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Lista1-2011 - MAT2455, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Universidade de São Paulo (USP)Engenharia Elétrica

lista 1 de mat2455 POLI

Tipologia: Notas de estudo

2011

Compartilhado em 09/03/2011

leandro-caboatan-10
leandro-caboatan-10 🇧🇷

4.4

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bg1
MAT2455 - C´alculo Diferencial e Integral para Engenharia III
1a. Lista de Exerc´ıcios - 1o. semestre de 2011
1. Calcule as seguintes integrais duplas:
(a) RRR(2y2−3xy3)dxdy, onde R={(x, y):1≤x≤2,0≤y≤3}. Resp. (a) −585
8.
(b) RRRxsin y dxdy, onde R={(x, y ):1≤x≤4,0≤y≤π
6}. Resp. (b) 15
4(2 −√3).
(c) RRR
1
x+ydxdy, onde R= [1,2] ×[0,1]. Resp. (c) ln 27
16 .
2. Determine o volume do s´olido limitado pela superf´ıcie z=xpx2+ye os planos x= 0, x= 1, y= 0,
y= 1 e z= 0. Resp. 4
15 (2√2−1).
3. Determine o volume do s´olido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z= 9 −y2e pelo plano
x= 2. Resp. 36.
4. Calcule as integrais iteradas
Z1
0Z1
0
x−y
(x+y)3dydx eZ1
0Z1
0
x−y
(x+y)3dxdy. Resp. −1
2e1
2.
As respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique.
5. Calcule as seguintes integrais duplas:
(a) RRDxy dxdy, onde D={(x, y ):0≤x≤1, x2≤y≤√x}. Resp. (a) 1
12 .
(b) RRD(x2−2xy)dxdy, onde D={(x, y):0≤x≤1,√x≤y≤2−x}. Resp. (b) −19
42 .
(c) RRDex/y dxdy, onde D={(x, y ):1≤y≤2, y ≤x≤y3}. Resp. (c) 1
2e4−2e.
(d) RRDxcos y dxdy, onde D´e a regi˜ao limitada por y= 0, y=x2,x= 1. Resp. (d) (1 −cos 1)/2.
(e) RRD4y3dxdy, onde D´e a regi˜ao limitada por y=x−6 e y2=x. Resp. (e) 500
3.
(f) RRDxy dxdy, onde D´e a regi˜ao do primeiro quadrante limitada pela circunferˆencia de centro (0,0) e raio
1. Resp. (f) 1
8.
(g) RRD(x2tg x+y3+ 4) dxdy, onde D={(x, y) : x2+y2≤2}. Resp. (g) 8π.
6. Determine o volume do s´olido Sem cada um dos seguintes casos:
(a) S´e limitado superiormente pelo parabol´oide z=x2+y2e sua proje¸c˜ao no plano xy ´e a regi˜ao limitada
por y=x2ex=y2. Resp. (a) 6
35 .
(b) S´e limitado superiormente por z=xy e sua proje¸c˜ao no plano xy ´e o triˆangulo de v´ertices (1,1), (4,1)
e (1,2). Resp. (b) 31
8.
(c) S´e a regi˜ao do primeiro octante limitada pelo cilindro x2+z2= 9 e pelos planos x= 0, y= 0, z= 0 e
x+ 2y= 2. Resp. (c) 1
6(11√5−27) + 9
2arcsen(2
3).
(d) S´e limitado pelos planos x= 0, y= 0, z= 0 e x+y+z= 1. Resp. (d) 1
6.
(e) S´e a regi˜ao do primeiro octante limitada pelo cilindro x2+y2= 1 e pelos planos y=z,x= 0 e z= 0.
Resp. (e) 1
3.
(f) S´e limitado pelos cilindros x2+y2=a2ey2+z2=a2, onde a > 0. Resp. (f) 16
3a3.
1
pf3
pf4
pf5

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Baixe Lista1-2011 - MAT2455 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!

MAT2455 - C´alculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exerc´ıcios - 1o. semestre de 2011

  1. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) ∫∫ R(2y^2 − 3 xy^3 )dxdy, onde R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3 }. Resp. (a) − 5858. (b) ∫∫ R x sin y dxdy, onde R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ π 6 }. Resp. (b) 154 (2 − √3). (c) ∫∫ R x+^1 y dxdy, onde R = [1, 2] × [0, 1]. Resp. (c) ln 2716.
  2. Determine o volume do s´olido limitado pela superf´ıcie z = x√x^2 + y e os planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0. Resp. 154 (2√ 2 − 1).
  3. Determine o volume do s´olido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9 − y^2 e pelo plano x = 2. Resp. 36.
  4. Calcule as integrais iteradas ∫ (^1) 0

0

x − y (x + y)^3 dydx^ e

0

0

x − y (x + y)^3 dxdy.^ Resp.^ −^

(^12) e 12. As respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique.

