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Instituto de F´ısica da Universidade de S˜ao Paulo
F´ısica II - 4300112
Lista de exerc´ıcios - Ondas - 2013
- Mostrar explicitamente que as seguintes fun¸c˜oes s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de onda:
(a) y(x, t) = k(x + vt);
(b) y(x, t) = Aeik(x−vt), onde A e k s˜ao constantes e i =
(c) y(x, t) = ln[k(x − vt)].
- A fun¸c˜ao de onda de uma onda harmˆonica numa corda ´e y(x, t) = 0, 001 sen[62, 8 x + 314t] onde as unidades utilizadas s˜ao o metro e o segundo.
(a) Em que dire¸c˜ao a onda avan¸ca e qual a sua veloci- dade?
(b) Calcular o comprimento de onda, a frequˆencia e o per´ıodo da onda.
(c) Qual a acelera¸c˜ao m´axima de um ponto da corda.
R: (a) A onda avan¸ca no sentido negativo do eixo x com velocidade v = 5 m/s, (b) λ = 10 cm, T = 0, 02 s e f = 50 Hz e (c) amax = 98, 6 m/s^2.
- A figura mostra um pulso em uma corda de compri- mento 100 m com as extremidades fixas. O pulso est´a se deslocando com velocidade de 40 m/s e ´e descrito pela seguinte fun¸c˜ao
y(x, t) = 0, 1e−4(x−vt)
2 ,
onde x ´e dado em metros e t em segundos.
(a) Qual o valor de x, para o qual a velocidade transver- sal da corda ´e m´axima, em t = 0?
(b) Qual a fun¸c˜ao que representa o pulso refletido, em um instante t logo ap´os sua primeira reflex˜ao?
(c) Se a massa da corda ´e 2 kg, qual a tens˜ao T nesta?
(d) Escreva uma equa¸c˜ao y(x, t) que descreve numeri- camente uma onda senoidal, com λ = 5 m e mesma amplitude da onda anterior, se deslocando na dire¸c˜ao negativa de x em uma corda muito longa, feita do mesmo material, com a mesma tens˜ao acima, e tal que y(0, 0) = 0.
R: (a) x = 2 √^12 m, (b) y(x, t) = − 0 , 1e−4(x+vt)
2 m, (c) T = 32 N e (d) y(x, t) = 0, 1 sen
( (^2) π 5 x^ + 16πt
m.
- A figura abaixo mostra duas fotografias tiradas em instantes de tempo diferentes de uma corda na qual se propaga, no sentido positivo do eixo x, uma onda har- mˆonica transversal y(x, t). A primeira fotografia (linha cheia) foi tirada no instante de tempo t = 0 e a se- gunda fotografia (linha tracejada) no instante de tempo t = 0, 50 s.
(a) Determine a velocidade v de propaga¸c˜ao da onda na corda;
(b) Determine a amplitude, o n´umero de onda, a fre- quˆencia angular a constante de fase e escreva a equa¸c˜ao do perfil de onda y(x, t);
(c) Determine a velocidade transversal m´axima, Vm, de um ponto da corda.
R: (a) v = 2 m/s, (b) A = 0, 1 m, k = 0, 5 π m−^1 , ω = π s−^1 , δ = 0, y(x, t) = 0, 1 cos
( (^) π 2 x^ −^ πt
m e (c) Vm = 0 , 1 π m/s.
- O perfil de uma onda transversal progressiva em uma corda muito longa ´e dado, em unidades do sistema inter- nacional por:
y(x, t) = 2, 0 × 10 −^2 cos[2π(0, 5 x + 10t)].
Sabendo que a tens˜ao aplicada na corda ´e de 100 N, determine:
(a) A amplitude de vibra¸c˜ao desta corda;
(b) O comprimento de onda e a frequencia (em Hz);
(c) O sentido e a velocidade de propaga¸c˜ao da onda;
(d) A distˆancia, ao longo da corda, entre dois pontos cuja diferen¸ca de fase ´e π/6.
