LISTA 1: ÁLGEBRA LINEAR - IC | Exercícios Geometria Analítica e Álgebra Linear

INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFAL PROF. WAGNER RANTER

LISTA 1: ÁLGEBRA LINEAR - IC / SEMANA: 22/06 - 28/06

I.1 Seja Xum conjunto qualquer e Eum espaço vetorial sobre um corpo K. Mostre que o conjunto

C(X, E)de todas as funções f:X→Emunido com as operações:

(f+g)(x) = f(x) + g(x),∀x∈X, & (αf )(x) = αf (x),∀x∈Xe∀α∈K

é um espaço vetorial.

I.2 Sejam Eum espaço vetorial sobre Reu, v ∈E. O segmento de reta de extremidades u, v é, por

definição, o conjunto

[u, v] = {(1 −t)u+tv : 0 ≤t≤1}.

Um conjunto X⊆Echama-se convexo quando: ∀u, v ∈X=⇒[u, v]⊆X. Mostre que:

(a) A interseção de X1∩ · · · ∩ Xmde conjuntos convexos X1, . . . , Xm⊆Eé um conjunto convexo.

(b) A expressão t1v1+· · · +tkvk, onde t1, . . . , tk≥0et1+·+tk= 1, chama-se uma combinação

convexa dos vetores v1, . . . , vk. Se o conjunto X⊆Eé convexo, então

C(X)é um conjunto convexo. Além disso, mostre que C(X)é o menor conjunto convexo que

contém X, isto é, se Yé um conjunto convexo que contém Xentão C(X)está contido em Y.

C(X)chama-se envoltória convexa do conjunto X.

I.3 Um subconjunto Cde espaço vetorial Esobre Rchama-se um cone quando, para todo v∈Ce todo

t > 0, tem-se tv ∈C. Mostre:

(a) O conjunto dos vetores v∈Rnque têm exatamente k, 0≤k≤n, coordenadas positivas é um

cone.

(b) Dados Y⊆X, mostre que o conjunto {f∈C(X, R) : f(x)<0,∀Y}é um cone em C(X, R).

(d) Seja {Cλ}λuma família de cones, Mostre que C=∩λCλeC0=∪λCλsão cones.

I.4 Seja Xum subconjunto de um espaço vetorial E. Mostre que span(X)é um menor subespaço de E

contendo X. Ou outras palavras, span(X) = TF∈F F, onde Fé a família de todos os subespaço de

Eque contém X.

I.5 Sejam F1eF2são subespaços de um espaço vetorial. Mostre que F1∩F2⇐⇒ F1⊆F2ou F2⊆F1.

I.6 Seja Mn(K)o conjunto das matrizes quadradas de ordem n≥1com coeficientes em K. Defina

S={A∈Mn(K) : At=A}eNS ={A∈Mn(K) : At=−A}os conjuntos das matrizes simétricas

e antissimétricas. Mostre que:

(a) S NS são subespaço espaços de Mn(K);

(b) Mn(K) = S⊕NS;

I.7 Considere o seguinte sistema homogêneo cujo o número de incógnitas (n≥1) é maior que o número

de equações (m≥1).











a11x1+a12x2+· · · a1nxn= 0

a21x1+a22x2+· · · a2nxn= 0

..............................

am1x1+am2x2+· · · amnxn= 0

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LISTA 1: ÁLGEBRA LINEAR - IC / SEMANA: 22/06 - 28/