  1. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) ∫∫ D xy dxdy, onde D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , x^2 ≤ y ≤ √x}. Resp. (a) 121. (b) ∫∫ D(x^2 − 2 xy) dxdy, onde D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , √x ≤ y ≤ 2 − x}. Resp. (b) − 1942. (c) ∫∫ D ex/y^ dxdy, onde D = {(x, y) : 1 ≤ y ≤ 2 , y ≤ x ≤ y^3 }. Resp. (c) 12 e^4 − 2 e. (d) ∫∫ D x cos y dxdy, onde D ´e a regi˜ao limitada por y = 0, y = x^2 , x = 1. Resp. (d) (1 − cos 1)/2. (e) ∫∫ D 4 y^3 dxdy, onde D ´e a regi˜ao limitada por y = x − 6 e y^2 = x. Resp. (e) 5003. (f) ∫∫ D xy dxdy, onde D ´e a regi˜ao do primeiro quadrante limitada pela circunferˆencia de centro (0, 0) e raio
  2. Resp. (f) 18. (g) ∫∫ D(x^2 tg x + y^3 + 4) dxdy, onde D = {(x, y) : x^2 + y^2 ≤ 2 }. Resp. (g) 8π.
  3. Determine o volume do s´olido S em cada um dos seguintes casos: (a) S ´e limitado superiormente pelo parabol´oide z = x^2 + y^2 e sua proje¸c˜ao no plano xy ´e a regi˜ao limitada por y = x^2 e x = y^2. Resp. (a) 356. (b) S ´e limitado superiormente por z = xy e sua proje¸c˜ao no plano xy ´e o triˆangulo de v´ertices (1, 1), (4, 1) e (1, 2). Resp. (b) 318. (c) S ´e a regi˜ao do primeiro octante limitada pelo cilindro x^2 + z^2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + 2y = 2. Resp. (c) 16 (11√ 5 − 27) + 92 arcsen( 23 ). (d) S ´e limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1. Resp. (d) 16. (e) S ´e a regi˜ao do primeiro octante limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e pelos planos y = z, x = 0 e z = 0. Resp. (e) 13. (f) S ´e limitado pelos cilindros x^2 + y^2 = a^2 e y^2 + z^2 = a^2 , onde a > 0. Resp. (f) 163 a^3.
  1. Escreva as duas integrais iteradas correspondentes `a integral dupla ∫∫ D f (x, y) dx dy, onde D ´e a regi˜ao do plano limitada pelas curvas y = −x^2 + x + 2 e x − 2 y + 1 = 0.
  2. Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integra¸c˜ao: (a) ∫^01 ∫^33 y ex^2 dxdy (b) ∫^03 ∫^ y^92 y cos(x^2 ) dxdy (c) ∫^01 ∫^ arcsinπ/^2 y cos x√1 + cos^2 x dxdy. Resp. (a) (e^9 − 1)/6, (b) 14 sin 81, (c) (2√ 2 − 1)/3.
  3. Calcule as integrais: (a) ∫∫ R x dxdy, onde R ´e o disco de centro na origem e raio 5. (b) ∫∫ R xy dxdy, onde R ´e a regi˜ao do primeiro quadrante limitada pelas circunferˆencias x^2 + y^2 = 4 e x^2 + y^2 = 25. (c) ∫∫ R√x^12 +y 2 dxdy, onde R ´e a regi˜ao interior a cardioide r = 1 + sin θ e exteriora circunferˆencia r = 1.

(d) ∫∫ D(x^2 + y^2 ) dxdy, onde D ´e a regi˜ao limitada pelas espirais r = θ e r = 2θ, com 0 ≤ θ ≤ 2 π. (e) ∫∫ D(e−x^2 −y^2 ) dxdy, onde D ´e a regi˜ao limitada pelo semic´ırculo x = √ 4 − y^2 e o eixo y. Resp. (a) zero, (b) 6098 , (c) 2, (d) 24π^5 (e) π 2 (1 − e−^4 ).

