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Ondas Eletromagn´eticas
Lucas A. S. M´ol
Este texto ´e destinado a estudantes da disciplina FIS 202 (F´ısica II) da UFV e tem como objetivo principal servir como um material suplementar no estudo de ondas eletromagn´eticas. Acreditamos que este texto poder´a ser usado em substitui¸c˜ao ao cap´ıtulo 32 do livro texto^1 , mas ´e importante que fique claro que mesmo tendo sido pre- parado com este intuito o estudante ´e remetido a estudar tamb´em pelo livro texto. A id´eia b´asica da prepara¸c˜ao deste texto surgiu da observa¸c˜ao da dificuldade apresen- tada por alguns alunos quando estudavam o tema apenas atrav´es do livro texto, uma vez que o cap´ıtulo 32 est´a con- textualizado em um curso de eletromagnetismo, o qual a grande maioria dos estudantes n˜ao fez neste est´agio do curso, gerando desta forma certa dificuldade em enten- der e contextualizar seu conte´udo. Pretendemos portanto contextualizar os conceitos aos conhecimentos j´a adqui- ridos e tentar expˆo-los de forma mais clara e objetiva. Este texto foi preparado com base, principalmente, nas seguintes referˆencias: 1–5.
I. INTRODUC¸ ˜AO
Entraremos agora em uma nova parte do nosso curso, onde iremos estudar fenˆomenos ´oticos. Como sabem, a ´otica ´e o ramo da F´ısica dedicado ao estudo da luz. Ire- mos tentar explorar neste texto e nos cap´ıtulos que se seguem o que ´e a luz, como ela se comporta e como po- demos produz´ı-la. Nosso ponto de partida ser´a tentar responder a seguinte pergunta: O que ´e a luz? Talvez esta seja uma das mais antigas perguntas da humanidade, no entanto, uma resposta satisfat´oria para esta pergunta surgiu apenas no final do s´eculo XIX. Desde a Gr´ecia antiga, diversas teorias tentaram expli- car o que ´e a luz e como funciona o mecanismo de vis˜ao. Dentre estas as principais eram a teoria corpuscular e a ondulat´oria. Na teoria corpuscular, da qual Newton era defensor, apesar de admitir que esta era apenas uma su- posi¸c˜ao, a luz era entendida como sendo composta por pequenas part´ıculas que se propagavam em linha reta e que eram refletidas por corpos e detectadas pelos olhos. J´a na teoria ondulat´oria, que teve como seu principal de- fensor Christiaan Huyghens, acreditava-se que a luz era uma onda que se propagava em um meio universal sem massa que preenchia todo o universo, chamado de Eter.´ Com os experimentos de Thomas Young, feitos em torno de 1900 e que iremos discutir mais a frente, a teoria on- dulat´oria da luz ganhou for¸ca, mas fenˆomenos como a polariza¸c˜ao da luz, descobertos em 1809, n˜ao podiam ser bem explicados por esta teoria. De fato, como veremos mais a frente, estas duas teorias s˜ao complementares e atualmente acredita-se que a luz se comporta tanto como uma onda como uma part´ıcula.
Desde a antiguidade cl´assica, v´arios fil´osofos especula- ram sobre a velocidade da luz. Galileo chegou a propor em 1638 um experimento para se medir a velocidade da luz, no qual n˜ao obteve ˆexito. Em 1676 Ole Romer, obser- vando as luas de J´upiter, conseguiu obter uma estimativa da velocidade da luz, por´em, medidas realmente precisas s´o foram obtidas em 1926 por Albert Michelson, apesar das medidas feitas por James Bradley em 1728 j´a forne- cerem valores bem pr´oximos dos obtidos por Michelson.
