Matematica Elementar I, Notas de estudo de Física

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FICHA TÉCNICA

Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Horácio Martins Mário Lima Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes

Costa, Helisângela Ramos da. C837 Matemática Elementar I / Helisângela Ramos da Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa, Célia Maria Nogueira. Batista – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 1. Pe- ríodo).

131p.: il. ; 30 cm. Inclui bibliografia e anexo

1. Matemática – Estudo e ensino. I. Costa, Helisângela Ramos da. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Batista, Célia Maria Nogueira. IV. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510

SUMÁRIO

• Palavra do Reitor
• Unidade I – Sistemas de Numeração
• TEMA 01 – A origem, as antigas civilizações e nosso sistema de numeração
• TEMA 02 – Bases diferentes de
• Unidade II – Conjuntos
• TEMA 03 – Conjuntos
• Unidade III – Conjuntos dos números naturais
• TEMA 04 – Representação dos números naturais na reta numérica. Operação: adição
• TEMA 05 – Operação: subtração
• TEMA 06 – Operação: multiplicação
• TEMA 07 – Operação: divisão
• TEMA 08 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões Numéricas
• TEMA 09 – Divisibilidade
• TEMA 10 – Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
• Unidade IV – O Conjunto dos números inteiros
• absoluto de um número inteiro TEMA 11 – A idéia do número inteiro. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valor
• TEMA 12 – Operações: adição e subtração
• TEMA 13 – Operações: multiplicação e divisão
• TEMA 14 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões numéricas
• Unidade V – O Conjunto dos números racionais
• TEMA 15 – O número racional absoluto
• ou valor absoluto de um número racional TEMA 16 – O conjunto dos racionais relativos. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo
• TEMA 17 – Operações: adição e subtração
• TEMA 18 – Operações: multiplicação e divisão
• TEMA 19 – Operações: potenciação e radiciação
• TEMA 20 – Expressões numéricas e resolução de problemas
• TEMA 21 – Representação de números fracionários na forma decimal
• TEMA 22 – Operações: multiplicação e divisão. Sistema monetário nacional
• Unidade VI – Geometria das formas e das medidas
• Medida TEMA 23 – A geometria de Euclides. Conceitos primitivos. Semi-reta. Segmento de reta. Noções de
• TEMA 24 – Unidades de medida de comprimento
• TEMA 25 – Curvas abertas e fechadas. Regiões convexas. Ângulos e Polígonos
• TEMA 26 – Triângulos e quadriláteros. Perímetro
• TEMA 27 – Medidas de superfície
• TEMA 28 – Área de principais figuras planas
• TEMA 29 – Volume de sólidos. Medidas de capacidade e massa
• TEMA 30 – Sólidos geométricos: prismas e pirâmides
• TEMA 31 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Circunferência e círculo
• TEMA 32 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Cilindro e cone
• Unidade VII – Proporcionalidade
• TEMA 33 – Razões e proporções
• TEMA 34 – Regra de três simples e composta
• TEMA 35 – Porcentagem
• TEMA 36 – Juros simples
• Respostas de Exercícios
• Referências

PALAVRA DO REITOR

A Licenciatura Plena em Matemática pelo Sistema Presencial Mediado vem reforçar o compromisso do Governo e da Universidade do Estado do Amazonas de avançar com ousadia na área do ensino que valo- riza os meios tecnológicos. Os recursos utilizados para tal (livro didático, tv e web) são reforçados pela pre- sença de Professores Assistentes para garantir a qualidade necessária e otimizar os efeitos positivos advin- dos dessa ousadia.

O grande potencial tecnológico que caracteriza a UEA tem de ser utilizado para a formação de professores, especialmente daqueles que se encontram no interior do Estado, fazendo-os permanecer no seu local de origem, dando-lhes formação à altura das necessidades regionais e criando condições dignas de trabalho. Toda a experiência significativa acumulada em outros projetos vai contribuir para que o curso de Matemática cumpra a contento o papel de formar professores com visão diferenciada, colocando em prática uma didáti- ca eficiente, centrada nas necessidades imediatas do homem e do meio que o circunda.

