeitamente anelástico, determine o vetor de rotação
ω’ da barra imediatamente após o choque.
T + V = 0 V = mgL / 2 T Jo 2 2
= ω (0,5)
( )
2 2 2
2
m L mL mL
L
J (^) O JG m = + =
2 2 2
mLω
L
mg = L
g ω = (0,5)
TMI com pólo em O (1,0)
J (^) O ω = JOω ′+ MVB ′ L mL ω = mLω ′+ MVB^ ′ L 2 2 mL ( − ′)= MVB^ ′ L 2 ω ω
V (^) B ′ = VA ′= ω ′ L (0,5)
ω − ω ′ = ω ′ 2 2 mL ( ) ML mω = ( M + m ) ω ′
L
g
M m
m
( + )
ω ′= (0,5)
g
L (^) O 2L
A
B
C
D
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Resolução da 3ª Questão (3,0 pontos)
No sistema mostrado na figura, o disco possui massa M e raio R. O
centro O do disco pode movimentar-se apenas na direção u e está
acoplado a uma mola de rigidez k e a um amortecedor viscoso linear
de constante c. A periferia do disco está ligada a uma superfície
fixa, por meio de uma segunda mola de rigidez k e um segundo
amortecedor viscoso linear de constante c. Uma força vertical F
atua em um fio acoplado ao disco. Utilizando as coordenadas
generalizadas u e θ , e assumindo que as molas têm deformação
nula quando as coordenadas u e θ valem zero, determine:
(a) A energia cinética do sistema.
2
2 2 2 2
& (^) θ &
MR
T = Mu + (1,0)
(b) A energia potencial do sistema.
V = k R − u + ku + Mg u 2 2 2
θ (1,0)
(c) A função dissipativa de Rayleigh do sistema
2 2 2
R = cRθ &^ − u & + cu & (0.5)
Forças generalizadas:
δW = Fδ x x = Rθ − u x &^ = Rθ &− u &
F
u
x Qu F = ∂
FR
x Q F = ∂
θ
θ
(d) As equações de movimento para as coordenadas u e θ , usando o método de Lagrange.
i i i i i
Q
q
R
q
V
q
T
q
T
dt
d
∂
g
k (^) c F
θ
O u
k c
