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James Clerk Maxwell
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Nota : Para outros significados de Maxwell , ver Maxwell (desambiguação)
James Clerk Maxwell
Nascimento 13 de Junho de 1831
Edimburgo , Escócia
Falecimento 5 de Novembro de 1879
Cambridge , Inglaterra
James Clerk Maxwell (13 de Junho de 1831 , Edimburgo , Escócia - 5 de Novembro de 1879 , Cambridge ,
Inglaterra ) foi um físico britânico que demonstrou em 1864 que as forças elétricas e magnéticas têm sua natureza
dependente do referencial: uma força elétrica em determinado referencial pode tornar-se magnética se analisada de outro, e vice-versa.
Aos 10 anos de idade, Maxwell foi para escola em Edimburgo , mas seus modos caipiras lhe renderam o apelido
"dafty" (abobado). Mesmo assim, ele se tornou professor em Aberdeen e, em 1860, se transferiu para o King's College,
de Londres. Após a morte de seu pai, em 1865, Maxwell se aposentou para cuidar das terras da família. Em 1871, foi
convencido a dirigir o novo Laboratório Cavendish, em Cambridge. Ele tinha acabado de estabelecê-lo como centro de
excelência científica quando morreu, aos 48 anos de idade. Além de seu trabalho espetacular em eletromagnetismo (
Equações de Maxwell ), ele provou que os anéis de Saturno tinham de ser constituídos de miríades de pequenas luas
e fez importantes contribuições à termodinâmica e à mecânica
Equações de Maxwell
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As Equações de Maxwell são o grupo de quatro equações, atribuídas a James Clerk Maxwell , que descrevem o
comportamento dos campos elétrico e magnético, bem como suas interações com a matéria.
As quatro equações de Maxwell expressam, respectivamente, como cargas elétricas produzem campos elétricos (Lei
de Gauss), a ausência experimental de cargas magnéticas , como corrente elétrica produz campo magnético (Lei de
Ampère ), e como variações de campo magnético produzem campos elétricos ( Lei da indução de Faraday). Maxwell,
em 1864 , foi o primeiro a colocar todas as quatro equações juntas e perceber que era necessário uma correção na lei
de Ampère: alterações no campo elétrico atuam como correntes elétricas, produzindo campos magnéticos.
Além disso, Maxwell mostrou que as quatro equações, com sua correção, predizem ondas de campos magnéticos e
elétricos oscilantes que viajam através do espaço vazio na velocidade que poderia ser predita de simples experiências
elétricas—usando os dados disponíveis na época, Maxwell obteve a velocidade de 310.740.000 m/s.
Maxwell ( 1865 ) escreveu:
Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que parece que temos fortes motivos para concluir que a luz em si
(incluindo calor radiante, e outras radiações do tipo) é uma perturbação eletromagnética na forma de ondas propagadas através do campo eletromagnético de acordo com as leis eletromagnéticas.
Maxwell estava correto em sua hipótese, embora ele não tenha vivido para ver sua comprovação por Heinrich Hertz
em 1888. A explicação quantitativa da luz como onda eletromagnética é considerada um dos grandes triunfos da física
do século XIX. Na verdade, Michael Faraday postulou uma descrição similar da luz em 1846 , mas não foi capaz de
dar uma descrição quantitativa ou predizer a velocidade. Além disso, serviu como base para muitos desenvolvimentos
futuros na física, tais como a relatividade restrita e sua unificação entre os campos magnético e elétrico como uma
única quantidade tensorial e a Teoria de Kaluza-Klein da unificação do eletromagnetismo com a gravidade e a
relatividade geral.
[editar] Histórico do desenvolvimento das equações de Maxwell e relatividade
As formulações de Maxwell em 1865 estavam em termos de 20 equações de 20 variáveis, que incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares do que chamamos de "Equações de Maxwell" — a Lei de Ampère corrigida (equação de três componentes), Lei de Gauss para carga (uma equação), a relação entre densidade de corrente total e
de deslocamento (três equações), a relação entre campo magnético e o vetor potencial (equação de três
componentes, que implica a ausência de carga magnética), o relacionamento entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial (equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday), o relacionamento entre campos
elétrico e de deslocamento (equações de três componentes), Lei de Ohm relacionando intensidade de corrente e
campo elétrico (equações de três componentes), e a equação de continuidade relacionando intensidade de corrente e
densidade de carga (uma equação).
Deve-se a formulação matemática moderna das equações de Maxwell a Oliver Heaviside e Willard Gibbs , que em
1884 reformularam o sistema de equações original em uma representação mais simples utilizando cálculo vetorial.
(Em 1873 Maxwell também publicou notação de base de quaterniões que acabou se tornando impopular.) A mudança
para notação vetorial produziu uma representação matemática simétrica que reforçava a percepção das simetrias
físicas entre os vários campos. Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente o desenvolvimento posterior da física fundamental.
No final do século XIX, por causa da aparência da velocidade,
nas equações, as equações de Maxwell foram tidas como servindo apenas para expressar o eletromagnetismo no
referencial inercial do éter luminífero (o meio postulado para a luz, cuja interpretação foi consideravelmente debatida).