As estratégias de ensino-aprendizagem devem ser focadas no aluno. Em função dele é que se lança mão de todos os recursos inovadores, estimulando-o à pesquisa e à conquista de uma vida melhor. Assim, a UEA cumpre a tarefa de formar profissionais autônomos e disciplinados, aptos a absorver e a praticar uma políti- ca educacional que elevará o Estado do Amazonas à posição de vanguarda no âmbito do ensino que ultra- passa as barreiras da sala de aula.

Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01

A ORIGEM. AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES.

NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO

1. A origem do sistema de numeração

Para entender como surgiram os números, é preciso ter uma idéia de como o homem, des- de a época mais remota, vivia e quais eram suas necessidades. Naquele tempo, o homem, para alimentar-se, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para defen- der-se, usava paus e pedras. Portanto o ho- mem precisava contar. Quantos peixes havia? Quantas espigas de milho? Quantos dias fal- tavam para a caça de pássaros antes das chu- vas? Quantas ovelhas havia no rebanho? Es- sas necessidades de sobrevivência levaram-no a fazer comparações entre as “coisas” que ti- nham ou queriam com os dedos das mãos. Segundo alguns autores, o surgimento da pri- meira máquina de calcular deve-se às conta- gens nos dedos das mãos. Devido ao aumento de posses e à necessida- de de contar quantidades maiores, o homem passou a usar objetos pequenos para repre- sentá-las. No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco. No fim do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa: para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no fim do dia sobrasse alguma pedra, era porque faltava algum dos animais. E se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra cál- culo é derivada da palavra latina calculus , que significa pedras (Figura 1).

Figura 1: Correspondência biunívoca (BIANCHINI, 2002, p. 13).

Nesse caso, quando ocorre a correspondência um-para-um nos dois sentidos, por exemplo, uma pedrinha para cada ovelha e uma ovelha para cada pedrinha, denomina-se correspon- dência biunívoca (Figura 1). A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e ou- tros tipos de marcação (Figura 2).

Figura 2: Objetos utilizados para representar as quantidades (BIACHINI, 2002, p. 12).

Porém um problema surgiu: imagine que uma pessoa usasse traços para representar cada ovelha. Por exemplo: um homem tinha ||||||||||||||||||||||| ovelhas. Não seria nada prático, não é mesmo? Talvez a solução encontrada tenha sido separar grupos de marcas. Um homem tinha ||||||||| ||||||||| ||| ovelhas. Neste caso, as marcas estão agrupadas de dez em dez. Ainda hoje em dia, nos jogos, é muito comum contar pontos registrando agrupamentos de 5. Por exemplo, num jogo:

João fez pontos

Para facilitar o registro dos objetos, surgiu o ábaco, cerca de 3500 a.C., na Mesopotâmia. Os mais antigos ábacos eram formados de sul- cos feitos na areia, nos quais eram colocadas pedrinhas. Um mesmo número de pedrinhas colocadas em sulcos diferentes representava quantidades diferentes. O primeiro sulco, da direita para a esquerda, corresponde ao sulco das unidades; o segundo, ao sulco das deze- nas; o terceiro, ao sulco das centenas, e assim por diante.

Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração

4. Utiliza-se um traço horizontal acima do símbolo, indicando que o número abaixo dele deve ser multiplicado por mil. Dois traços equivale a multi- plicá-lo por 1 000 × 1 000 = 1 000 000 (um milhão). Exemplos:

3. Nosso Sistema de Numeração

O Brasil, assim como a maioria dos países, uti- liza o sistema de numeração indo-arábico, que é decimal. A palavra “decimal” origina-se do la- tim decem , que significa dez, ou seja, os agru- pamentos são sempre feitos de dez em dez. Por isso, é usualmente chamado de sistema numérico decimal. A denominação indo-arábi- co deve-se ao fato de seus símbolos e suas regras terem sido inventados pela antiga civi- lização hindu e aperfeiçoados e divulgados pelos árabes. O principal responsável pela divulgação desse sistema foi o matemático, astrônomo e geógra- fo muçulmano do século IX, Abu Jafar Moha- med Ibn Musa Al-Khowarizmi, com a tradu- ção de seus trabalhos de Aritmética, Álgebra e Geometria para o latim, penetrando e influen- ciando o Ocidente. A seguir, as principais características desse sis- tema:

1. Utiliza apenas 10 símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, com os quais é possível representar qual- quer número. Esses símbolos são chamados al- garismos em homenagem à Al-Khowarizmi. Vale lembrar que os símbolos do nosso sistema de numeração sofreram várias mudanças sendo sua padronização possível com a invenção da imprensa, no século XV. Outro fato é que, os pri-

meiros que chegaram à noção de zero, que indi- ca uma “casa vazia”, foram os babilônios, povo que viveu por volta de 2 500 a. C., na Mesopo- tâmia.