II. UMA BREVE REVIS ˜AO SOBRE ELETROMAGNETISMO
Os fenˆomenos el´etricos e magn´eticos s˜ao conhecidos desde a antiguidade. Na Gr´ecia antiga j´a haviam relatos da observa¸c˜ao da atra¸c˜ao entre peda¸cos de ˆambar fric- cionados e palha e da repuls˜ao entre peda¸cos de ˆambar friccionados. Deste tipo de observa¸c˜ao que surgiu o ramo da eletricidade, nome que deriva da palavra grega elek- tron, que significa ˆambar. Al´em disso, tamb´em era conhe- cido o fato de que algumas rochas encontradas pr´oximas a regi˜ao da Magn´esia eram capazes de atrair peda¸cos de ferro, da´ı o nome magnetismo. Acreditava-se no en- tanto que estes fenˆomenos eram completamente distin- tos, at´e que em 1820 Hans Christian Oersted percebeu que correntes el´etricas eram capazes de produzir cam- pos magn´eticos, unificando desta forma estes fenˆomenos e dando origem ao que conhecemos hoje como eletromag- netismo. Os fenˆomenos el´etricos tem origem em uma proprie- dade intr´ınseca de algumas part´ıculas elementares, cha- mada de carga el´etrica. Esta propriedade ´e tal que observa-se que cargas el´etricas de mesmo sinal, como dois el´etrons por exemplo, se repelem enquanto cargas de si- nais opostos, como um el´etron e um pr´oton, se atraem. Esta intera¸c˜ao entre as cargas ´e mediada por um campo el´etrico, isto ´e, define-se uma propriedade do espa¸co, a qual chamaremos campo el´etrico, que ´e respons´avel por transmitir a uma carga el´etrica localizada em um ponto do espa¸co a informa¸c˜ao que existem outras cargas el´etricas no espa¸co ao seu redor. Desta forma, os cam- pos el´etricos s˜ao produzidos por cargas el´etricas (mais a frente veremos que esta n˜ao ´e a ´unica forma de se produ- zir campos el´etricos). Podemos ent˜ao entender o campo el´etrico como sendo uma propriedade do espa¸co, de forma que se uma carga el´etrica ´e colocada em um ponto do espa¸co, esta estar´a sujeita a uma for¸ca el´etrica propor- cionala sua carga el´etrica e ao campo el´etrico existente neste ponto. Desta forma, podemos restringir o estudo dos fenˆomenos el´etricos ao estudo do campo el´etrico em si e do efeito deste em cargas el´etricas. Observamos em nosso dia a dia que ´ım˜as s˜ao capa-
zes de atrair determinados materiais e de se atra´ırem ou repelirem mutuamente dependendo de como s˜ao dispos- tos. Por outro lado, sabemos que ´e poss´ıvel construir os chamados eletro´ım˜as ao passar uma corrente el´etrica por um fio enrolado, e que este eletro´ım˜a se comporta da mesma forma que ´ım˜as convencionais. Estas for¸cas de atra¸c˜ao e/ou repuls˜ao entre ´ım˜as ou correntes el´etricas s˜ao por sua vez mediadas pelo campo magn´etico. As- sim como o campo el´etrico o campo magn´etico ´e o res- pons´avel por transmitir a informa¸c˜ao da existˆencia de um(a) ´ım˜a(corrente el´etrica) a outro(a) determinado(a) ´ım˜a(corrente el´etrica), mediando desta forma a intera¸c˜ao entre eles. Assim, o campo magn´etico tamb´em ´e en- tendido como uma propriedade f´ısica do espa¸co. As- sim como uma carga el´etrica, que ´e uma propriedade intr´ınseca de certas part´ıculas elementares, produz cam- pos el´etricos no espa¸co ao seu redor, a “jun¸c˜ao” da carga el´etrica com outra propriedade intr´ınseca de part´ıculas elementares chamada de spin ´e capaz de produzir cam- pos magn´eticos no espa¸co ao redor desta part´ıcula. Note desta forma, que campos magn´eticos podem ser produzi- dos “naturalmente” por part´ıculas elementares, ou mais precisamente pelos momentos