INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFAL PROF. WAGNER RANTER
LISTA 3: ÁLGEBRA LINEAR - IC / SEMANA: 06/07 - 12/07
III.1 Suponha dim(E) = n= dim(F)eφ∈ L(E , F ). Então, as seguintes afirmações são equivalentes.
(a) φé um isomorfismo;
(b) φé injetiva;
(c) dim(Im(φ)) = dim(F);
(d) φé sobrejetiva;
(e) Para toda base X={u1, . . . , un}de E, tem-se que φ(X) = {φ(u1), . . . , φ(un)}é base de F.
III.2 Seja Eum espaço vetorial n-dimensional sobre o corpo Zp={0,1, . . . , p −1}. Determine quantos
isomorfismos existem em L(E).
III.3 (a) Sejam g , f1, f2, . . . , fr∈E∗(dim(E) = ∞)funcionais lineares. Mostre que
gé combinação linear de {f1, f2, . . . , fr} ⇐⇒ ker(g)⊆ ∩r
i=1 ker(fi).
(b) Se dim(E)<∞. Mostre que f, g ∈E∗são L.D. ⇐⇒ ker(f) = ker(g).
(c) Para dim(E)<∞, é verdade que E∼
=E∗∼
=E∗∗?
III.4 Seja Eum espaço vetorial de dimensão finita. Dado um subconjunto Sde E, chamamos de anulador
de So conjunto S0={f∈E∗:f(x) = 0,∀x∈S}. Mostre que
(a) S0é subespaço de E∗;
(b) Se Sé subespaço de Eentão dim S+ dim S0= dim E.
III.5 Seja Mn(K)o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem ne entradas em K.
(a) Dada B∈Mn(K), mostre que φB:Mn(K)→Kdefinida por φB(A) = tr(BtA)é um funcional
linear, onde tr(A) = Pn
i=1 aii é o traço da matriz A= (aij).
(b) Mostre que dado um funcional linear φ:Mn(K)→K, existe B∈Mn(K)tal que φ(A) =
φB(A) = tr(BtA).
(c) Mostre que Mn(K)3B7→ φB∈Mn(K)∗é um isomorfismo.
III.6 Sejam espaços vetoriais EeFde dimensões nem, respectivamente. Fixe XeYbases de EeF.
Mostre que [·]X,Y :L(E, F )→Mm×n(K)é um isomorfismo, onde [·]X,Y é a matriz de φcom relação
as bases XeY.
Considere X0eY0outras bases de EeF, respectivamente. Chamamos a matriz [idE]X,X0de
matriz de mudança de base Xpara X0, onde idEé o operador identidade de E. Analogamente,
definimos [idE]Y,Y 0. Então, determine a relação entre [φ]X,Y com [φ]X0,Y 0envolvendo [idE]X,X 0e
[idE]Y,Y 0.