2. Tem base 10 , ou seja, os agrupamentos são fei- tos de dez em dez.
3. É um sistema posicional , isto é, um mesmo sím- bolo representa valores diferentes dependendo da posição que ocupa no numeral. Exemplo: no número 32 524, o primeiro algaris- mo “2” (contando a partir da direita) vale vinte unidades, enquanto o segundo vale duas mil uni- dades.
4. Obedece aos princípios aditivo e multiplica- tivo. O número 235, por exemplo, significa: 200 + 30 + 5 (princípio aditivo) Ou seja, 2 × 100 + 3 × 10 + 5 × 1 (princípio multiplicativo) No princípio aditivo, o número é obtido pela adi- ção dos valores posicionais. No princípio multiplicativo, cada algarismo escri- to imediatamente à esquerda de um outro alga- rismo vale dez vezes o valor posicional deste. Assim, cada grupo de dez unidades forma uma dezena. Cada grupo de dez dezenas forma uma centena. Cada grupo de dez centenas forma um milhar. Cada grupo de dez unidades de milhar forma uma dezena de milhar. Cada grupo de dez dezenas de milhar forma uma centena de milhar. E assim por diante. Dessa forma, todo número pode ser representado uti- lizando potências de dez. Este tipo de represen- tação do número é chamado de notação expo- nencial. Observe como o número 809 432 é represen- tado no ábaco com sua notação exponencial:

Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração

A partir dos conceitos de valor posicional, têm- se os conceitos de valor relativo e valor abso- luto. Valor relativo de um algarismo é o valor que ele assume, dependendo da ordem que ele ocupa no número, e valor absoluto é o valor isolado do algarismo, independente da posição ou or- dem que ele ocupa no número. No sistema de numeração decimal, os núme- ros são lidos ou escritos mais facilmente quan- do os algarismos são separados em grupos de três, começando pela direita. Cada algaris- mo que forma um numeral representa uma ordem e que cada três ordens consecutivas representa uma classe como se pode obser- var no quadro 3.

Mas as classes não terminam nos milhões. Existem as classes dos bilhões, trilhões, etc. Considere os números que estão colocados no quadro 3 e a respectiva leitura:

Lê-se : oitocentos e nove mil, quatrocentos e trinta e dois.

Lê-se : sessenta e três milhões, duzentos e oitenta e três mil, cento e quatro. Atenção : Quando o número indicar quantia em di- nheiro, a separação das classes deve ser feita por um ponto, caso contrário, deve-se usar espaço. Exemplos: a) 3 456 b) 34 567 103 c) R$1.200,00 d) R$14.350,

EXERCÍCIOS

1. Escreva a quantidade que está representada em cada ábaco.

2. Escrever os numerais em algarismos romanos: a) 12 b) 19 c) 159 d) 535 e) 1 542 f) 4 415 g) 750

3. Veja o desenho e descubra que número repre- senta e qual sua notação exponencial.

4. No quadro valor lugar, represente os números e depois faça a leitura: a) 3 482 b) 55 980 644

5. Observe o número 3 482 e responda: a) Quantas classes e quantas ordens possui o nú- mero dado? b) Quantas unidades simples possui? c) Quantas dezenas possui? d) Quantas centenas possui? e) Qual a ordem em que o valor absoluto é igual ao valor relativo?

UEA – Licenciatura em Matemática

Quadro 3: Quadro Valor Lugar

UNIDADE II

Conjuntos

TEMA 03

CONJUNTOS

Observe os conjuntos a seguir:

Figura 1: Representação dos conjuntos em diagramas.