de dipolo magn´etico de al- gumas part´ıculas elementares, ou por correntes el´etricas. No entanto, n˜ao se encontrou na natureza uma part´ıcula elementar que tenha propriedades semelhantes `as de uma carga el´etrica, ou seja, uma carga magn´etica. Enquanto cargas el´etricas s˜ao encontradas isoladas, isto ´e, ´e ob- servado na natureza uma carga negativa como o el´etron separada de uma carga positiva como um pr´oton, cargas magn´eticas s˜ao encontradas apenas em pares Norte/Sul^1. De fato, o el´etron tamb´em se comporta como um pe- queno ´ım˜a, tendo os p´olos norte e sul e produzindo cam- pos magn´eticos ao seu redor. A unifica¸c˜ao definitiva dos fenˆomenos el´etricos e magn´eticos se deu com os trabalhos de James Clerk Maxwell, que em meados do s´eculo XIX deu forma ma- tem´atica aos trabalhos feitos por Michael Faraday, intro- duziu muitas id´eias pr´oprias e compilou o conhecimento sobre os fenˆomenos el´etricos e magn´eticos, estabelecendo desta forma as bases te´oricas do eletromagnetismo. Em seus trabalhos Michael Faraday estudou de forma detalhada como campos magn´eticos vari´aveis no tempo produziam campos el´etricos. Neste ponto coment´arios sobre as fontes de campos el´etricos e magn´eticos se fazem necess´arios. Como dito anteriormente, campos el´etricos s˜ao produzidos por cargas el´etricas e os experimentos de Faraday mostraram que campos magn´eticos vari´aveis no tempo tamb´em os produziam. J´a os campos magn´eticos s˜ao produzidos por cargas el´etricas em movimento ou pe- los momentos de dipolo das part´ıculas elementares. Por considera¸c˜oes de simetria era de se esperar que caso exis- tissem cargas magn´eticas isoladas o movimento destas poderia dar origem a campos el´etricos, por´em, como tais cargas n˜ao existem n˜ao temos que nos preocupar com isso. Al´em dessa simetria, poder´ıamos esperar tamb´em que campos el´etricos vari´aveis no tempo produzissem campos magn´eticos, mas este fenˆomeno nunca havia sido
observado. Em seus estudos sobre as leis do eletromag- netismo conhecidas at´e ent˜ao Maxwell foi levado, princi- palmente por motivos matem´aticos, a incluir um termo na lei de Amp`ere que considerava a cria¸c˜ao de campos magn´eticos por campos el´etricos vari´aveis no tempo, o que foi comprovado posteriormente por diversos experi- mentos. A partir desta previs˜ao puramente te´orica de Maxwell o eletromagnetismo pode ser finalmente com- pilado como uma teoria logicamente fechada e compro- vada experimentalmente, sendo capaz de explicar muitos fenˆomenos observados at´e ent˜ao e, principalmente, fazer novas previs˜oes e explicar fenˆomenos at´e ent˜ao n˜ao rela- cionados com o eletromagnetismo. A s´ıntese feita por Maxwell pode ser descrita por um conjunto de 4 equa¸c˜oes, chamadas de equa¸c˜oes de Maxwell, que descrevem os campos el´etricos e magn´eticos e que muitas pessoas colocam em camisas ou tatuam no pr´oprio corpo. A beleza contida nestas equa¸c˜oes est´a no fato de que partindo delas ´e poss´ıvel mostrar, entre outras coisas, que existem ondas transversais compostas por campos magn´eticos e el´etricos que se propagam no v´acuo com a velocidade da luz. Esta observa¸c˜ao, feita por Maxwell, permitiu identificar a luz como sendo uma onda eletromagn´etica abrindo um leque enorme de possi- bilidades a serem exploradas e contribuiu de forma ´ımpar no desenvolvimento tecnol´ogico dos ´ultimos s´eculos. Para os interessados, apresentamos as equa¸c˜oes de Maxwell no apˆendice A.