O experimentos de Michelson-Morley , conduzido por Edward Morley e Albert Abraham Michelson, produziu um
resultado nulo para a hipótese da mudança da velocidade da luz devido ao movimento hipotético da Terra através do
éter. Porém, explicações alternativas foram buscadas por Lorentz e outros. Isto culminou na teoria de Albert Einstein
da relatividade especial, que postulava a ausência de qualquer referencial absoluto e a invariância das equações de Maxwell em todos os referenciais.
As equações do campo eletromagnético têm uma íntima ligação com a relatividade especial: as equações do campo magnético podem ser derivadas de considerações das equações do campo elétrico sob transformações relativísticas sob baixas velocidades (em relatividade, as equações são escritas em uma forma mais compacta, manifestamente
covariante , em termos de um quadritensor da intensidade do campo anti-simétrico de ordem 2, o que unifica os campos
eléctrico e magnético em um único objecto).
Kaluza e Klein demonstraram na década de 1920 que as equações de Maxwell podem ser derivadas ao se estender a
relatividade geral a cinco dimensões. Esta estratégia de se usar dimensões maiores para unificar diferentes forças é
uma área de interesse ativo na pesquisa da física de partículas.
[editar] Sumário das equações
As variáveis em negrito nas equações representam campos vetoriais ou vetores, as integrais são integrais de
superfície sobre uma superfície "fechada" , as integrais são integrais de superfície em uma superfície aberta e as
integrais são integrais de linha em um caminho fechado.
[editar] Caso geral
Nome Diferencial parcial Integral Forma integral
Lei de Gauss
Lei de Gauss para o magnetismo (ausência de
monopolos
magnéticos ):
(Isto pode realmente ser estendido para lidar também com materiais não-lineares, fazendo ε e μ dependendo da
intensidade do campo; veja, por exemplo, o efeito Kerr e o efeito Pockels.
Em meios isotrópicos e não dispersivos , ε e μ são escalares independentes do tempo, e as equações de Maxwell se reduzem a
Em um meio uniforme (homogêneo) ε e μ são constantes independentes da posição, e podem portanto ser trocadas pelas derivadas espaciais.
Mais geralmente, ε e μ podem ser tensores de segunda ordem (matrizes 3×3) descrevendo materiais birrefringentes
(anisotrópicos).
Além disso, embora para muitos propósitos a dependência tempo/freqüência destas constantes possa ser desprezada,
todo material real exibe alguma dispersão material pela qual ε e/ou μ dependem da freqüência (e a causalidade
vincula esta dependência às relações de Kramers-Kronig ).
[editar] No vácuo, sem cargas ou correntes
O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas por ε 0 e μ 0
(desprezando pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos). Caso não haja presença de correntes ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:
Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com os dois campos em fase:
Mas:
O que permite obter a equação da onda eletromagnetica:
De onde se obtem a velocidade da onda eletromagnetica (c):
Maxwell percebeu que essa quantidade "c" é simplesmente a velocidade da luz no vácuo, e concluiu que a luz é uma
forma de radiação eletromagnética.
[editar] Detalhamento
[editar] Densidade de carga e campo elétrico
A forma integral equivalente (dada pelo teorema da Divergência), também conhecida como Lei de Gauss, é:
pela teorema da Divergência :
e pela Lei de Gauss:
logo
onde é a área de um quadrado diferencial numa superfície fechada A com uma normal dirigida para fora definindo sua direção, e Q englobado é a carga livre abrangida pela superfície. portanto:
logo ,
onde ρ é a densidade de carga elétrica livre (em unidades de C/m^3 ), não incluindo dipólos de cargas ligadas no material,
e é o campo deslocamento elétrico (em unidades de C/m 2 ). Esta equação corresponde à lei de Coulomb para
cargas estacionárias no vácuo.
Em um material linear , é diretamente relacionado ao campo elétrico via uma constante dependente do material chamada
permissividade ε:
Qualquer material pode ser tratado como linear, desde que o campo elétrico não seja extremamente intenso. A permissividade do espaço livre é referida como ε 0 , e aparece em:
onde, novamente, é o campo elétrico (em unidades of V/m), ρ (^) t é densidade de carga total (incluindo as cargas ligadas), e ε 0 (aproximadamente 8,854 pF/m) é a permissividade no vácuo. ε também pode ser escrito como , onde ε (^) r é a
permissividade relativa do material ou sua constante dieléctrica.
Compare com a equação de Poisson.
[editar] A estrutura do campo magnético
é a densidade de fluxo magnético (em unidades de tesla , T), também chamada a indução magnética.
Forma integral equivalente:
é a área de um quadrado diferencial A com uma normal superficial apontando para fora definindo sua direção.
Nota: semelhantemente à forma integral do campo elétrico, esta equação somente funciona se a integral for calculada sobre uma superfície fechada.