I.1 Seja X um conjunto qualquer e E um espaço vetorial sobre um corpo K. Mostre que o conjunto C(X, E) de todas as funções f : X → E munido com as operações: (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X, & (αf )(x) = αf (x), ∀x ∈ X e ∀α ∈ K é um espaço vetorial. I.2 Sejam E um espaço vetorial sobre R e u, v ∈ E. O segmento de reta de extremidades u, v é, por definição, o conjunto [u, v] = {(1 − t)u + tv : 0 ≤ t ≤ 1 }. Um conjunto X ⊆ E chama-se convexo quando: ∀u, v ∈ X =⇒ [u, v] ⊆ X. Mostre que: (a) A interseção de X 1 ∩ · · · ∩ Xm de conjuntos convexos X 1 ,... , Xm ⊆ E é um conjunto convexo. (b) A expressão t 1 v 1 + · · · + tkvk, onde t 1 ,... , tk ≥ 0 e t 1 + · + tk = 1, chama-se uma combinação convexa dos vetores v 1 ,... , vk. Se o conjunto X ⊆ E é convexo, então (c) Dado X ⊆ E. Defina C(X) de todas as combinações convexas de elementos X. Mostre que C(X) é um conjunto convexo. Além disso, mostre que C(X) é o menor conjunto convexo que contém X, isto é, se Y é um conjunto convexo que contém X então C(X) está contido em Y. C(X) chama-se envoltória convexa do conjunto X. I.3 Um subconjunto C de espaço vetorial E sobre R chama-se um cone quando, para todo v ∈ C e todo t > 0 , tem-se tv ∈ C. Mostre: (a) O conjunto dos vetores v ∈ Rn^ que têm exatamente k, 0 ≤ k ≤ n, coordenadas positivas é um cone. (b) Dados Y ⊆ X, mostre que o conjunto {f ∈ C(X, R) : f (x) < 0 , ∀Y } é um cone em C(X, R). (c) Um cone C ⊆ E é um conjunto convexo se, e somente se, ∀u, v ∈ C =⇒ u + v ∈ C. (d) Seja {Cλ}λ uma família de cones, Mostre que C = ∩λCλ e C′^ = ∪λCλ são cones. I.4 Seja X um subconjunto de um espaço vetorial E. Mostre que span(X) é um menor subespaço de E contendo X. Ou outras palavras, span(X) = ⋂ F ∈F F , onde F é a família de todos os subespaço de E que contém X. I.5 Sejam F 1 e F 2 são subespaços de um espaço vetorial. Mostre que F 1 ∩ F 2 ⇐⇒ F 1 ⊆ F 2 ou F 2 ⊆ F 1. I.6 Seja Mn(K) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n ≥ 1 com coeficientes em K. Defina S = {A ∈ Mn(K) : At^ = A} e N S = {A ∈ Mn(K) : At^ = −A} os conjuntos das matrizes simétricas e antissimétricas. Mostre que: (a) S N S são subespaço espaços de Mn(K); (b) Mn(K) = S ⊕ N S; (c) Determine as dimensões de S e N S. I.7 Considere o seguinte sistema homogêneo cujo o número de incógnitas (n ≥ 1) é maior que o número de equações (m ≥ 1). S :

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · a 1 nxn = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · a 2 nxn = 0

.............................. am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · amnxn = 0

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Mostre que o sistema S admite uma solução não trivial. Isto é, existem β 1 , β 2 ,... , βn com algum βi 6 = 0 de modo que ak 1 β 1 + ak 2 β 2 + · · · + aknβn = 0 para todo k = 1, 2 ,... , m. I.8 Mostre que {ex, e^2 x,... , enx} é um conjunto L.I. no espaço vetorial C∞(R). I.9 Sejam F 1 , F 2 ⊆ E subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço F 1 + F 2 que contenha uma base de F 1 , uma base de F 2 e uma base F 1 ∩ F 2. I.10 Sejam X 1 , X 2 ,... , Xn,... subconjuntos L.I. do espaço vetorial E. (a) Se Xn ⊆ Xn+1 para todo inteiro n ≥ 1. Prove que ⋃ n≥ 1 Xn é L.I.; (b) Se cada Xn tem n elementos, prove que existe um conjunto L.I. X∗^ = {x 1 , x 2 ,... , xn,... } com xn ∈ Xn para cada inteiro n ≥ 1. (c) Suponha E = P (K) o espaço vetorial de todos os polinômios. Tome Xn = { 1 , x, x^2 ,... , xn} e admita como hipóteses os itens (a) e (b). É verdade que X∗^ = ⋃ n≥ 0 Xn é uma base de E?

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