O conjunto A caracteriza-se por seus elementos serem figuras geométricas. O conjunto B caracteri- za-se por seus elementos serem números. Os con- juntos são representados por letras maiúsculas. Portanto:

Exemplo: = {0, 1, 2, 3, 4....}. Esse conjunto é chamado de conjunto dos números naturais. Cada número natural possui um outro número natural denominado sucessor – elemento que vem ime- diatamente após um número dado ( antecessor ). 1 é sucessor de 0, e 0 é antecessor de 1.

Os conjuntos podem ser classificados em finito , infinito , unitário e vazio.

Conjunto finito – É aquele em que se podem con- tar todos os seus elementos. Exemplo: M = {0, 1, 2, ... ,718, 719}. M é o conjun- to dos números naturais menores que 720.

Conjunto infinito – É aquele em que não se con- segue contar todos os seus elementos. Exemplo: Conjunto dos números naturais = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. Observação: cada elemento é escrito uma única vez no conjunto.

Conjunto unitário – É o conjunto formado por um único elemento. Exemplo: A = {3}

Conjunto vazio – É o conjunto que não tem ele- mentos.

Exemplo: O conjunto B formado pelos dias da semana que começam com a letra “p”. Indica-se por: B = { } ou B = ∅ Relacionando o conjunto B da figura 1 com o con- junto , percebe-se que é possível estabelecer relação entre os conjuntos. A relação pode ser de pertinência ou de inclusão.

Quadro 1: Relação de pertinência.

Quadro 2: Relação de Inclusão.

1. Em ambas as notações, B é subconjunto de A , ou seja, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A.
2. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, e qualquer conjunto contém o con- junto vazio. Ou seja: ∅ ⊂ A e A ⊃ ∅
3. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, pois se A = B, então: A ⊃ B e B ⊂ A
4. Em ambas as notações, C não é subconjunto de D , ou seja, nem todos os elementos de C pertencem ao conjunto D. Exemplo: Considerando os conjuntos A, B e C onde A é o conjunto formado pelos números que representam os ponteiros de um relógio, B pelos números que aparecem nas teclas de um telefone e C pelos números naturais.

Relação de inclusão é uma relação entre conjuntos.

Relação de pertinência é uma relação entre elementos e conjunto.

Um conjunto é uma coleção de elementos que têm uma característica em comum, uma propriedade que os distingue.

Matemática Elementar I – Conjuntos

Sendo A = {1, 2, 3,...,12}, B = {0, 1, 2,..., 9} e C = {0, 1, 2, 3,...}

Eis algumas possibilidades de relaçõs entre eles:

5 ∈ B, 24 ∉ A, B ⊄ A, B ⊂ C, C ⊃ A, A B

Além de relacionar elemento e conjunto, conjunto e conjunto, podem-se realizar operações entre conjuntos: união, interseção e diferença entre con- juntos (quadro 3).

Quadro 3: Operação entre conjuntos.

Exemplo: Considerando os conjuntos da figura 2, determine:

Figura 2: Operações entre conjuntos.

a) A ∪ B = {1, 2, 3, 5} ∪ {2, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b) A ∩ B = {1, 2, 3, 5} ∩ {2, 4, 5, 6, 7} = {2, 5} c) (A − B) ∩ (A ∩ B) A − B = {1, 3} A ∩ B = {2, 5} (A − B ) ∩ (A ∩ B) = {1, 3} ∩ {2, 5} = ∅

EXERCÍCIOS

1. Complete os espaços com os símbolos ∈, ∉, ⊃ ou ⊄.: a) {c, b, e}.........{a, b, c, d, e, f} b) 0....... {1, ..., 10, 11,...} c) {0, 1, 2,...}........{10, 20, 30, 40} d) {a, e, i, o, u}......{a, u} e) 3 .....IN f) {2, 4, 6, 8}.......{0, 1, 2, .., 8}
2. Considerando o conjunto A formado pela idade das pessoas que têm mais de 30 anos, o conjunto B pela idade das pessoas que têm menos de 25 anos, o conjunto C pela idade das pessoas que têm entre 40 e 50 anos, assi- nale V (verdadeiro) ou F (falso) para as sen- tenças: a) A ∪ B = C b) A ∩ C = C c) C − A = C d) A − (B ∪ C ) = {0,1, 2,..., 30}

UEA – Licenciatura em Matemática