  1. Determine o volume da regi˜ao interior `a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2 e exterior ao cilindro x^2 + y^2 = 2ax, com a > 0. Resp. 163 a 3 ( 43 + π)
  2. Determine a massa e o centro de massa da lˆamina que ocupa a regi˜ao D e tem densidade δ, nos seguintes casos: (a) D = {(x, y) : − 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 } e δ(x, y) = x^2. (b) D ´e o triˆangulo de v´ertices (0, 0), (2, 1), (0, 3) e δ(x, y) = x + y. (c) D ´e a regi˜ao do primeiro quadrante limitada pela par´abola y = x^2 e a reta y = 1 e δ(x, y) = xy. (d) D ´e a regi˜ao limitada pela parabola y^2 = x e a reta y = x − 2 e δ(x, y) = 3. (e) D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ π} e δ(x, y) = y. Resp. (a) 23 , (0, 12 ), (b) 6, ( 34 , 32 ), (c) 16 , ( 47 , 34 ), (d) 272 , ( 85 , 12 ) (e) π 4 , ( π 2 , (^169) π ).
  3. Determine os momentos de in´ercia Ix, Iy e I 0 das lˆaminas descritas nos itens (c) e (d) do exerc´ıcio anterior. Resp. (c) 101 , 161 , 1380 , (d) 18920 , 126928 , 191735.
  4. (a) Calcule a massa de D = {(x, y) : (x − 2 y + 3)^2 + (3x + 4y − 1)^2 ≤ 100 }, com fun¸c˜ao densidade δ(x, y) = x − 2 y + 18. Resp. 150π. (b) Calcule o centro da massa de D = {(x, y) : x^2 + y^2 ≤ r^2 }, com fun¸c˜ao densidade δ(x, y) = (x − r)^2 + y^2. Resp. (− r 3 , 0). (c) Calcule o momento de in´ercia I 0 com rela¸c˜ao a origem de D = {(x, y) : x^2 + y^2 ≥ 1 , x a^22 + y b^22 ≤ 1 }, onde a > 1, b > 1 e fun¸c˜ao densidade δ(x, y) = 1. Resp. ab(a^2 + b^2 ) π 4 − π 2.
  5. Calcule ∫∫ D^ √(x − 1)^2 + y^2 dxdy sendo D = {(x, y) : x^2 + y^2 ≤ 1 , y ≥ 0 }. Resp. 169.
  1. Calcule o volume da regi˜ao limitada pelo elips´oide x a 22 + y b^22 + z c^22 = 1 Resp. 43 πabc.
  2. Calcule a integral ∫∫∫ E x dxdydz, onde E = {(x, y, z) : x 42 + y 92 + z^2 ≤ 1 , x ≥ 0 }. Resp. 3π.
  3. Calcule a massa do s´olido E = {(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 ≤ b^2 , z ≥ a > 0 }, com a < b e δ(x, y, z) = z. Resp. π 4 (b^2 − a^2 )^2.
  4. (a) Calcule o volume da regi˜ao acima do cone z = √x^2 + y^2 e dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2. Resp. a^33 π (2 − √2) (b) Calcule a massa da regi˜ao acima do cone z = √x^2 + y^2 , dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2az, a > 0 com δ(x, y, z) = x^2 + y^2 Resp. 2815 πa^5.
  5. Calcular a massa da regi˜ao R limitada por: (a) z(x^2 + y^2 ) = 2, z = 0, x^2 + y^2 = 1, x^2 + y^2 = 2, com x ≥ 0 e y ≤ 0 e δ(x, y, z) = 1 Resp. π^ ln 2 2. (b) z^2 = x^2 + y^2 , x^2 + y^2 − 2 y = 0, para x ≥ 0 com δ(x, y, z) = 1 Resp. 329. (c) x^2 + y^2 = 1 + z^2 , x^2 + y^2 = 4 com δ(x, y, z) = |z|; Resp. 92 π. (d) x^2 + y^2 = 1 + z^2 , x^2 + y^2 = z^2 , para |z| ≤ a com δ(x, y, z) = |z|; Resp. πa^2. (e) x 42 + y 92 = 1 + z^2 , x 42 + y 92 = 2z^2 com δ(x, y, z) = 1; Resp. 8π. (f) x^2 + y^2 = 1 + z^2 , x^2 + y^2 = 2 + 2z^2 , para |z| ≤ a com δ(x, y, z) = z^2. Resp. 2π( a 55 + a 33 ).
  6. Calcule ∫∫∫ R(x + y + z)(x + y − z)dxdydz para R limitada por: x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y − z = 0, x + y − z = 2, x − y − z = 1 e x − y − z = 2. Resp. 34.
  7. Calcule ∫∫∫ R z dxdydz , onde R ´e limitada por: (a) x 92 + y 42 = 1 + z^2 , x 92 + y 42 = 4 + z 22 , para z ≥ 0. Resp. 27π. (b) z = √(x − 1)^2 + y^2 ; z = −√x^2 + y^2 ; x^2 + y^2 = 4. Resp. 2π.
  8. Calcule o volume da regi˜ao limitada por: z = 1 − x^2 − y^2 e z = −1 + (x − 1)^2 + y^2. Resp. 916 π.
  9. Calcule o volume da regi˜ao limitada por: x^2 + y^2 + z^2 ≤ r^2 ; x^2 + y^2 ≥ r 22. Resp. 23 πr√ 23.
  10. Use a transforma¸ √ c˜ao x = u^2 , y = v^2 , z = w^2 para calcular o volume da regi˜ao limitada pela superf´ıcie x + √y + √z = 1 e pelos planos coordenados.
  11. Calcule a massa da regi˜ao limitada por: x^2 + y^2 + z^2 ≤ r^2 ; x^2 + y^2 ≥ r 22 + z^2 , com δ(x, y, z) = x^2 + y^2. Resp. πr^5 /4.
  12. Calcule a massa do s´olido limitado por u^2 + v^2 + w^2 = 4v, u^2 + v^2 + w^2 = 2v, com v ≥ √u^2 + w^2 , sendo a densidade δ(u, v, w) = 2u^2 + 3w^2. Resp. 31. 1112 π.
  13. Calcule a massa do s´olido dado por