III. ONDAS ELETROMAGN´ETICAS
Ao considerar as equa¸c˜oes de Maxwell (apresentadas no apˆendice) na ausˆencia de mat´eria, isto ´e, fazendo com que a densidade de cargas, ρ, e a densidade de cor- rente, ~j, sejam iguais a zero e combinando as equa¸c˜oes, podemos reduzir este conjunto de 4 equa¸c˜oes a apenas duas. Fazendo isto^2 , obtˆem-se as seguintes equa¸c˜oes (N˜ao se preocupe neste momento com a forma das equa¸c˜oes abaixo. O nosso interesse est´a nas equa¸c˜oes (3) e (4).):
∇^2 E~ = μ 0 ε 0
∂^2 E~
∂t^2
, ∇^2 B~ = μ 0 ε 0
∂^2 B~
∂t^2
ou equivalentemente: ( ∂^2 ∂x^2
∂^2
∂y^2
∂^2
∂z^2
E^ ~ = μ 0 ε 0 ∂
2 E~
∂t^2
∂^2
∂x^2
∂^2
∂y^2
∂^2
∂z^2
B^ ~ = μ 0 ε 0 ∂
2 B~
∂t^2
No entanto h´a um pre¸co a se pagar ao reduzir o n´umero de equa¸c˜oes, pois alguns v´ınculos surgem entre os cam- pos el´etricos e magn´eticos, e estes ser˜ao discutidos logo a frente. Talvez, na forma como as equa¸c˜oes acima foram mostradas vocˆe ainda n˜ao as reconheceu, por´em este tipo de equa¸c˜ao j´a foi discutido. Abaixo mostramos a vers˜ao
Uma pergunta que vocˆe pode estar se fazendo agora ´e como ´e poss´ıvel gerar uma onda plana como a que estamos estudando. Seria isto realmente poss´ıvel? De fato, na grande maioria das situa¸c˜oes as ondas produ- zidas s˜ao esf´ericas ao inv´es de planas. No entanto, a
grandes distˆancias da fonte uma onda esf´erica pode ser aproximada por uma onda plana, como indicado na fi- gura 32.12. Outra forma que poder´ıamos pensar seria colocar um plano muito grande com uma densidade de cargas uniforme oscilando em movimento harmˆonico sim- ples. O link para uma simula¸c˜ao em java desta situa¸c˜ao est´a dispon´ıvel na pasta de materiais suplementares do PVANet.
Um ponto que merece nota ´e o fato de que, assim como ondas mecˆanicas, ondas eletromagn´eticas est˜ao sujeitas a fenˆomenos de interferˆencia e satisfazem o princ´ıpio da superposi¸c˜ao. Mais a frente neste curso alguns destes pontos ser˜ao discutidos em detalhes. Outros fenˆomenos que j´a vimos como ondas estacion´arias e efeito Doppler tamb´em ocorrem com as radia¸c˜oes eletromagn´eticas e s˜ao de enorme importˆancia cient´ıfica e tecnol´ogica (veja a figura 32.23). Para finalizar, temos que ressaltar que a luz (vis´ıvel) re- presenta apenas uma pequena parte de todo o espectro de frequˆencias poss´ıveis das ondas eletromagn´eticas. Como vocˆes j´a devem saber as diferentes cores que percebemos correspondem a diferentes frequˆencias das ondas eletro- magn´eticas. Raios X, raios gama, ultravioleta, infraver- melho, todos estes tipos de radia¸c˜ao est˜ao relacionadasa diferentes frequˆencias do espectro eletromagn´etico. Na tabela 32.1 e na figura 32.4 s˜ao mostradas as diferentes frequˆencias do espectro eletromagn´etico e os comprimen- tos de onda relativos ao espectro vis´ıvel, respectivamente.