Esta equação é relacionada à estrutura do campo magnético porque afirma que àquele dado elemento de volume, a magnitude líquida dos componentes vectoriais que apontam para fora da superfície deve ser igual à magnitude dos componentes vectoriais que apontam para dentro. Estruturalmente, isto significa que as linhas do campo magnético devem ser linhas (trajetórias) fechadas. Outra maneira de se afirmar isso é que as linhas de campo não podem se originar de outro lugar; tentando seguir as linhas de volta à sua fonte de volta à posição original. Portanto, esta é a formulação matemática da hipótese de que não há monopólos magnéticos.
[editar] Campos magnéticos e elétricos variáveis
logo:
Lei de Ampere:
Contribuição de Maxwell:
I (^) circulada é a corrente circulada pela curva c (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação:
.
No vácuo, a permeabilidade μ é a permeabilidade do espaço vazio, μ 0 , que é definida como sendo exactamente 4 π×10 - W/A m. Também, a permissividade torna-se a permissividade ε 0. Portanto, no vácuo, a equação torna-se:
Forma integral equivalente:
s é a aresta de uma superfície A (qualquer superfície com a curva s como sendo sua aresta deverá servir), e I (^) circulada é a corrente circulada pela curva s (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação: I (^) através de A =∫A J d A .)
Nota: se a densidade de fluxo elétrico não variar muito rapidamente, o segundo termo do membro direito (o fluxo de
deslocamento) é desprezível, e a equação se reduz à lei de Ampère.
[editar] Equações de Maxwell em unidades CGS
As equações acima são dadas no Sistema Internacional de Unidades, ou SI para abreviar. No sistema de unidades
CGS, as equações tomam forma mais simétrica, como segue:
Onde c é a velocidade da luz no vácuo. A simetria é mais aparente quando o campo eletromagnético é considerado no vácuo. As equações tomam a seguinte forma altamente simétrica:
A força exercida por um campo elétrico e um campo magnético sobre uma partícula carregada é dada pela equação
da força de Lorentz equação:
onde é a carga da partícula e é a velocidade da partícula. Note que esta é levemente diferente da expressão do SI
acima. Por exemplo, aqui o campo magnético tem as mesmas unidades do campo elétrico.
Nota: Todas as variáveis que são dadas em negrito representam grandezas vectoriais.
[editar] Formulação das equações de Maxwell na relatividade especial
Na relatividade especial , para expressar mais claramente o fato de que as equações de Maxwell (no vácuo) tomam a
mesma forma em todos os sistemas de coordenadas inerciais, as equações de Maxwell são escritas em termos de 4-
vetores e 4-tensor na forma "manifestamente covariante" :
e
onde J é a 4-corrente , F é o tensor intensidade de campo ( tensor de Faraday ) (escrito como uma matriz 4 × 4 ), e é
o 4-gradiente (tal que seja o operador d'Alembertiano). (O α na primeira equação é implicitamente somado de acordo
com a convenção da notação de Einstein.) A primeira equação tensorial expressa as duas equações inomogêneas de
Maxwell: lei de Gauss e a lei de Ampère com a correção de Maxwell. A segunda equação expressa as outras duas equações homogêneas: a lei de indução de Faraday e a ausência de monopólos magnéticos.
Mais explicitamente, J = (cρ, J ) (como um vector contravariante ), em termos da densidade de carga ρ e a densidade
de corrente J. Em termos do 4-potenciall (como um vector contravariante,) , onde φ é o potencial elétrico e A é o
potencial vector magnético pelo calibre de Lorenz , F pode ser expresso como:
o que conduz a uma matriz 4 × 4 (tensor de 2a ordem):
O fato de que ambos os campos eléctrico e magnético são combinados em um único tensor expressa que, de acordo com a relatividade, ambos os campos são diferentes aspectos da mesma coisa— pela troca dos referenciais, o que parecia ser um campo elétrico em um referencial se afigura como um campo magnético em outro referencial, e vice- versa.
(Veja Quadripotencial electromagnético para o relacionamente entre o d'Alembertiano do quadripotencial e a
quadricorrente, expressa em termos da antiga notação de operadores vectoriais).
Note que diferentes autores algumas vezes empregam diferentes convenções de sinal para os tensores e 4-vetores (o que não afeta a interpretação física). Note também que F αβ^ e F αβ não são os mesmos: eles são as formas do tensor
contravariante e covariante , relacionados pelo tensor métrico g. Na relatividade especial o tensor métrico introduz as
mudanças de sinal em alguns components de F ; dualidades métricas mais complexas são encontradas na relatividade
geral.
[editar] Equações de Maxwell em termos de formas diferenciais
No vácuo , onde ε e μ são constantes em toda parte, as equações de Maxwell simplificam-se consideravelmente uma
vez que se use a linguagem da geometria diferencial e formas diferenciais. Com isso, os campos elétrico e
magnético são conjuntamente descritos por uma 2-forma numa variedade espaço-temporal 4-dimensional, a qual é
usualmente chamada F. As equações de Maxwell então se reduzem à identidade de Bianchi
onde d é a derivada exterior , e a equação fonte
onde o asterisco * é a Hodge star. Aqui, os campos são representados em unidades naturais onde ε 0 é 1. Aqui, J é a
1-forma chamada a "corrente eléctrica" satisfazendo a equação da continuidade
[editar] Eletrodinâmica clássica em um espaço fibrado