S = {(u, v, w) : u^2 + v^2 + w^2 ≥ 1 , u^2 + v^2 + w^2 ≤ 2 u}

sendo a densidade δ(u, v, w) = u. Resp. 98 π.

  1. Seja f cont´ınua em [0, 1] e seja R a regi˜ao triangular com v´ertices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Mostre que ∫ ∫ R^ f^ (x^ +^ y)^ dxdy^ =

0 uf^ (u)^ du.

  1. Calcule (^) ∫ ∫

D

(x^2 + y^2 )n/^2 dxdy, onde D ´e a regi˜ao entre os c´ırculos com centros na origem e raios r e R, 0 < r < R. Para que valores de n a integral tem limite quando r → 0+? E quando R → ∞? Fa¸ca uma an´alise semelhante para a integral tripla ∫ ∫ ∫ D

(x^2 + y^2 + z^2 )n/^2 dxdy, onde D ´e a regi˜ao interior `as esferas com centros na origem e raios r e R, 0 < r < R.

Quest˜oes de Provas (1996)

  1. Calcule ∫∫ D^1 y dydx onde D ´e a regi˜ao do plano limitada por x = y^2 − 4 y + 3 e x = y + 1.
  2. Calcule ∫∫ D(x^2 − y^2 ) sen((x + y)^2 ) dxdy , onde D ´e o paralelogramo de v´ertice (0, 0) , ( π 4 , − π 4 ) , ( π 2 , 0) e ( π 4 , π 4 ).
  3. Calcule ∫∫∫ V^ √x^2 + y^2 dxdydz , onde V ´e o s´olido definido por z ≥ (x − 1)^2 + y^2 − 1 ; z ≤ 1 − (x − 1)^2 − y^2.
  4. Calcule ∫∫∫ V^ √x^2 + y^2 + z^2 dxdydz , onde V ´e o s´olido definido por z ≥ √x^2 + y^2 ; x^2 + y^2 + z^2 − 2 z ≥ 0 x^2 + y^2 + z^2 ≤ 16. (1998)
  5. Calcule ∫^01 ∫^ √^1 x ey^3 dydx.
  6. Calcule ∫∫ D[(x + 3y)^2 + (3x + y)^2 ] dxdy onde D ´e a regi˜ao plana limitada pelas retas x + 3y = 1, x + 3y = 3 3 x + y = 1 e 3x + y = 2.
  7. Calcule ∫∫∫ D y dxdydz onde D ´e limitada pelas superf´ıcies (z − 1)^2 = x^2 + y^2 , (z + 1)^2 = x^2 + y^2 e satisfazendo ainda a seguinte propriedade: (x, y, z) ∈ D ⇒ y ≥ 0. (1999)
  8. Calcule ∫∫ D ey−x^ dxdy sendo D a regi˜ao plana limitada por: y − x = 1; y − x = 2; y = 2x e y = 3x.
  9. Calcule a seguinte integral: ∫^01 ∫^3 √y y sen(x^2 )^ dxdy.
  10. Determine o volume do s´olido limitado pelas superf´ıcies (x− 2 1) 2 + y 32 = 1; z = x^2 + y^2 e z = 0.
  11. Calcule a integral ∫∫∫ S^ √y dxdydz sendo S o s´olido limitado pelas superf´ıcies y = x^3 ; x = y^2 e y = z^2.