IV. TRANSPORTE DE ENERGIA POR ONDAS ELETROMAGN´ETICAS
Assim como ondas mecˆanicas, ondas eletromagn´eticas transportam energia de um ponto a outro do espa¸co. En- quanto o transporte de energia nas ondas mecˆanicas est´a ligado a deforma¸c˜oes mecˆanicas no meio, o transporte de energia por ondas eletromagn´eticas est´a ligadoa den- sidade de energia contida nos campos. De fato, pode-se mostrar que a densidade de energia (uE = dUE /dV ) con- tida em um pequeno volume dV do espa¸co onde h´a um
campo el´etrico de m´odulo | E~ 0 | = E 0 ´e dada por:
uE =
ε 0 E 02 ,
enquanto que a densidade de energia contida em um vo- lume dV preenchido por um campo magn´etico de m´odulo B 0 ´e dada por:
uB =
2 μ 0
B 02.
Para uma onda eletromagn´etica se propagando no v´acuo, temos que B 0 = E 0 /c =
μ 0 ε 0 E 0 , de forma que a den- sidade de energia (u) de uma onda eletromagn´etica pode ser expressa como:
u = ε 0 E 02.
Para clarear um pouco esta discuss˜ao, consideremos uma onda plana se propagando no sentido positivo do eixo x (descrita pela equa¸c˜ao 5). Neste caso, temos que a densidade de energia contida em um ponto qualquer do espa¸co ´e dada por:
u = ε 0 E m^2 (sin^2 (kx − ωt)),
que tamb´em satisfaz a equa¸c˜ao de onda e, portanto, est´a se propagando na mesma dire¸c˜ao e sentido da onda com a mesma velocidade desta (tente verificar isto a partir da equa¸c˜ao de onda). Vemos portanto que h´a neste caso um fluxo de energia acompanhando a onda. Seria interes- sante desta forma definir uma grandeza que quantificasse de uma forma um pouco mais adequada e geral este fluxo de energia. Esta grandeza ´e denominada vetor de Poyn- ting (S~) e ´e definida como segue:
S^ ~ = 1
μ 0
E^ ~ × B.~
Consideremos agora que uma onda eletromagn´etica in- cide em uma superf´ıcie de ´area A e ´e completamente ab- sorvida por esta superf´ıcie. Ao ser absorvida, esta ra- dia¸c˜ao “deixa de existir” e desta forma h´a uma varia¸c˜ao no seu momento linear. Identificando a varia¸c˜ao do mo- mento linear como for¸ca (segunda lei de Newton), perce- bemos que ao ser absorvida a radia¸c˜ao transfere momento a superf´ıcie, exercendo desta forma uma for¸ca sobre ela. Podemos descrever este efeito em termos da press˜ao de radia¸c˜ao, onde usaremos a m´edia temporal do vetor de Poynting, j´a que em geral, devido aos altos valores de frequˆencia associadaas ondas, apenas os valores m´edios ser˜ao efetivamente observados. Com estas considera¸c˜oes podemos escrever a press˜ao de radia¸c˜ao quando a onda ´e absorvida por uma superf´ıcie como:
prad =
Smed c
I
c
(Lembre-se que a taxa de varia¸c˜ao do momento linear ´e igual `a for¸ca resultante de acordo com a segunda lei de Newton.) No caso da radia¸c˜ao ser refletida pela su- perf´ıcie, ao inv´es de perder seu momento linear, a ra- dia¸c˜ao ir´a trocar o sentido do momento, de forma que a varia¸c˜ao total de momento ser´a o dobro daquela quando a radia¸c˜ao ´e completamente absorvida, de forma que:
prad =
2 I
c
Em situa¸c˜oes onde apenas uma fra¸c˜ao e da radia¸c˜ao ´e refletida podemos escrever:
prad = (1 + e)
I
c
VI. COMO GERAR UMA ONDA ELETROMAGN´ETICA E OUTRAS PROPRIEDADES DESTAS
Nesta se¸c˜ao iremos discutir de forma simplificada e sucinta algumas outras propriedades das ondas eletro- magn´eticas e como podemos gerar tais ondas. Uma forma simples de se gerar ondas eletromagn´eticas ´e fazer com que cargas el´etricas entrem em algum tipo de movimento peri´odico. Isto pode ser feito, por exemplo, colocando-se um plano uniformemente carregado para oscilar em mo- vimento harmˆonico simples, como pode ser visto em uma anima¸c˜ao cujo link est´a dispon´ıvel no PVAnet. Podemos tamb´em utilizar um circuito de corrente alternada para produzir varia¸c˜oes nas densidades de carga de um capa- citor, gerando desta forma as ondas. ´E desta forma que ondas de r´adio s˜ao produzidas. Por´em, os efeitos descritos acima n˜ao explicam, por exemplo, como uma lˆampada, um laser ou o Sol pro- duzem luz. Nestes casos outros efeitos d˜ao origem `a radia¸c˜ao. Como vocˆe deve se lembrar os el´etrons em ´atomos est˜ao distribu´ıdos em orbitais, que tˆem energia
muito bem definida. Ao ceder energia a um ´atomo alguns el´etrons mudam para n´ıveis mais altos de energia. Ao re- tornarem ao n´ıvel de energia inicial, ou deca´ırem para algum outro n´ıvel mais baixo, os el´etrons emitem a ener- gia que perderam em forma de radia¸c˜ao eletromagn´etica. Mais precisamente, as mudan¸cas de n´ıveis orbitais de el´etrons s˜ao acompanhadas pela emiss˜ao ou absor¸c˜ao de um f´oton. Os f´otons s˜ao os quanta de radia¸c˜ao eletro- magn´etica. Observa-se na natureza, por exemplo atrav´es de fenˆomenos como o efeito fotoel´etrico e a radia¸c˜ao de corpo negro, que a radia¸c˜ao s´o ´e absorvida e/ou emitida pela mat´eria em pacotes de energia muito bem definida. Isto significa dizer que a radia¸c˜ao est´a quantizada em pacotes de energia. A um destes pacotes de energia ele- tromagn´etica ´e dado o nome de f´oton e a energia contida em um f´oton est´a ligada `a sua frequˆencia pela seguinte rela¸c˜ao E = hf , onde h ´e a constante de Planck. De fato, Albert Einstein recebeu o prˆemio Nobel em f´ısica pelos seus estudos acerca do efeito fotoel´etrico, que foi expli- cado pelo f´ısico Alem˜ao utilizando o conceito de f´otons. A radia¸c˜ao eletromagn´etica ´e, portanto, uma mistura de onda e part´ıcula, assim como tudo que existe na na- tureza de acordo com a teoria quˆantica. Para explicar o efeito fotoel´etrico, por exemplo, ´e necess´ario considerar que a luz se comporta como uma part´ıcula, enquanto que fenˆomenos como interferˆencia e difra¸c˜ao, que s˜ao fenˆomenos puramente ondulat´orios, s´o podem ser expli- cados quando consideramos que a luz ´e uma onda. Os f´otons (“part´ıculas” de luz) s˜ao portanto uma mistura de part´ıcula e onda, se comportando em algumas situa¸c˜oes como uma part´ıcula e em outras como uma onda.