R: (a) A = 2, 0 × 10 −^2 m, (b) ν = 10 Hz, (c) v = 20 m/s no sentido negativo do eixo x. (d) x 2 − x 1 = 16 = 0, 17 m
- Determine a amplitude da onda resultante da combi- na¸c˜ao de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequˆencia, tˆem ampli- tudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm, e a onda de maior amplitude est´a com a fase adiantada de π 2 rad. R: y(x, t) = 5, 0 sen(kx − ωt + 0, 93) cm.
- Uma onda estacion´aria resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por:
y 1 = 0, 05 cos(πx − 4 πt),
y 2 = 0, 05 cos(πx + 4πt),
onde x, y 1 e y 2 est˜ao em metros e t em segundos.
(a) Qual ´e o menor valor positivo de x que corresponde a um n´o?
(b) Em quais instantes no intervalo 0 ≤ t ≤ 0 , 5 a part´ıcula em x = 0 ter´a velocidade zero?
R: (a) x = 0, 5 m e (b) t = 0 s, 0, 25 s e 0, 5 s.
- Uma corda de comprimento L presa nas extremi- dades x = 0 e x = L, submetida a uma tens˜ao de 96 N, oscila no terceiro harmˆonico de uma onda estacion´aria. O deslocamento transversal da corda ´e dado por
y(x, t) = 5 sen
( (^) π 2
x
sen (6πt),
onde x e y s˜ao dados em metros e t em segundos.
(a) Qual ´e o comprimento L da corda?
(b) Qual ´e a massa da corda?
(c) Calcule a velocidade transversal m´axima de um ponto situado sobre um ventre da onda.
(d) Se a corda oscilar no quinto harmˆonico, qual ser´a o per´ıodo de oscila¸c˜ao?
R: (a) L = 6 m, (b) m = 4, 0 kg, (c) vmaxy = 30π m/s, (d) T 5 = 0, 2 s.
- Uma corda oscila de acordo com a equa¸c˜ao
y(x, t) =
sen
( (^) π 3 x
cos(40πt),
onde as unidades utilizadas s˜ao o cent´ımetro e o segundo.
(a) Quais s˜ao a amplitude e a velocidade escalar das ondas cuja superposi¸c˜ao d´a essa oscila¸c˜ao?
(b) Qual ´e a distˆancia entre os n´os?
(c) Qual ´e a velocidade escalar de uma part´ıcula da corda na posi¸c˜ao x = 1, 5 cm quando t = 98 s?
R: (a) A = 0, 25 cm e v = 120 cm/s, (b) D = 3 cm e (c) ∂y ∂t = 0.
- Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa de 2 kg, est´a esticada sob uma tens˜ao de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequˆencia de 5 oscila¸c˜oes por segundo. O deslocamento inicial da extremidade ´e de 1, 5 cm para cima.
(a) Ache a velocidade de propaga¸c˜ao v e o comprimento de onda λ da onda progressiva gerada na corda.
(b) Escreva, como fun¸c˜ao do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado a dis- tˆancia x da extremidade que se faz oscilar, ap´os ser atingido pela onda e antes que ela cheguea outra extremidade.
(c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.
R: (a) v = 10 m/s, λ = 2 , 0 m, (b) y(x, t) = 0 , 03 cos
πx − 10 πt + π 3
m e (c) I = 9 π
2 200 W.
- A corda de um violino tem uma densidade linear de massa de 0, 5 g/m e est´a sujeita a uma tens˜ao de 80 N, afinada para uma frequˆencia ν = 660 Hz no primeiro harmˆonico.
(a) Qual a velocidade de propaga¸c˜ao de onda nessa corda?
(b) Qual o comprimento da corda?
(c) Para tocar a nota “l´a”, cuja frequˆencia ´e 880 Hz, prende-se a corda com um dedo, de forma a utilizar apenas uma fra¸c˜ao f de seu comprimento. Qual o valor de f?