Apˆendice A: As Equa¸c˜oes de Maxwell
Nota: Gostaria de deixar claro que boa parte do que ser´a apresentado a seguir envolve conceitos matem´aticos, provavelmente, ainda n˜ao conhecidos por vocˆes. No en- tanto isto n˜ao ir´a impedir que vocˆes aceitem como ver- dade o que ser´a mostrado e entendam o resultado final que ´e mostrado na se¸c˜ao sobre ondas eletromagn´eticas, que ´e o ponto principal do nosso interesse neste momento, podendo retornar a este assunto quando tiverem baga- gem matem´atica suficiente para entender o que ser´a feito aqui. De qualquer forma o texto foi pensado de forma a torn´a-lo compreens´ıvel mesmo para quem n˜ao conhece os conceitos matem´aticos envolvidos (sup˜oe-se no entanto que o aluno est´a familiarizado com os conceitos de deri- vadas e integrais). As equa¸c˜oes de Maxwell podem ser escritas em sua forma diferencial como apresentado a seguir: (i) Lei de Gauss:
∇ ·^ ~ E~ = ρ ε 0
(ii) Lei de Faraday:
∇ ×^ ~ E~ = − ∂
B~
∂t
(iii) Lei de Gauss do magnetismo:
∇ ·^ ~ B~ = 0; (10)
(iv) Lei de Amp`ere-Maxwell:
∇ ×^ ~ B~ = μ 0 ~j + μ 0 ε 0 ∂
E~
∂t
Nestas equa¸c˜oes o s´ımbolo ∇~ representa um operador ma- tem´atico definido por:
∇ ≡^ ~ ∂
∂x
ˆi + ∂ ∂y
ˆj + ∂ ∂z
ˆk,
onde ∂/∂x ´e a derivada parcial em rela¸c˜ao a x, E~ ´e o
vetor campo el´etrico e B~ o vetor campo magn´etico. ~j
e ρ s˜ao respectivamente as densidades de corrente e de carga, μ 0 ´e a constante de permeabilidade magn´etica do v´acuo e ε 0 ´e a constante de permissividade el´etrica do v´acuo. Um ponto importante a ser frisado ´e o fato que os campos el´etricos e magn´eticos podem assumir diferentes valores e dire¸c˜oes em diferentes pontos do espa¸co, isto ´e, E^ ~ = E~(x, y, z) e da mesma forma para o campo B~. As equa¸c˜oes de Maxwell constituem portanto um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais parciais.
S´o como curiosidade para os interessados, para se obter a equa¸c˜ao de onda, mostrada na se¸c˜ao sobre ondas eletromagn´eticas, devemos em primeiro lugar fazer ρ = 0 e ~j = 0 nas equa¸c˜oes 8 e 11. Aplicando ent˜ao o operador rotacional (~∇×) nas equa¸c˜oes 9 e 11, usando proprieda- des destes operadores e as demais equa¸c˜oes, chega-se `a equa¸c˜ao de onda.
(^1) Young, Freedman, Sears e Zemansky “F´ısica III” 12 a
edi¸c˜ao, S˜ao Paulo, Pearson, 2008. (^2) Halliday, Resnick e Walker “Fundamentos de F´ısica”, vol.
3, 4a^ edi¸c˜ao, Rio de Janeiro, Livros T´ecnicos e Cient´ıficos,
(^3) Alaor S. Chaves “F´ısica B´asica: Eletromagnetismo”, Rio de
Janeiro, Livros T´ecnicos e Cient´ıficos, 2007. (^4) David J. Griffiths “Introduction to Electrodynamics”, 3a edi¸c˜ao, New Jersey, Prentice Hall, 1998. (^5) Antˆonio S. T. Pires “Evolu¸c˜ao das id´eias da F´ısica”, S˜ao Paulo, Editora Livraria da F´ısica, 2008.
(^1) Teorias recentes indicam que um comportamento similar ao de uma carga magn´etica isolada, tamb´em chamada de monopolo magn´etico, pode ser encontrado em determina- dos sistemas de mat´eria condensada, mas perceba que isto n˜ao ´e o mesmo que a existˆencia de uma part´ıcula elemen- tar que se comporta como uma carga magn´etica isolada (apenas norte ou sul) assim como o el´etron ´e uma carga
el´etrica isolada do seu oposto. (^2) Esta dedu¸c˜ao est´a fora do escopo deste texto. Pretende- mos aqui apenas mostrar de forma heur´ıstica que partindo das equa¸c˜oes de Maxwell podemos obter as equa¸c˜oes de onda para E~ e B~. Os interessados s˜ao remetidos `as re- ferˆencias para esta dedu¸c˜ao
